第十二章级数试题无水印

第一节 常数项级数的概念和性质12 无穷级数1201常数项级数的概念和性质 120101常数项级数的概念 120102收敛级数的基本性质120101选择题中等0.5常数项级数的概念 常数项级数的概念试题内容若则级数（）.（）一定发散，（）一定收敛于，（）一定收敛于；（）敛散性不能确定.试题答案及评分标准 3分120102选择题较易 0.3常数项级数的概念 常数项级数的基本性质试题内容若级数收敛，则下列级数不收敛的是（）.（）（）（）（）试题答案及评分标准 B 3分120103选择题较易 0.3 收敛级数的基本性质 级数收敛的必要条件试题内容对于级数，使它收敛的( )条件。 A、充分 B、必要 C、充要 D、非充分且非必要试题答案及评分标准 B 3分120104填空题较难0.7常数项级数的性质 常数项级数的性质试题内容已知级数收敛，则 试题答案及评分标准 3分120105填空题较易0.3常数项级数的性质 常数项级数的性质试题内容若级数收敛于，则级数收敛于试题答案及评分标准 3分120106填空题较难0.7常数项级数的性质极限常数项级数的性质试题内容若级数收敛，则试题答案及评分标准 3分120107填空题较难0.7常数项级数的性质极限常数项级数的性质试题内容设，收敛，则收敛的充要条件是 。试题答案及评分标准 3分120108计算题较易0.3常数项级数收敛的定义 常数项级数收敛的定义试题内容 ；试题答案及评分标准解：，(),原级数发散。3分120109计算题较难0.3 常数项级数收敛的定义 常数项级数收敛的定义试题内容试题答案及评分标准解：，()，原级数收敛且和为。 3分120110计算题较难0.5常数项级数收敛的定义 常数项级数收敛的定义试题内容 试题答案及评分标准解： ，()，原级数收敛且和为。3分120111计算题较难0.5常数项级数收敛的定义 常数项级数收敛的定义试题内容试题答案及评分标准解：, ，原级数收敛且和为。，原级数收敛且和为120112计算题较难0.5常数项级数收敛的定义 常数项级数收敛的定义试题内容判断级数的收敛性；试题答案及评分标准解：，原级数收敛且和为。 5分120113计算题较难0.5常数项级数收敛的定义 常数项级数收敛的定义试题内容 判断级数的收敛性试题答案及评分标准解： ,故原级数收敛，且和为. 5分 120114计算题较难0.5 常数项级数收敛的性质p级数的收敛性 试题内容判断级数的收敛性试题答案及评分标准由几何级数与级数敛散性知：均收敛，由收敛级数性质知：收敛。 5分120115计算题较难0.5常数项级数收敛的定义 常数项级数收敛的定义试题内容判断级数的收敛性试题答案及评分标准【解】， 2分， 于是，原级数收敛。 5分120116计算题较易0.3常数项级数收敛的性质 常数项级数收敛的性质试题内容判断级数的收敛性， 由级数收敛必要条件知：原级数发散 3分12 无穷级数1202常数项级数的审敛法 120201正项级数及其审敛法 120202交错级数及其审敛法120203绝对收敛与条件收敛120201选择题难易程度绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛试题内容级数的敛散性是（ ）（A）当时绝对收敛，时条件收敛；（B）当时绝对收敛，时条件收敛；（C）当时发散， 时收敛（D）对任意均绝对收敛试题答案及评分标准 A 3分120202选择题难易程度交错级数审敛法 级数收敛定义 交错级数审敛法试题内容 设级数条件收敛，则必有 （ ）（A）收敛 （B）收敛（C）收敛 （D）与都收敛试题答案及评分标准 C 4分120203选择题难易程度正项级数审敛法 正项级数审敛法试题内容下列级数中，收敛的是（ ）（）（）（）（）试题答案及评分标准 A 3分120204选择题难易程度绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛试题内容设，且收敛，常数，则级数（）（）绝对收敛;（）条件收敛；（）发散；（）敛散性与有关试题答案及评分标准 A 3分120205选择题难易程度正项级数审敛法 正项级数审敛法试题内容“部分和数列有界”，是正项级数收敛的（ ）条件。