备战高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：7 三角函数的图象与性质3——奇偶性、对称性与周期性 Word版含解析

I题源探究黄金母题【例1】已知函数，若函数在区间内单调递增，且函数的图像关于直线对称，则的值为 【答案】【解析】的递增区间长度为半个周期，所以由在区间内单调递增， 可得， ，又的图像关于对称且，由可得精彩解读【试题来源】2015高考天津文数14【母题评析】本题考查三角函数的单调性、对称性，考查考生的分析问题解决问题的能力【思路方法】结合函数的周期性、单调性、对称性解题II考场精彩真题回放【例2】【2016高考浙江理数】设函数，则的最小正周期 （ ）A与b有关，且与c有关 B与b有关，但与c无关C与b无关，且与c无关 D与b无关，但与c有关【答案】B【解析】试题分析：，其中当时，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期故选B【命题意图】本题主要考查降幂公式、三角函数的周期本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等【难点中心】解答此类问题关键是灵活选用三角公式进行三角恒等变换化简函数，再运用三角函数相关性质解题【例3】【2016高考山东理数】函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x sin x）的最小正周期是 （ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】B【解析】，故最小正周期，故选B【命题意图】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的周期性 能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等偏易【难点中心】解答此类问题的关键是能综合运用三角公式化为形式，再进一步讨论相关性质III理论基础解题原理考点一 三角函数的周期性函数的最小正周期为，的最小正周期为考点二 三角函数的奇偶性对于函数，当且仅当时是奇函数，当且仅当时是偶函数；对于函数，当且仅当时是奇函数，当且仅当时是偶函数考点三 三角函数的对称性的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴是直线，其对称中心是；的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴是直线，其对称中心是；的图像不是轴对称图形，是中心对称图形，其对称中心是IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等【技能方法】（1）函数的最小正周期为，的最小正周期为（2）三角函数中奇函数一般可化为或，而偶函数一般可化为的形式（3）的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，图像关于直线对称的充要条件是，图像关于点对称的充要条件是【易错指导】必须先将解析式化为的形式，再分别利用公式求周期，注意一定要加绝对值V举一反三触类旁通考向1 三角函数的奇偶性【例4】【2016江苏学易大联考一】已知是偶函数，则实数的值为【命题意图】本题考查函数偶函数性质，特殊角三角函数值等基础知识，意在考查学生分析能力及基本运算能力【答案】【解析】因为函数是偶函数，且定义域为，所以即当时，为偶函数【例5】【2016江苏押题卷3】已知函数为常数，且），若函数是偶函数，则的值为 【命题意图】考查三角函数的图像和性质及数形结合的思想，以及分析问题解决问题的能力【答案】0【解析】由题设可知，函数的图像关于直线对称，借助对称性及演绎推理的思想可知，即所以考向2 三角函数的周期性【例6】【2016山东学易大联考四】已知，点在直线上，则函数的最小正周期为_【命题意图】本题主要考查平面向量的线性运算，三角函数的周期性等基础知识，意在考查学生的运算求解能力【例7】【2015-2016学年广东省高州一中高二下期中文科】函数的最小正周期为 【答案】【解析】由于函数，所以，则最小正周期故答案为：考向3 三角函数的对称性【例8】【2016江苏高考押题卷1】将函数的图像向左平移个单位长度后，所得的图像关于轴对称，则的最小值是【命题意图】本题考查三角函数图像与性质等基础知识，意在考查基本运算能力【答案】【解析】因为，所以向左平移个单位长度后变换为，由题意得且，即，注意到，所以当时，取最小值，因此的最小值是【例9】【2016届湖北七市教研协作体高三4月联考文科数学】已知函数（为常数，）在处取得最大值，则函数是（ ）A奇函数且它的图象关于点对称B偶函数且它的图象关于点对称C奇函数且它的图象关于点对称D偶函数且它的图象关于点对称【答案】B【例10】【2016届广东省深圳市高三第二次调研考试数学（理）】已知函数的图象是由函数的图象经过如下变换得到：先将的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数的图象的一条对称轴方程为（ ）A B C D【答案】A【解析】的图象向右平移个单位长度，得，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得，代入选项，验证得是其对称轴【例11】【2015-2016学年湖北沙市中学高一下第五次半月考】已知函数的最大值为2，的图像与轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则 【答案】【解析】已知函数的最大值为，的图象与轴的交点坐标为，可得，即，【易错点睛】由函数的最值求出的值，由周期求出的值，由特殊点求出的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性，求得要求式子的值本题主要考查由函数的部分图象解析式本题难点在于每四项的和是一个定值，利用这个周期性，便可解决前的项本题属于中档题考向4 已知三角函数的奇偶性、对称性或周期求参数的值【例12】【2016届湖南省湘西自治州高三第二次质量检测数学（文）】已知函数的最小正周期为，则等于（ ）A B C D【答案】A【解析】由题意知，故选A【例13】【2016届河南新乡名校学术联盟高三高考押题四文数学】已知函数（）与轴的交点为，且图象上两对称轴之间的最小距离为，则使成立的的最小值为（ ）A B C D【答案】A【解析】，所以，所以，由题意，得，所以关于直线对称，所以，所以的最小值为【例14】【2016届山西晋城市高三下学期三模考试文数学】已知函数相邻两对称中心之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位所得图象关于直线对称， 则（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意，得，解得，所以将函数的图象向左平移个单位，得因为所得函数图象关于直线直线对称，所以，即令，得，故选B【例15】【2016届山西晋城市高三下学期三模考试理数学】已知函数相邻两对称中心之间的距离为，且对于任意的恒成立， 则的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意，得，解得由，即，得，即因为对于任意的恒成立，所以，即，解得，故选B【例16】【2015-2016学年福建师大附中高一下学期期末】已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为 【答案】9【思路点睛】本题考查了三角函数的性质，属于中档题型，本题的难点是如何将这两个条件结合在一起，是与周期有关的量，对称轴与零点间的距离也与周期有关，这样根据图像得到，即，第二个条件是单调区间的子集，所以其长度小于等于半个周期，这样就得到了的一个范围与形式，最后求最大值，只能通过从最大的逐个代起，找到的最大值【例17】【2016学年浙江省温州中学高二下学期期末考】已知函数的一个对称中心是，则 ，现将函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的5倍(纵坐标不变)，得到函数，再将函数的图象向左平移个单位，得到函数，若，则的值是 【答案】，【解析】根据函数的一个对称中心是，可得，则现将函数 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的倍，(纵坐标不变)，得到函数的图象；再将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象若【例18】【2016届湖北襄阳四中高三六月全真模拟一数学（理）】已知函数（1）求函数的最大值；（2）若直线是函数的对称轴，求实数的值【答案】（1）最大值是2；（2）【解析】试题分析：（1）首先利用诱导公式将变成，从而化简函数解析式，然后利用正弦函数的性质求出函数的最大值；（2）利用的对称轴，列出关系式，解出，即可求得的值试题解析：（1），所以的最大值是2 （2）令，则，而直线是函的对称轴，所以 【方法点睛】三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角形函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解