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概率论与数理统计习题及答案习题二习题三习题四习题 一1略.见教材习题参考答案.2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算关系式表示下列事件:(1) A发生,B,C都不发生; (2) A与B发生,C不发生;(3) A,B,C都发生; (4) A,B,C至少有一个发生;(5) A,B,C都不发生; (6) A,B,C不都发生;(7) A,B,C至多有2个发生; (8) A,B,C至少有2个发生.【解】(1) A (2) AB (3) ABC(4) ABC=CBABCACABABC=(5) = (6) (7) BCACABCAB=(8) ABBCCA=ABACBCABC3.略.见教材习题参考答案4.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P().【解】 P()=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.65.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求:(1) 在什么条件下P(AB)取到最大值?(2) 在什么条件下P(AB)取到最小值?【解】(1) 当AB=A时,P(AB)取到最大值为0.6.(2) 当AB=时,P(AB)取到最小值为0.3.6.设A,B,C为三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率.【解】 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=+-=7.从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?【解】 p=8.对一个五人学习小组考虑生日问题:(1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率;(3) 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1) 设A1=五个人的生日都在星期日,基本事件总数为75,有利事件仅1个,故 P(A1)=()5 (亦可用独立性求解,下同)(2) 设A2=五个人生日都不在星期日,有利事件数为65,故P(A2)=()5(3) 设A3=五个人的生日不都在星期日P(A3)=1-P(A1)=1-()59.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N件,其中M件正品.从中随机地取出n件(n30.如图阴影部分所示.22.从(0,1)中随机地取两个数,求:(1) 两个数之和小于的概率;(2) 两个数之积小于的概率.【解】 设两数为x,y,则0x,y1.(1) x+y. (2) xy=. 23.设P()=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5,求P(BA)【解】 24.在一个盒中装有15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设Ai=第一次取出的3个球中有i个新球,i=0,1,2,3.B=第二次取出的3球均为新球由全概率公式,有 25. 按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问:(1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人?(2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人?【解】设A=被调查学生是努力学习的,则=被调查学生是不努力学习的.由题意知P(A)=0.8,P()=0.2,又设B=被调查学生考试及格.由题意知P(B|A)=0.9,P(|)=0.9,故由贝叶斯公式知(1) 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A和B传递出来,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为21.若接收站收到的信息是A,试问原发信息是A的概率是多少?【解】 设A=原发信息是A,则=原发信息是BC=收到信息是A,则=收到信息是B由贝叶斯公式,得 27.在已有两个球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若发现这球为白球,试求箱子中原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种)【解】设Ai=箱中原有i个白球(i=0,1,2),由题设条件知P(Ai)=,i=0,1,2.又设B=抽出一球为白球.由贝叶斯公式知28.某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A=产品确为合格品,B=产品被认为是合格品由贝叶斯公式得 29.某保险公司把被保险人分为三类:“谨慎的”,“一般的”,“冒失的”.统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30;如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少?【解】 设A=该客户是“谨慎的”,B=该客户是“一般的”,C=该客户是“冒失的”,D=该客户在一年内出了事故则由贝叶斯公式得 30.加工某一零件需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率.【解】设Ai=第i道工序出次品(i=1,2,3,4). 31.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n次独立射击.即为 故 n11至少必须进行11次独立射击.32.证明:若P(AB)=P(A),则A,B相互独立.【证】 即亦即 因此 故A与B相互独立.33.三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为,求将此密码破译出的概率.【解】 设Ai=第i人能破译(i=1,2,3),则 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率.【解】设A=飞机被击落,Bi=恰有i人击中飞机,i=0,1,2,3由全概率公式,得=(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+(0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7)0.6+0.40.50.7=0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药是否有效,把它给10个病人服用,且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效,求:(1) 虽然新药有效,且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率.