A、充分 B、必要 C、充要 D、非充分且非必要试题答案及评分标准 C 3分120206选择题难易程度绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛试题内容若级数绝对收敛，则级数必定（ ）。 A、收敛 B、发散 C、绝对收敛 D、条件收敛试题答案及评分标准 A 3分120207选择题难易程度绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛试题内容若级数条件收敛，则级数必定（ ）。 A、收敛 B、发散 C、绝对收敛 D、条件收敛试题答案及评分标准 B 3分120208选择题难易程度交错级数审敛法正项级数审敛法交错级数审敛法试题内容 设, 则( )(A) 与都收敛. (B) 与都发散. (C)收敛, 而发散. (D) 发散, 收敛.试题答案及评分标准由莱布尼兹判别法收敛, . 因为, 发散, 所以发散. (C)是答案. 3分120209选择题难易程度正项级数审敛法 正项级数审敛法试题内容下列各选项正确的是 ( )(A) 若与都收敛, 则收敛 (B) 若收敛, 则与都收敛 (C) 若正项级数发散,则 (D) 若级数收敛, 且, 则级数收敛.试题答案及评分标准 . 所以(A)是答案.120210选择题中 0.5绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛试题内容设a为常数, 则级数 ( )(A) 绝对收敛. (B) 发散. (C) 条件收敛. (D) 敛散性与a取值有关. 试题答案及评分标准绝对收敛, 发散, 所以发散. (B)是答案1202011计算题较难 0.6正项级数审敛法 正项级数审敛法试题内容设且，试根据的值判定级数的敛散性试题答案及评分标准 ， 从而 3分当，即时，级数收敛；当，即时，该级数发散 3分1202012 计算题易0.3正项级数审敛法 正项级数审敛法试题内容试题答案及评分标准解：，由比值判别法知原级数发散。21；解：，由比值判别法知，原级数收敛。 3分1202013计算题易 0.3正项级数审敛法 正项级数审敛法试题内容；试题答案及评分标准解：，原级数发散。 3分1202014计算题易 0.3正项级数审敛法 正项级数审敛法试题内容试题答案及评分标准解：，而发散，由比较判别法知原级数发散。3分1202015计算题易 0.3正项级数审敛法 正项级数审敛法试题内容；试题答案及评分标准解：，由比值判别法知，原级数收敛。 3分1202016计算题易 0.3正项级数审敛法 正项级数审敛法试题内容；试题答案及评分标准解：，由比值判别法知，原级数收敛。 3分1202017计算题易 0.3正项级数审敛法 正项级数审敛法试题内容试题答案及评分标准解：，而，故，由比值判别法知，原级数收敛。 3分 120218计算题易 0.3交错级数收敛性绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛试题内容 求任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛；试题答案及评分标准，而发散，故发散。因此原级数非绝对收敛，又，显然，且，故由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛。 3分120219计算题易 0.3绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛试题内容求任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛；试题答案及评分标准解：，由正项级数的比值判别可知，此级数收敛，故原级数绝对收敛。 