高考数学理一轮知识点专题讲座：推理与证明含答案

【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：考点28推理与证明（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标掌握合情推理与演绎推理；熟练的运用综合法和分析法、反证法证题；信息转化、逻辑分析.二.知识梳理1合情推理包括归纳推理和类比推理2归纳推理(1)概念：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)(2)特点：归纳是从特殊到一般的过程(3)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)3类比推理(1)概念：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)(2)类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)4演绎推理(1)概念：根据一般性原理(或逻辑规则)导出特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理(2)特征：当前提为真时，结论必然为真(3)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断5直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的 推理论证 ，最后推导出所要证明的结论 成立 ，这种证明方法叫做综合法框图表示：(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)(2)分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫做分析法框图表示：.6间接证明反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法三考点逐个突破1.归纳推理 例1已知f (x)(x，a0)，且f(1)log162，f(2)1.(1)求函数f(x)的表达式；(2)已知数列xn的项满足xn1f(1)1f(2)1f(n)，试求x1，x2， x3，x4；(3)猜想xn的通项解(1)把f(1)log162，f(2)1，代入函数表达式得，整理得，解得，于是f(x)(x1)(2)x11f(1)1，x2(1)，x3(1)，x4(1).(3)这里因为偶数项的分子、分母作了约分，所以规律不明显，若变形为，便可猜想xn(nN*)2.类比推理 例2已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则2”若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则A1 B2 C3 D4解析如下图设正四面体的棱长为1，则易知其高AM，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等积法有4rr，故AOAMMO，故AOOM3.3.演绎推理 例3已知函数f(x)(a0且a1)(1)证明函数yf(x)的图像关于点(，)对称；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值解(1)证明：函数f(x)的定义域为R，任取一点(x，y)，它关于点(，)对称的点的坐标为(1x，1y)由已知得y，则1y1，f(1x)，1yf(1x)，即函数yf(x)的图像关于点(，)对称(2)由(1)有1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1，4.综合法例4已知xyz1，求证：x2y2z2.证明x2y22xy，x2z22xz，y2z22yz，2x22y22z22xy2xz2yz，3x23y23z2x2y2z22xy2xz2yz.3(x2y2z2)(xyz)21.x2y2z2.5.分析法例5已知m0，a，bR，求证：()2.思路点拨先去分母，再合并同类项，化成积式证明m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证明(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证6.反证法：例6设集合W是满足下列两个条件的无穷数列an的集合：an1；anM.其中nN*，M是与n无关的常数(1)设数列bn的通项为bn5n2n，且bnW，求M的取值范围；(2)设数列cn的各项均为正整数，且cnW，证明：cncn1.解(1)bn1bn5(n1)2n15n2n52n，当n3时，bn1bn0，即b1b2ck1.由数列cn的各项均为正整数，可得ckck11，即ck1ck1.cnW，ck1，ck22ck1ck及ckck1，得ck22ck1ck1ck1，故ck2ck11.ck2，ck32ck2ck12(ck11)ck1ck12ck3.以此类推，可得ckmckm(mN*)设ckp(pN*)，则当mp时，有ckpckp0，这显然与数列cn的各项均为正整数矛盾所以假设不成立，即对于任意nN*，都有cncn1成立