C语言用六种方法求定积分

1. 描述问题利用左矩形公式，中矩形公式，右矩形公式 ，梯形公式，simpson公式，Gauss积分公式求解定积分。2. 分析问题2.1定积分21.1定积分的定义定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积。即所包围的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边梯形。如下图：（图1）设一元函数,在区间内有定义。将区间分成个小区间。设，取区间中曲线上任意一点记做，作和式：若记为这些小区间中的最长者。当时，若此和式的极限存在，则称这个和式是函数 在区间上的定积分。记作：其中称为积分下限，为积分上限，为被积函数， 为被积式， 为积分号。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。21.2定积分的几何意义1它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a，x=b之间的各个部分面积的代数和。在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号。如图2.2言实现定积分计算的算法22.1利用复合梯形公式实现定积分的计算假设被积函数为，积分区间为，把区间等分成个小区间，各个区间的长度为，即，称之为“步长”。根据定积分的定义及几何意义，定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积。将积分区间等分，各子区间的面积近似等于梯形的面积，面积的计算运用梯形公式求解，再累加各区间的面积，所得的和近似等于被积函数的积分值，越大，所得结果越精确。以上就是利用复合梯形公式实现定积分的计算的算法思想。复合梯形公式：2具体算法如下：算法一1：输入积分区间的端点值和；2：输入区间的等分个数（要求尽可能大，以保证程序运行结果有较高的精确度）；3：计算步长；4：对累加和赋初值；5：计算累加和6：算出积分值；7：输出积分近似值，完毕。1.2.2利用Smpson公式实现定积分的计算假设被积函数为，积分区间为，把区间等分成个小区间，各个区间的长度为。在复合梯形公式的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。作为一种外推算法， 它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。具体算法如下：算法二1：输入积分上限和下限；2：输入区间的等分个数（要求尽可能大，以保证程序运行结果有较高的精确度）；3：利用辛甫生公式：2，实现对定积分的求解（其中，均为梯形公式计算所得的结果，由此可见辛甫生公式是以梯形公式为基础的）；4：算出积分值；5：输出积分近似值，完毕。1.2.3利用Guass公式实现定积分计算 Guass型求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2.n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最高的。通常运用的是-1-+1的积分节点和积分系数，其他积分域是通过变换x=(b-a)t/2 +(a+b)/2 变换到-1到1之间积分。算法三1：输入积分上限和下限；2：利用Guass公式，求定积分 4：算出积分值；5：输出积分近似值，完毕。3. 程序的编写3.1程序一（左矩形公式）3.1.1源程序#include#includevoid main()double f(double x);/*f(x)为函数举例，即被积函数*/int i,n;/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/double a,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/printf(积分下限 a:n);scanf(%lf,&a);printf(积分上限 b:n);scanf(%lf,&b);printf(区间等分个数 n :n);scanf(%d,&n);h=(b-a)/n; /*步长的计算*/s=f(a)*h;for(i=1;in;i+)s=s+f(a+i*h)*h;printf(函数 f(x) 的积分值为 s=%10.6fn,s);/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/double f(double x)double y;y=sqrt(4-x*x);return (y);3.1.2程序一的编译运行 被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车3.2程序二（中矩形公式）3.2.1源程序#include#includevoid main()double f(double x);/*f(x)为函数举例，即被积函数*/int i,n;/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/double a,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/printf(积分下限 a:n);scanf(%lf,&a);printf(积分上限 b:n);scanf(%lf,&b);printf(区间等分个数 n :n);scanf(%d,&n);h=(b-a)/n; /*步长的计算*/s=0.5*(f(a)+f(a+h)*h;for(i=1;in;i+)s=s+0.5*(f(a+i*h)+f(a+(i+1)*h)*h;printf(函数 f(x) 的积分值为 s=%10.6fn,s);/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/double f(double x)double y;y=sqrt(4-x*x);return (y);3.2.2程序二的编译运行 被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车3.3程序三（右矩形公式）3.3.1源程序#include#includevoid main()double f(double x);/*f(x)为函数举例，即被积函数*/int i,n;/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/double a,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/printf(积分下限 