3分120220计算题 中0.5交错级数收敛性绝对收敛与条件收敛交错级数收敛性试题内容 求任意项级数的敛散性试题答案及评分标准解：此为交错级数，()而级数发散，故发散，即原级数非绝对收敛，显然单调递减且趋向于零，故原级数条件收敛。 3分120221计算题 易0.4正项级数收敛性 正项级数收敛性试题内容判断的敛散性试题答案及评分标准解：，由比值判别法知原级数收敛。120222计算题 易0.4正项级数收敛性 正项级数收敛性试题内容 判断的敛散性试题答案及评分标准解：，由根值判别法知原级数收敛。 3分120223计算题 易0.4正项级数收敛性 正项级数收敛性试题内容 判断的敛散性，其中()，均为正数；试题答案及评分标准解：，当，即 时，原级数收敛；，即 ，原级数发散，当时不定。 3分120224计算题 中0.5交错级数收敛性绝对收敛与条件收敛交错级数收敛性试题内容判断的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛试题答案及评分标准解：，而发散，故级数发散，即原级数非绝对收敛，原级数为交错级数，显然数列单调递减且收敛于零，故由莱布尼兹判别法知，原级数条件收敛。120225计算题 易0.4正项级数收敛性 正项级数收敛性试题内容判断级数的敛散性；试题答案及评分标准解：，由比值判别法知，原级数发散。 3分120226计算题 中0.5交错级数收敛性绝对收敛与条件收敛交错级数收敛性试题内容判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？试题答案及评分标准解：因为，而发散，此级数不绝对收敛。又因为，且，此级数条件收敛。5分120227计算题 易0.4正项级数收敛性 正项级数收敛性试题内容判别级数的收敛性；试题答案及评分标准【解】，且由级数知收敛， 由极限形式的比较法知：原级数收敛。 3分120228计算题 易0.4正项级数收敛性 正项级数收敛性试题内容判别级数的收敛性试题答案及评分标准【解】，且由级数知收敛， 由极限形式的比较法知：原级数收敛。 3分120229计算题 易0.4正项级数收敛性 正项级数收敛性试题内容判别级数的收敛性，并求极限；试题答案及评分标准【解】（），且 ， 由比值法知：原级数收敛。 5分120230计算题 中0.5交错级数收敛性绝对收敛与条件收敛交错级数收敛性试题内容判别级数的收敛性。 试题答案及评分标准【解】交错级数。，且， 由莱布尼兹判别法知：原级数收敛。又由级数知：发散，故原级数条件收敛。 3分120231计算题 中0.5交错级数收敛性绝对收敛与条件收敛交错级数收敛性试题内容判别级数的收敛性。试题答案及评分标准【解】，原级数为。 ，且， 3分由莱布尼兹判别法知：原级数收敛。 又，且发散，发散。 于是，原级数条件收敛。 6分120232计算题 易0.4正项级数收敛性 正项级数收敛性 试题内容判别级数的敛散性。解： 级数收敛，由比较判别法极限形式可得收敛。 5分第三节 幂级数12 无穷级数1203幂级数120301函数项级数的概念 120302幂级数及其收敛性120303幂级数的性质1201301选择题中 0.5 幂级数及其收敛性 幂级数的收敛性试题内容 若级数在处收敛，则该级数在处（）（A）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散；（D）敛散性不能确定试题答案及评分标准 A 3分120302选择题 中 0.5 幂级数及其收敛性 幂级数的收敛区间试题内容 若级数在上收敛，则级数的收敛半径及级数的收敛区间分别为（ ）.（A）（B）（C）（D）试题答案及评分标准 A 3分120303选择题 中 0.5 幂级数及其收敛性 幂级数的收敛区间试题内容设则幂级数的收敛区间为（ ）.