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命题与证明复命题与证明复习习本章主要内容有本章主要内容有定义、命题、证明、反例和反证法定义、命题、证明、反例和反证法 1 1、能清楚地规定某一名称或术语的、能清楚地规定某一名称或术语的 的句子叫做定义的句子叫做定义2 2、对某一件事作出、对某一件事作出 的句子叫做命题；的句子叫做命题； 叫做真命题，叫做真命题， 叫做假命题叫做假命题要说明一个命题是假命题，常用的方法是举出一个要说明一个命题是假命题，常用的方法是举出一个 . .要说明一个命题是真命题，常用要说明一个命题是真命题，常用 方法方法意义意义正确或不正确判断正确或不正确判断正确的命题正确的命题不正确的命题不正确的命题反例反例推理推理3、数学中通常挑选一部分人类经过长期实践后、数学中通常挑选一部分人类经过长期实践后公认为正确的命题公认为正确的命题,作为判断其他命题的作为判断其他命题的_,这些公认为正确的命题叫做这些公认为正确的命题叫做_.用用_的方法判断为正确的方法判断为正确,并且可以作为并且可以作为判断其他命题真假的依据的判断其他命题真假的依据的_叫做定叫做定理理.公理公理依据依据推理推理命题命题4 4、要判定一个命题是真命题，往往需要从命题、要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，依据已知的定义、定理、公理，的条件出发，依据已知的定义、定理、公理，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做_._.证明证明下列说法正确的是（下列说法正确的是（ ）：）：（A）命题一定是正确的）命题一定是正确的（B）不正确的判断就不是命题）不正确的判断就不是命题（C）公理都是真命题）公理都是真命题（D）真命题都是定理）真命题都是定理C5 5、反证法的概念、反证法的概念; ;在证明一个命题时在证明一个命题时, ,人们有时人们有时_, ,从这样的假设出发从这样的假设出发, ,经过推理得出和经过推理得出和_矛盾矛盾, ,或者与或者与_等矛盾等矛盾, ,从而得出从而得出_, ,即所求证的命题正确即所求证的命题正确. .这种证明方法叫做这种证明方法叫做反证法反证法. .先假设命题不成立先假设命题不成立已知条件已知条件定义定义, ,公理公理, ,定理定理假设不成立假设不成立用反证法证明用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角在直角三角形中，至少有一个锐角不大于不大于45450 0”时，应先假设（时，应先假设（ ）A A、至少有一个锐角小于、至少有一个锐角小于45450 0 B B、至少有一个锐角等于、至少有一个锐角等于45450 0C C、每个锐角都大于、每个锐角都大于45450 0D D、每个锐角都小于、每个锐角都小于45450 0C反证法的一般步骤反证法的一般步骤: :从假设出发从假设出发假设命题不成立假设命题不成立引出矛盾引出矛盾假设不成立假设不成立求证的命题正确求证的命题正确得出结论得出结论w证明文字几何命题的一般步骤证明文字几何命题的一般步骤: :w(1)(1)理解题意理解题意: :分清命题的条件分清命题的条件( (已知已知),),结论结论( (求证求证););w(2)(2)根据题意根据题意, ,画出图形画出图形; ;w(3)(3)结合图形结合图形, ,用用符号语言符号语言写出写出“已知已知”和和“求证求证”; ;w(4)(4)分析题意分析题意, ,探索证明思路探索证明思路; ;w(5)(5)依据思路依据思路, ,运用数学符号和数学语言条运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程理清晰地写出证明过程; ;例例1 1、下列语句中哪些是命题？、下列语句中哪些是命题？（1 1）每单位面积所受到的压力叫做压强；）每单位面积所受到的压力叫做压强； （2 2）如果）如果a a是实数，那么是实数，那么a a2 2+1+10 0； （3 3）两个无理数的乘积一定是无理数；）两个无理数的乘积一定是无理数； （4 4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （5 5）连接）连接ABAB； （6 6）不相等的两个角不可能是对顶角）不相等的两个角不可能是对顶角（7 7）作两条相交直线）作两条相交直线（8 8）生活在水里的动物是鱼。）生活在水里的动物是鱼。（9 9）相等吗？和对于命题对于命题“不相等的两个角不可能是对顶角不相等的两个角不可能是对顶角”条件：条件：结论：结论：改写成改写成“如果如果，那么，那么”的形式：的形式：两个角不相等两个角不相等这两个角不可能是对顶角这两个角不可能是对顶角如果两个角不相等，那么这两个角不可能是对顶角如果两个角不相等，那么这两个角不可能是对顶角对于命题对于命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”条件：条件：结论：结论：改写成改写成“如果如果，那么，那么”的形式：的形式：直角三角形斜边上的中线直角三角形斜边上的中线它的长度等于斜边的一半它的长度等于斜边的一半如果有一条线段是直角三角形斜边上的中线，如果有一条线段是直角三角形斜边上的中线，那么它的长度等于斜边的一半。