a:n);scanf(%lf,&a);printf(积分上限 b:n);scanf(%lf,&b);printf(区间等分个数 n :n);scanf(%d,&n);h=(b-a)/n; /*步长的计算*/s=f(a+h)*h;for(i=1;in-1;i+)s=s+f(a+(i+1*h)*h;printf(函数 f(x) 的积分值为 s=%10.6fn,s);/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/double f(double x)double y;y=sqrt(4-x*x);return (y);3.3.2程序三的编译运行 被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车3.4程序四（梯形公式）3.4.1源程序#include#includevoid main()double f(double x);/*f(x)为函数举例，即被积函数*/int i,n;/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/double a,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/printf(积分下限 a:n);scanf(%lf,&a);printf(积分上限 b:n);scanf(%lf,&b);printf(区间等分个数 n :n);scanf(%d,&n);h=(b-a)/n; /*步长的计算*/s=0.5*(f(a)+f(a+h)*h;for(i=1;in;i+)s=s+0.5*(f(a+i*h)+f(a+(i+1)*h)*h;printf(函数 f(x) 的积分值为 s=%10.6fn,s);/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/double f(double x)double y;y=sqrt(4-x*x);return (y);3.4.2程序四的编译运行 被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车3.5程序五（Simpson公式）3.5.1源程序#include#includevoid main()double T(double x,double y,int z);double a,b,s;int n;printf(积分下限 a:n);scanf(%lf,&a);printf(积分上限 b:n);scanf(%lf,&b);printf(区间等分个数 n :n);scanf(%d,&n);s=(4*T(a,b,2*n)-T(a,b,n)/3;/*利用辛甫生公式求解定积分*/printf(函数 f(x) 的积分值为 s=%fn,s);/*以下为复合梯形公式的定义*/double T(double x,double y,int z)double h,Tn;int i;double f(double t);h=(y-x)/z;Tn=(f(x)+f(y)/2;for(i=1;iz;i+)Tn=Tn+f(x+i*h);Tn=Tn*h;return (Tn);/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/double f(double t)double s;s=sqrt(4-t*t);return (s);3.5.2程序四的编译运行 被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车3.6程序六（Guass公式）3.6.1源程序#include #include #define N 3float gass_integral(float (*)(float),float,float,int);void main()float function_name(float);float a,b;printf(请输入积分上限bn);scanf(%f,&b);printf(请输入积分下限an);scanf(%f,&a);float ans;ans=gass_integral(function_name,a,b,N);printf(ans=%f,ans);/高斯求积：代数精度为2n-1. -1-+1 之间float gass_integral(float (*func)(float x), float a,float b ,int n )/高斯点及其求积系数列表-float x11=0.0; float A11=2;float x22=-0.5573503,0.5573503; float A22=1,1;float x33=-0.7745967,0.0,0.7745967; float A33=0.555556,0.888889,0.555556;float x44=0.3399810,-0.3399810,0.8611363,-0.8611363; float A44=0.6521452,0.6521452,0.3478548,0.3478548;float x55=0.0,0.5384693,-0.5384693,0.9061799,-0.9061799; float A55=0.5688889,0.4786287,0.4786287,0.2369269,0.2369269; /-float * p,* t;switch ( n)case 1 : p=x1;t=A1;break;case 2 : p=x2;t=A2;break;case 3 : p=x3;t=A3;break;case 4 : p=x4;t=A4;break;case 5 : p=x5;t=A5;break;default : printf(intput wrong!);float g=0;for(int i=0;in;i+)g+=(*func)(b-a)*pi/2+(a+b)/2)*ti;g*=(b-a)/2;return g;float function_name(float x)return (sqrt(4-x*x);3.6.2程序四的编译运行 被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入2+回车输入0+回车4误差分析手工计算结果为：3.156173.，左矩形公式误差：0.39%，中矩形公式误差：0.46%，右矩形公式误差：0.52%，梯形公式误差：0.46%，辛普森公式和高斯公式误差几乎等于0，六个程序运行结果对比，在计算相同的函数f(x)=sqrt(4-x*x)的定积分，Simpson公式和Guass公式比矩形和梯形公式更可行，更有效。