（A）（B）（C）（D）试题答案及评分标准 B 3分120304选择题较难 0.6 幂级数及其收敛性 幂级数的收敛区间试题内容幂级数的收敛区间为（ ）（A）（B）（C）（D）试题答案及评分标准 C 3分120305填空题较难 0.6 幂级数及其收敛性 幂级数的收敛域试题内容幂级数的收敛域为 试题答案及评分标准 3分120306填空题较易0.4 幂级数及其收敛性 幂级数的收敛域 试题内容幂级数的收敛半径为 试题答案及评分标准 4 3分120307填空题 较易0.4 幂级数及其收敛性 幂级数的收敛半径试题内容 幂级数的收敛半径为 试题答案及评分标准 3分120308填空题 较难 0.6 幂级数及其收敛性 幂级数的收敛半径试题内容若幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛半径为.试题答案及评分标准 3分120309填空题难 0.6 幂级数及其收敛性 幂级数的收敛域试题内容幂级数的收敛域是 试题答案及评分标准 3分1203010填空题 较难 0.6 幂级数及其收敛性 幂级数的收敛半径试题内容设有级数, 若, 则该级数的收敛半径为_.试题答案及评分标准 收敛半径R =. 答案为. 3分1203011填空题 较难 0.6 幂级数及其收敛性正项级数审敛法 幂级数的收敛半径试题内容幂级数的收敛半径为_.试题答案及评分标准, 所以. 收敛半径为. 3分1203012填空题 较难 0.6 幂级数及其收敛性正项级数审敛法 幂级数的收敛半径试题内容 幂级数的收敛区间为_.试题答案及评分标准 , 所以收敛半径为1. 当x = 1时, 得级数发散, 当x = 1时, 得级数收敛. 于是收敛区域为1, 1). 3分1203013填空题 较难0.6幂级数及其收敛性 幂级数的收敛区间试题内容 幂级数的收敛区间为_.试题答案及评分标准 , 所以收敛半径为2. 当x = 2时, 得级数发散, 当x = 2时, 得级数 收敛. 于是收敛区域为2, 2). 3分1203014填空题较易0.5 幂级数的性质 幂级数的和函数试题内容幂级数的和函数为_.试题答案及评分标准 . 该等式在(1, 33中成立. 当x = 1时, 得到的数项级数的通项不趋于0. 所以, (1, 1). 3分1203015计算题中等0.5 幂级数及其收敛性幂级数的和函数 幂级数的收敛性及和函数试题内容求幂级数的收敛域及其和函数试题答案及评分标准收敛域上 5分1203015计算题难0.7 幂级数及其收敛性幂级数的和函数幂级数的收敛性及和函数试题内容求幂级数的收敛域及其和函数试题答案及评分标准由，从而为收敛区间 2分又时级数发散（调和级数去掉第一项），时级数由莱布尼茨判别法知道其收敛，从而收敛域为 1分设，则，因此 7分1203015计算题难0.7 幂级数及其收敛性幂级数的和函数幂级数的收敛性及和函数试题内容求幂级数的收敛域及其收敛域上的和函数。试题答案及评分标准解：，此幂级数收敛半径为 2分当时，发散；当时，收敛此幂级数的收敛域为。 1分设， 7分1203016计算题易0.4幂级数及其收敛性 幂级数的收敛性试题内容求幂级数的收敛半径和收敛区间试题答案及评分标准， 2分当时，级数为发散，当时，级数为收敛。故原级数的收敛区间为。 5分1203017计算题易0.4幂级数及其收敛性 幂级数的收敛性试题内容求幂级数的收敛半径和收敛区间试题答案及评分标准，收敛区间为。 3分1203018计算题易0.4幂级数及其收敛性 幂级数的收敛性试题内容求幂级数的收敛半径和收敛区间试题答案及评分标准解：，。3分1203019计算题难0.6幂级数及其收敛性 幂级数的收敛性试题内容 求幂级数的收敛半径和收敛区间试题答案及评分标准解：，。 2分故当，即时收敛，当或时发散，当时，级数为，收敛；当时，级数为，发散。故收敛区间为。5分1203020计算题 难0.6幂级数及其收敛性 幂级数的收敛性试题内容 求幂级数的收敛半径和收敛区间试题答案及评分标准解：，当时，即时收敛，当，即或时发散，。 3分当时原级数为，发散，故收敛区间为。 5分1203021计算题易0.4幂级数及其收敛性 幂级数的收敛性试题内容 求幂级数的收敛半径和收敛区间试题答案及评分标准解：， 当时，原级数，发散。