那么它的长度等于斜边的一半。例1、证明：等腰三角形两底角的平分线相等。等腰三角形两底角的平分线相等。已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC，BD，CE是是ABC的角平分线。的角平分线。求证：求证：BD=CE.PFECBA例例2：如图在如图在ABCABC中中AB=AC,BAC=90AB=AC,BAC=900 0, ,直角直角EPFEPF的顶点的顶点P P是是BCBC的中点的中点, ,两边两边PEPE、PFPF分别交分别交ABAB、ACAC于点于点E E、F F。 求证：求证：AE=CFAE=CF是否还有其它结论是否还有其它结论。 证明：证明：在三角形中至少有一个角大于或等于600.ACB已知：已知：ABCABC求证：求证：ABCABC中至少有一个角大于或等于中至少有一个角大于或等于6060证明：证明：假设假设ABCABC的三个角都小于的三个角都小于6060，那么三角之和必小于那么三角之和必小于180180，这与，这与“三角三角形三个内角和等于形三个内角和等于180180” 相矛盾。因此，相矛盾。因此，ABCABC中至少有一个角大于或等于中至少有一个角大于或等于6060. .例例3 3 已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中，ACB=90ACB=90，AC=BC.AEAC=BC.AE是是BCBC边上的中线，过边上的中线，过C C作作CFAECFAE于于F F，过过B B作作BDBCBDBC，交，交CFCF的延长线于点的延长线于点D.D.A AB BC CD DE EF F求证：求证：AE=CDAE=CD证明：证明： ACB=90，CFAE EAC+ACF=90，DCB+ACF=90EAC=DCBBDBC DBC =90=ACB又又AC=BC AE=CD 说明：在三角形中，有多个垂直关说明：在三角形中，有多个垂直关系时，常利用系时，常利用“同角（或等角）的同角（或等角）的余角相等余角相等”来证明两个角相等，从来证明两个角相等，从而证明三角形全等而证明三角形全等. .例例4 4 已知：如图，已知已知：如图，已知ADAD是是ABD ABD 和和ACDACD的公共边的公共边求证：求证：BDC=BAC+B+CBDC=BAC+B+CABCD例例4、 如图，已知如图，已知AD是是ABD 和和ACD的公共边的公共边.求证：求证： BDC=BAC+B+CABCD1234证法一：证法一：在在ABD中中, 1180B3 （三角形内角和定理）（三角形内角和定理） 在在ADC中中, 2180C4 （三角形内角和定理）（三角形内角和定理） 又又BDC36012（周角定义）（周角定义） BDC 360（ 180B3 ）（ 180C4 ） B+C+3+4. 又又 BAC 3+4, BDC B+C+ BAC （等量代换）（等量代换）例例4 如图，已知如图，已知AD是是ABD 和和ACD的公共边的公共边.求证：求证： BDC=BAC+B+C证法二：证法二：.).(18021),(18021).(18021,18021.0000CBBACBDCACDABDBACBDCBDCACDABDBACBDCBDCACDABDBACABCBC即（等量代换）等式性质三角形内角和定理中，在中，在连接ABCD12ABCD1234例例4、 如图，已知如图，已知AD是是ABD 和和ACD的公共边的公共边.求证：求证： BDC=BAC+B+C证法三：证法三： 延长延长AD 1=3+B，2=4+C1+2=3+B+4+C 即即BDC=BAC+B+C用用反证法反证法证明：两直线平行，同旁内角互补。证明：两直线平行，同旁内角互补。abc132已知：如图，已知：如图，ab，a，b都被都被c所截。所截。求证：求证： 1+2=1800证明：假设证明：假设1+21800如图所示，下面四个结论中，请以其中两个为已知条件，第三个为由前面两个条件得出的正确结论，并写出证明过程。AE=AD；AB=AC；OB=OC；B=C。OABCDE探索：探索：（1）如图）如图(甲甲)，在五角星图形中，求，在五角星图形中，求 A+ B+ C+ D+ E的度数。的度数。AEABCDE(甲甲)DCBAEBCD(乙乙)(丙丙)（2）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？例例5如图，四边形如图，四边形ABCD，ADBC，B+C=90点点M、N分别是分别是AD、BC的的中点，求证中点，求证MN= （BC-AD）21
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