(2) 新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率.【解】(1) (2) 36.一架升降机开始时有6位乘客,并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率:(1) A=“某指定的一层有两位乘客离开”;(2) B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”;(3) C=“恰有两位乘客在同一层离开”;(4) D=“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开,故所有可能结果为106种.(1) ,也可由6重贝努里模型:(2) 6个人在十层中任意六层离开,故(3) 由于没有规定在哪一层离开,故可在十层中的任一层离开,有种可能结果,再从六人中选二人在该层离开,有种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况,因此可包含以下三种离开方式:4人中有3个人在同一层离开,另一人在其余8层中任一层离开,共有种可能结果;4人同时离开,有种可能结果;4个人都不在同一层离开,有种可能结果,故(4) D=.故37. n个朋友随机地围绕圆桌而坐,求下列事件的概率:(1) 甲、乙两人坐在一起,且乙坐在甲的左边的概率;(2) 甲、乙、丙三人坐在一起的概率;(3) 如果n个人并排坐在长桌的一边,求上述事件的概率.【解】 (1) (2) (3) 38.将线段0,a任意折成三折,试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x,y,a-x-y.则基本事件集为由0xa,0ya,0a-x-y乙反)由对称性知P(甲正乙正)=P(甲反乙反)因此P(甲正乙正)=46.证明“确定的原则”(Sure-thing):若P(A|C)P(B|C),P(A|)P(B|),则P(A)P(B).【证】由P(A|C)P(B|C),得即有 同理由 得 故 47.一列火车共有n节车厢,有k(kn)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设Ai=第i节车厢是空的,(i=1,n),则其中i1,i2,in-1是1,2,n中的任n-1个.显然n节车厢全空的概率是零,于是 故所求概率为48.设随机试验中,某一事件A出现的概率为0.试证明:不论0如何小,只要不断地独立地重复做此试验,则A迟早会出现的概率为1.【证】在前n次试验中,A至少出现一次的概率为49.袋中装有m只正品硬币,n只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只,将它投掷r次,已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少?【解】设A=投掷硬币r次都得到国徽B=这只硬币为正品由题知 则由贝叶斯公式知 50.巴拿赫(Banach)火柴盒问题:某数学家有甲、乙两盒火柴,每盒有N根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少?第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有r根的概率又有多少?【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件,则有.(1)发现一盒已空,另一盒恰剩r根,说明已取了2n-r次,设n次取自B1盒(已空),n-r次取自B2盒,第2n-r+1次拿起B1,发现已空。把取2n-r次火柴视作2n-r重贝努里试验,则所求概率为式中2反映B1与B2盒的对称性(即也可以是B2盒先取空).(2) 前2n-r-1次取火柴,有n-1次取自B1盒,n-r次取自B2盒,第2n-r次取自B1盒,故概率为51.求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由以上两式相减得所求概率为若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率,则只要将两式相加,即得.52.设A,B是任意两个随机事件,求P(+B)(A+B)(+)(A+)的值.【解】因为(AB)()=AB(B)(A)=AB所求 故所求值为0.53.设两两相互独立的三事件,A,B和C满足条件:ABC=F,P(A)=P(B)=P(C) 1/2,且P(ABC)=9/16,求P(A).【解】由 故或,按题设P(A),故P(A)=.54.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,求P(A).【解】 故 故 由A,B的独立性,及、式有 故 故 或(舍去)即P(A)=.55.随机地向半圆0y0,P(A|B)=1,试比较P(AB)与P(A)的大小. (2006研考)解:因为 所以 .习题二1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.【解】故所求分布律为X345P0.10.30.62.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X表示取出的次品个数,求:(1) X的分布律;(2) X的分布函数并作图;(3).【解】故X的分布律为X012P(2) 当x0时,F(x)=P(Xx)=0当0x1时,F(x)=P(Xx)=P(X=0)= 当1x2时,F(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=1)=当x2时,F(x)=P(Xx)=1故X的分布函数(3) 3.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数4.(1) 设随机变量X的分布律为PX=k=,其中k=0,1,2,0为常数,试确定常数a.(2) 设随机变量X的分布律为PX=k=a/N, k=1,2,N,试确定常数a.【解】(1) 由分布律的性质知故 (2) 由分布律的性质知即 .5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求:(1) 两人投中次数相等的概率;(2) 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,则Xb(3,0.6),Yb(3,0.7)(1) + (2) =0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)?