山东省理科数学一轮复习试题选编7：函数的综合问题

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编7：函数的综合问题一、选择题 （山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）某学校要召开学生代表大会,规定根据班级人数每10人给一个代表名额,当班级人数除以10的余数大于6时,再增加一名代表名额.那么各班代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数(x表示不大于*的最大整数)可表示为（）ABCD【答案】B法一:特殊取值法,若x=56,y=5,排除CD,若x=57,y=6,排除A,所以选B 法二:设, ,所以选B （山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）已知函数函数,若存在,使得成立,则实数a的取值范围是（）A BCD【答案】B （山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）若对于定义在R上的函数f(x),存在常数,使得f(x+t)+tf(x)=0对任意实数x均成立,则称f(x)是阶回旋函数,则下面命题正确的是（）Af(x)=2x是阶回旋函数Bf(x)=sin(x)是1阶回旋函数 Cf(x)=x2是1阶回旋函数Df(x)=logax是0阶回旋函数【答案】B （山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）已知为互不相等的三个正实数,函数可能满足如下性质:为奇函数;为奇函数;为偶函数;为偶函数;.类比函数的对称中心、对称轴与周期的关系,某同学得到了如下结论:(i)若满足,则的一个周期为;(ii)若满足;则的一个周期为;(iii)若满足,则的一个周期为;(iv)若满足;则的一个周期为.其中正确结论的个数为（）A1B2C3D4【答案】B【解析】由的图象知,两相邻对称中心的距离为两相邻对称轴的距离为,对称中心与距其最近的对称轴的距离为,若满足,则的两个相邻对称中心分别为,从而有,即;若满足,则的对称轴为,与对称轴相邻的对称中心为,有,即;若满足,则的两个相邻的对称轴为和,从而有,即;若满足,则的对称中心为,与其相邻的对称轴为,从而有,即.故只有(iii)(iv)错误. （山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）已知函数的定义域为,值域为1,5,则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是（）A8B6C4D2【答案】C 由,得,即.故根据题意得a,b的取值范围为:且或者且,所以点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形面积为4,选C （山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）已知函数的图象关于直线对称,且当成立若a=(20.2),则a,b,c的大小关系是（）ABCD 【答案】B因为函数的图象关于直线对称,所以关于轴对称,所以函数为奇函数.因为,所以当时,函数单调递减,当时,函数单调递减.因为,所以,所以,选B （2012年山东理）(12)设函数(x)=,g(x)=ax2+bx若y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是（）A当a0时,x1+x20 B当a0, y1+y20时,x1+x20, y1+y20时,x1+x20, y1+y20【答案】解析:令,则,设,令,则,要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点只需,整理得,于是可取来研究,当时,解得,此时,此时;当时,解得,此时,此时.答案应选B另解:令可得.设不妨设,结合图形可知,当时如右图,此时,即,此时,即;同理可由图形经过推理可得当时.答案应选B （山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）我们定义若函数为D上的凹函数须满足以下两条规则:(1)函数在区间D上的任何取值有意义;(2)对于区间D上的任意个值,总满足,那么下列四个图象中在上满足凹函数定义的是【答案】A【解析】要判断是不是凹函数,需要先明确凹函数的定义,由定义的第一点可以排除D,在（）ABC这三个选项中可以考虑特值法,取,则显然选项BC不满足,故选（）A （山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）函数y=f(x),xD,若存在常数C,对任意的xlD,仔在唯一的x2D,使得 ,则称函数f(x)在D上的几何平均数为C已知f(x)=x3,x1,2,则函数f(x)=x3在1,2上的几何平均数为（）AB2C4D2【答案】D （山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）对于函数,如果存在锐角使得的图象绕坐标原点逆时针旋转角,所得曲线仍是一函数,则称函数具备角的旋转性,下列函数具有角的旋转性的是（）ABCD【答案】C 设直线,要使的图像绕坐标原点逆时针旋转角,所得曲线仍是一函数,则函数与不能有两个交点.由图象可知选C （山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）已知定义在R上的函数满足以下三个条件:对于任意的,都有;对于任意的函数的图象关于y轴对称,则下列结论中正确的是（）AB CD【答案】A 【解析】由知函数的周期是4,由知,函数在上单调递增,函数的图象关于y轴对称,即函数函数的图象关于对称,即函数在上单调递减.所以,由可知,选（）A （山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知定义在上的奇函数满足,且时,甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论:甲:;乙:函数在上是减函数;丙:函数关于直线对称;丁:若,则关于的方程在上所有根之和为,其中正确的是（）A甲、乙、丁B乙、丙C甲、乙、丙D甲、丙二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.【答案】A （山东省夏津一中2013届高三4月月考数学（理）试题）函数y = 1n|x-1|的图像与函数y=-2 cos x(-2x4)的图像所有交点的横坐标之和等于（）A8B6C4D2【答案】B （山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理）对于正实数,记为满足下述条件的函数构成的集合:且,有.下列结论中正确的是（）A若,则 B若且,则 C若,则 D若且,则【答案】A （2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知集合M=,若对于任意,存在,使得成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合:M=;M=;M=;.