故收敛区间为。 3分 1203022计算题难0.6幂级数求和函数 幂级数求和函数试题内容 求级数和函数试题答案及评分标准解：设， 4分，。 6分1203023计算题难0.6幂级数求和函数 幂级数求和函数试题内容 求级数和函数试题答案及评分标准解：设，则 ， 3分即，。 7分1203024计算题难0.6幂级数及其收敛性 正项级数收敛性幂级数及其收敛性试题内容求幂级数的收敛半径和收敛域试题答案及评分标准解：，故对，原级数收敛，所以收敛半径为，收敛区间为。 3分1203025计算题难0.6幂级数及其收敛性正项级数收敛性幂级数及其收敛性试题内容求幂级数的收敛半径和收敛域；试题答案及评分标准解：，当，即，原级数收敛。当时，原级数收敛，当时，原级数发散。故原级数的收敛区间为 3分1203026计算题难0.7幂级数求和函数 幂级数求和函数试题内容求级数的和函数；试题答案及评分标准解：，但 ，故有， 4分故，。 7分 120327证明题难0.8幂级数和函数幂级数求和函数试题内容求证：；试题答案及评分标准证明：考虑级数，逐项微分得：，。 5分，取，得。 10分120328计算题难0.5 幂级数及其收敛性正项级数收敛性幂级数及其收敛性试题内容求下列幂级数的收敛性和收敛域； 试题答案及评分标准解非缺项幂级数：用收敛半径公式。，收敛半径，2分 当即时，（条件）收敛；当即时，发散， 原幂级数收敛域为 5分120329计算题难0.8 幂级数及其收敛性正项级数收敛性幂级数及其收敛性试题内容求下列幂级数的收敛性和收敛域试题答案及评分标准解缺项幂级数：用比值法收敛半径概念。（有理化） 由比值法知：原级数的绝对值级数当时，收敛；当时，发散。于是，当时，原幂级数绝对收敛；当时，原幂级数发散，故由收敛半径概念知：。 当时，由敛散性概念知：级数发散。于是，原幂级数收敛域为。 10分 120330计算题难0.7 幂级数求和幂级数求和试题内容求下列幂级数在其收敛域内的和函数；试题答案及评分标准解设和函数，逐项积分得：（），对求导得： 8分120331计算题难0.7 幂级数求和幂级数求和试题内容求幂级数的和函数，并求的和。试题答案及评分标准解：设，则，两边积分得两边求导得当时 10分12 无穷级数1204函数展开成幂级数 120401直接法把函数展开成幂级数 120402间接法把函数展开成幂级数120401填空题中等0.5 间接法展开成幂级数 间接法展开成幂级数试题内容 的幂级数展开式为 试题答案及评分标准 3分120402填空题较难0.7 间接法展开成幂级数积分 间接法展开成幂级数试题内容函数在点的邻域内幂级数展开式为.试题答案及评分标准 3分 120403填空题难0.7 间接法展开成幂级数 间接法展开成幂级数试题内容函数在点的邻域内的幂级数展开式为.试题答案及评分标准 因为, , x(-, +),所以 x(-, +). 4分120404计算题较难0.7 间接法展开成幂级数积分 间接法展开成幂级数试题内容将函数展开为的幂级数并求指出该级数的收敛区间.试题答案及评分标准 6分120405计算题较难0.7 间接法展开成幂级数积分 间接法展开成幂级数试题内容将函数展开成的幂级数试题答案及评分标准的定义域为， 2分 2分 从而 6分120406计算题难0.7 间接法展开成幂级数积分间接法展开成幂级数试题内容将函数展开成的幂级数试题答案及评分标准 7分120407计算题难0.7间接法展开成幂级数求积分间接法展开成幂级数 试题内容将函数展开成的幂的级数试题答案及评分标准解：， 5分120408计算题难0.7间接法展开成幂级数求积分间接法展开成幂级数试题内容将函数展开成的幂的级数试题答案及评分标准解：，即 5分 120409计算题难0.7间接法展开成幂级数求积分间接法展开成幂级数试题内容将函数展开成的幂级数；试题答案及评分标准解：， 3分，。 5分120410计算题难0.7间接法展开成幂级数求积分间接法展开成幂级数试题内容将函数，展开成的幂级数； 试题答案及评分标准解： ，()。 