【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数,则Xb(200,0.02),设机场需配备N条跑道,则有即 利用泊松近似查表得N9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)?【解】设X表示出事故的次数,则Xb(1000,0.0001) 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足PX=1=PX=2,求概率PX=4.【解】设在每次试验中成功的概率为p,则故 所以 .9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,(1) 进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率;(2) 进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率.【解】(1) 设X表示5次独立试验中A发生的次数,则X6(5,0.3)(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数,则Yb(7,0.3)10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)t的泊松分布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计).(1) 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率;(2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.【解】(1) (2) 11.设PX=k=, k=0,1,2PY=m=, m=0,1,2,3,4分别为随机变量X,Y的概率分布,如果已知PX1=,试求PY1.【解】因为,故.而 故得 即 从而 12.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数,则Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算,得 13.进行某种试验,成功的概率为,失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次数,试写出X的分布律,并计算X取偶数的概率.【解】14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求:(1) 保险公司亏本的概率;(2) 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1) 在1月1日,保险公司总收入为250012=30000元.设1年中死亡人数为X,则Xb(2500,0.002),则所求概率为由于n很大,p很小,=np=5,故用泊松近似,有(2) P(保险公司获利不少于10000) 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P(保险公司获利不少于20000) 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为f(x)=Ae-|x|, -x+,求:(1)A值;(2)P0X1; (3) F(x).【解】(1) 由得故 .(2) (3) 当x0时,当x0时, 故 16.设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X的密度函数为f(x)=求:(1) 在开始150小时内没有电子管损坏的概率;(2) 在这段时间内有一只电子管损坏的概率;(3) F(x).【解】(1) (2) (3) 当x100时F(x)=0当x100时 故 17.在区间0,a上任意投掷一个质点,以X表示这质点的坐标,设这质点落在0,a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例,试求X的分布函数.【解】 由题意知X0,a,密度函数为故当xa时,F(x)=1即分布函数18.设随机变量X在2,5上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测,求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】XU2,5,即故所求概率为19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布.某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次,以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试写出Y的分布律,并求PY1.【解】依题意知,即其密度函数为该顾客未等到服务而离开的概率为,即其分布律为20.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X服从N(40,102);第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X服从N(50,42).(1) 若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些?(2) 又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些?【解】(1) 若走第一条路,XN(40,102),则若走第二条路,XN(50,42),则+故走第二条路乘上火车的把握大些.(2) 若XN(40,102),则若XN(50,42),则 故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设XN(3,22),(1) 求P2X5,P-4X10,PX2,PX3;(2) 确定c使PXc=PXc.【解】(1) (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度(cm)XN(10.05,0.062),规定长度在10.050.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】 23.一工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布N(160,2),若要求P120X2000.8,允许最大不超过多少?【解】 故 24.设随机变量X分布函数为F(x)=(1) 求常数A,B;(2) 求PX2,PX3;(3) 求分布密度f(x).【解】(1)由得(2) (3) 25.设随机变量X的概率密度为f(x)=求X的分布函数F(x),并画出f(x)及F(x).【解】当x0时F(x)=0当0x1时 当1x0;(2) f(x)=试确定常数a,b,并求其分布函数F(x).