其中是“垂直对点集”的序号是（）ABCD【答案】 【答案】D是以轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角为90,在同一支上,任意(x1,y1)M,不存在(x2,y2)M,满足“垂直对点集”的定义;对任意(x1,y1)M,在另一支上也不存在(x2,y2)M,使得x1x2+y1y2=0成立,所以不满足“垂直对点集”的定义,不是“垂直对点集”.,如图在曲线上,两点构成的直角始存在,所以是“垂直对点集”. 对于,如图在曲线上两点构成的直角始存在,例如取M,N,满足“垂直对点集”的定义,所以正确. 对于,如图取点(1,0),曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的连线互相垂直,所以不是“垂直对点集”. ,故选D 二、填空题（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）已知为上的偶函数,对任意都有且当, 时,有成立,给出四个命题: 直线是函数的图像的一条对称轴 函数在上为增函数 函数在上有四个零点其中所有正确命题的序号为_【答案】 【解析】令,得,即,所以正确.因为,所以,即,所以直线是函数的图像的一条对称轴,因为函数为偶函数,所以也是函数的图像的一条对称轴所以正确.由可知函数在区间上递增,又,所以函数的周期为6,所以函数在上递增,所以在上为减函数,所以错误.因为函数的周期为6,所以,故函数在上有四个零点,所以正确,所以正确的命题为 （山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A）若函数满足,对定义域内的任意恒成立,则称为m函数,现给出下列函数:;其中为m函数的序号是.(把你认为所有正确的序号都填上)【答案】 【解析】若,则由得,即,所以,显然不恒成立.若,由得由恒成立,所以为函数.若,由得,当时,有,此时成立,所以为函数.若,由得由,即,即,要使恒成立,则有,即.但此时,所以不存在,所以不是函数.所以为函数的序号为. （2009高考(山东理)）已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,则【答案】【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间0,2上是增函数,所以在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 答案:-8（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）函数的定义域为D,若存在闭区间a,bD,使得函数满足:(1) 在a,b内是单调函数;(2)在a,b上的值域为2a,2b,则称区间a,b为y=的“和谐区间”.下列函数中存在“和谐区间”的是_ (只需填符合题意的函数序号);.【答案】 【解析】若,则由题意知,即,解得时,满足条件.若,则由题意知,即,即是方程的两个根,由图象可知方程无解时,所以不满足条件.若,则由题意知,即,所以只要即可,所以满足条件.若,因为,则由题意知当时,函数递增,当时,函数递减.当时由得,由,解得或,所以当时,满足条件,即区间为.所以存在“和谐区间”的是. （山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）函数的定义域为A,若且时总有,则称为单函数.例如:函数是单函数.给出下列命题:函数是单函数;指数函数是单函数;若为单函数,且,则;在定义域上具有单调性的函数一定是单函数,其中的真命题是 _.(写出所有真命题的序号)【答案】 【解析】当时,故错;为单调增函数,故正确;而显然正确 （山东济南外国语学校20122013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科）具有性质:的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数:中满足“倒负”变换的函数是_.【答案】 【解析】当时,所以满足“倒负”变换的函数.当时,所以不满足“倒负”变换的函数.当时,当时,当时,所以满足“倒负”变换的函数,所以满足条件的函数是. （山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）定义在R上的函数,若对任意不等实数满足,且对于任意的,不等式成立.又函数的图象关于点对称,则当时,的取值范围为_.【答案】 【解析】若对任意不等实数满足,可知函数为上递减函数.由函数的图象关于点对称,可知函数的图象关于点对称,所以函数为奇函数.又,即,所以,即表示的平面区域如图所示,表示区域中的点与原点连线的斜率,又,所以的取值范围为.如图 （山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数的定义域为,若存在常数,对任意,有,则称函数为函数.给出下列函数:;. 其中是函数的序号为_.【答案】 （山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知函数在实数集R上具有下列性质:直线是函数的一条对称轴;当时,、从大到小的顺序为_.【答案】 由得,所以周期是4所以,.因为直线是函数的一条对称轴,所以.由,可知当时,函数单调递减.所以. （山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）如图,已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀,其中米,米. 为了合理利用这块钢板,将在五边形内截取一个矩形块,使点在边上. 则矩形面积的最大值为_平方米 . 【答案】48 三、解答题（2009高考(山东理)）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。【答案】A B C x 解:（1）如图,由题意知ACBC,其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为设,则,所以当且仅当即时取”=”.下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.设0m1m2160,则,因为0m1m242402409 m1m29160160所以,所以即函数在(0,160)上为减函数.同理,函数在(160,400)上为增函数,设160m1m2400,则因为1600m1m2400,所以49160160所以,所以即函数在(160,400)上为增函数.所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值,所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数为偶函数.()求实数的值;()记集合,判断与的关系;()当时,若函数的值域为,求的值.【答案】解: ()为偶函数 R且, ()由()可知: 当时,;当时, ,