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一、选择题1若双曲线1(a0，b0)与直线yx无交点，则离心率e的取值范围是()A(1,2)B(1,2C(1，)D(1，解析因为双曲线的渐近线为yx，要使直线yx与双曲线无交点，则直线yx应在两渐近线之间，所以有，即ba，所以b23a2，c2a23a2，即c24a2，e24，所以1e2.答案B2已知椭圆1(0b2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是()A1BC.D解析由椭圆的方程，可知长半轴长为a2；由椭圆的定义，可知|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3，由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即3，可求得b23，即b.答案D3已知椭圆1(0b2)与y轴交于A，B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则ABF的面积的最大值为()A1B2 C4D8解析不妨设点F的坐标为(，0)，而|AB|2b，SABF2bb2(当且仅当b24b2，即b22时取等号)，故ABF面积的最大值为2.答案B4(2014四川卷)已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2B3 C.D解析设直线AB的方程为xnym(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，2，x1x2y1y22.又yx1，yx2，y1y22.联立得y2nym0，y1y2m2，m2，即点M(2,0)又SABOSAMOSBMO|OM|y1|OM|y2|y1y2，SAFO|OF|y1|y1，SABOSAFOy1y2y1y12 3，当且仅当y1时，等号成立答案B二、填空题5已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为_解析由已知得A1(1,0)，F2(2,0)设P(x，y)(x1)，则(1x，y)(2x，y)4x2x5.令f(x)4x2x5，则f(x)在1，)上单调递增，所以当x1时，函数f(x)取最小值，即取最小值，最小值为2.答案26已知A(1,2)，B(1,2)，动点P满足.若双曲线1(a0，b0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是_解析设P(x，y)，由题设条件，得动点P的轨迹为(x1)(x1)(y2)(y2)0，即x2(y2)21，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆又双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，即bxay0，由题意，可得1，即1，所以e2，又e1，故1e2.答案(1,2)7若椭圆1(ab0)与双曲线1的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围为_解析可知e1，e1，所以ee22e1e20e1e21.答案(0,1)8直线3x4y40与抛物线x24y和圆x2(y1)21从左到右的交点依次为A，B，C，D，则的值为_解析由得x23x40，xA1，xD4，yA，yD4.直线3x4y40恰过抛物线的焦点F(0,1)AFyA1，DFyD15，.答案三、解答题9(2014新课标全国卷)已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积解(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x,2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为yx.又|OM|OP|2，O到l的距离为，|PM|，所以POM的面积为.10(2014湖北黄冈中学等八校联考)如图所示，已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0)，C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点(1)写出抛物线C2的标准方程；(2)求证：以AB为直径的圆过原点；(3)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值(1)解设抛物线的标准方程为y22px(p0)，由F(1,0)，得p2，C2：y24x.(2)证明可设AB：x4ny，联立y24x，得y24ny160.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y216，x1x216，x1x2y1y20，即以AB为直径的圆过原点 (3)解设P(4t2,4t)，则OP的中点(2t2,2t)在直线l上，得n1，又t0，n1，直线l：xy4.设椭圆C1：1，与直线l：xy4联立可得：(2a21)y28(a21)ya417a2160，由0，得a，长轴长最小值为.11(2014苏、锡、常、镇四市教学情况调查)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆1(ab0)上不同的三点，A(3，)，B(3，3)，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上(1)求椭圆的标准方程；(2)求点C的坐标；(3)设动点P在椭圆上(异于点A，B，C)且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明为定值并求出该定值解(1)由已知，得解得所以椭圆的标准方程为1.(2)设点C(m，n)(m0，n0)，则BC中点为.由已知，求得直线OA的方程为x2y0，从而m2n3.又点C的椭圆上，m22n227.由，解得n3(舍)，n1，从而m5.所以点C的坐标为(5，1)(3)设P(x0，y0)，M(2y1，y1)，N(2y2，y2)P，B，M三点共线，整理，得y1.P，C，N三点共线，整理，得y2.点P在椭圆上，x2y27，x272y.从而y1y23.所以5y1y2.为定值，定值为.
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