【解】(1) 由知故 即密度函数为 当x0时当x0时 故其分布函数(2) 由得 b=1即X的密度函数为当x0时F(x)=0当0x1时 当1x0时, 故 (2)当y1时当y1时 故 (3) 当y0时当y0时 故31.设随机变量XU(0,1),试求:(1) Y=eX的分布函数及密度函数;(2) Z=-2lnX的分布函数及密度函数.【解】(1) 故 当时当1ye时当ye时即分布函数故Y的密度函数为(2) 由P(0X0时, 即分布函数故Z的密度函数为32.设随机变量X的密度函数为f(x)=试求Y=sinX的密度函数.【解】当y0时,当0y1时, 当y1时,故Y的密度函数为33.设随机变量X的分布函数如下:试填上(1),(2),(3)项.【解】由知填1。由右连续性知,故为0。从而亦为0。即34.同时掷两枚骰子,直到一枚骰子出现6点为止,求抛掷次数X的分布律.【解】设Ai=第i枚骰子出现6点。(i=1,2),P(Ai)=.且A1与A2相互独立。再设C=每次抛掷出现6点。则 故抛掷次数X服从参数为的几何分布。35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9?【解】令X为0出现的次数,设数字序列中要包含n个数字,则Xb(n,0.1)即 得 n22即随机数字序列至少要有22个数字。36.已知F(x)=则F(x)是( )随机变量的分布函数.(A) 连续型; (B)离散型;(C) 非连续亦非离散型.【解】因为F(x)在(-,+)上单调不减右连续,且,所以F(x)是一个分布函数。但是F(x)在x=0处不连续,也不是阶梯状曲线,故F(x)是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选(C)37.设在区间a,b上,随机变量X的密度函数为f(x)=sinx,而在a,b外,f(x)=0,则区间 a,b等于( )(A) 0,/2; (B) 0,;(C) -/2,0; (D) 0,.【解】在上sinx0,且.故f(x)是密度函数。在上.故f(x)不是密度函数。在上,故f(x)不是密度函数。在上,当时,sinx0)=1,故01-e-2X1,即P(0Y1)=1当y0时,FY(y)=0当y1时,FY(y)=1当0y1时,即Y的密度函数为即YU(0,1)41.设随机变量X的密度函数为f(x)=若k使得PXk=2/3,求k的取值范围. (2000研考)【解】由P(Xk)=知P(Xk)=若k0,P(Xk)=0若0k1,P(Xk)= 当k=1时P(Xk)=若1k3时P(Xk)=若3k6,则P(X6,则P(Xk)=1故只有当1k3时满足P(Xk)=.42.设随机变量X的分布函数为F(x)=求X的概率分布. (1991研考)【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系,可知X的概率分布为X-113P0.40.40.243.设三次独立试验中,事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27,求A在一次试验中出现的概率.【解】令X为三次独立试验中A出现的次数,若设P(A)=p,则Xb(3,p)由P(X1)=知P(X=0)=(1-p)3=故p=44.若随机变量X在(1,6)上服从均匀分布,则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少? 【解】45.若随机变量XN(2,2),且P2X4=0.3,则PX0= . 【解】故 因此 46.假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.7可以直接出厂;以概率0.3需进一步调试,经调试后以概率0.8可以出厂,以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求(1) 全部能出厂的概率;(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率;(3)其中至少有两台不能出厂的概率. 【解】设A=需进一步调试,B=仪器能出厂,则=能直接出厂,AB=经调试后能出厂由题意知B=AB,且令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数,则X6(n,0.94),故 47.某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.【解】设X为考生的外语成绩,则XN(72,2)故 查表知 ,即=12从而XN(72,122)故 48.在电源电压不超过200V、200V240V和超过240V三种情形下,某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2(假设电源电压X服从正态分布N(220,252).试求:(1) 该电子元件损坏的概率;(2) 该电子元件损坏时,电源电压在200240V的概率【解】设A1=电压不超过200V,A2=电压在200240V,A3=电压超过240V,B=元件损坏。由XN(220,252)知 由全概率公式有由贝叶斯公式有49.设随机变量X在区间(1,2)上服从均匀分布,试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y).【解】因为P(1X2)=1,故P(e2Ye4)=1当ye2时FY(y)=P(Yy)=0. 当e2y1时, 即 故 51.设随机变量X的密度函数为fX(x)=,求Y=1-的密度函数fY(y). 【解】 故 52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为t的泊松分布.(1) 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布;(2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q.(1993研考)【解】(1) 当tt与N(t)=0等价,有即 即间隔时间T服从参数为的指数分布。(2) 53.设随机变量X的绝对值不大于1,PX=-1=1/8,PX=1=1/4.在事件-1X1出现的条件下,X在-1,1内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,试求X的分布函数F(x)=PXx. (1997研考)【解】显然当x-1时F(x)=0;而x1时F(x)=1由题知当-1x1时,此时 当x=-1时,故X的分布函数54. 设随机变量X服从正态分N(1,12),Y服从正态分布N(2,22),且P|X-1|P|Y-2|1,试比较1与2的大小. (2006研考)解: 依题意 ,则,.因为,即,所以有 ,即.习题三1.将一硬币抛掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表:XY01231003002.盒子里装有3只黑球、2只
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