5分120411计算题难0.7间接法展开成幂级数 间接法展开成幂级数试题内容将函数展开成的幂级数。解利用几何级数。 ， 5分傅里叶级数12 无穷级数120傅里叶级数 120701函数展开成傅里叶级数 120702正弦级数和余弦级数120701选择题难易程度函数展开成傅里叶级数 函数展开成傅里叶级数试题内容级数设 ，则它的以为周期的傅里叶级数在点处收敛于（ ）.（A） （B） （C） （D）.试题答案及评分标准 C 3分120702选择题难易程度函数展开成傅里叶级数 函数展开成傅里叶级数试题内容以为周期的函数，则它的傅里叶级数的和函数满足（ ）（A）（B）（C）（D）试题答案及评分标准 A 3分120703选择题难易程度函数展开成傅里叶级数 函数展开成傅里叶级数试题内容函数的傅里叶展开式为（ ）（A） （B）（C） （D）试题答案及评分标准 B 3分120704填空题难0.7 函数展开成傅里叶级数 函数展开成傅里叶级数试题内容设函数 ，则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于试题答案及评分标准 3分120705选择题中等0.5函数展开成傅里叶级数 函数展开成傅里叶级数试题内容设函数的傅里叶级数展开式为，则其中系数试题答案及评分标准 3分120706填空题难0.7 函数展开成傅里叶级数 函数展开成傅里叶级数试题内容设函数以为周期，它在上的表达式为求的Fourier级数及其和函数在处的值试题答案及评分标准 的Fourier级数为 7分120707计算题中等0.5 函数展开成傅里叶级数 函数展开成傅里叶级数试题内容设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，试将函数展开成傅立叶级数试题答案及评分标准，（奇函数在对称区间上积分） 2分4分从而 7分 120708计算题中等0.5 函数展开成傅里叶级数 函数展开成傅里叶级数试题内容设是以为周期的函数，当时，。又设是的以为周期的Fourier级数之和函数。试写出在内的表达式。 试题答案及评分标准解答： 对作周期为的延拓，在内的表达式为 3分满足Fourier级数收敛的充分条件。 5分故 10分120709计算题难0.7 函数展开成傅里叶级数 函数展开成傅里叶级数试题内容 将函数在区间上展开为傅里叶级数 试题答案及评分标准解：为偶函数， 2分 ， 7分令，得，且在上连续，。 10分120710计算题难0.7 函数展开成傅里叶级数 函数展开成傅里叶级数试题内容 将，函数在区间上展开为傅里叶级数 试题答案及评分标准解：由于是奇函数，故， 2分 5分。 10分 120711计算题难0.7函数展开成正弦级数和余弦级数 函数展开成正弦级数和余弦级数试题内容将函数分别展开成正弦级数和余弦级数。试题答案及评分标准解：1）正弦级数，注意到，作奇延拓，使在上恒有。再将周期延拓得，是一个以为周期的连续函数，计算傅里叶系数如下：，() 3分 ,. 5分2)余弦函数作偶延拓设，使在上恒有。再将周期延拓得，是一个以为周期的连续函数，计算傅里系数如下： , 3分, 5分120711计算题难0.7 函数展开成傅里叶级数 函数展开成傅里叶级数试题内容设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，将展开成傅里叶级数。试题答案及评分标准解：奇函数，所以 2分 5分 所以，除均成立，()。 6分120712计算题难0.7 函数展开成傅里叶级数 函数展开成傅里叶级数试题内容 将周期函数，展为傅里叶级数试题答案及评分标准解： 2分 5分所以 6分12 无穷级数1208一般周期函数的傅里叶级数 120801周期为的周期函数的傅里叶级数 120704填空题较难0.5 周期为的周期函数的傅里叶级数 周期为的周期函数的傅里叶级数 试题内容设是周期为2的周期函数，它在区间上的定义为 ，则的傅里叶级数在处收敛于在收敛于试题答案及评分标准 3分