论文定积分元素法

2012 届学士学位论文 定积分的元素法及其应用系 别: 数学系 专 业: 数学与应用数学 学 号: 姓 名: _指 导 教 师: 指导教师职称: 定积分的元素法及其应用 摘要合理选取积分元素是运用定积分元素法解决具体问题的关键. 理解了积分元素的本质,就会避免实际应用中的随意性和盲目性,达到正确有效地选取积分元素的目的.积分元素，也称微元或元素，是定积分“化曲为直，以直代曲”思想的具体表现，是定积分应用中所谓“元素法”的核心的精华所在。寻求积分元素问题是用定积分解决实际问题的关键一步。定积分是微积分中的重要内容，而定积分元素法经常被用在解决许多实际问题，如利用定积分元素法去求解几何、物理甚至是经济方面的问题。在数学分析中，我们经常用定积分的元素法求旋转体体积，利用定积分元素法求解第一、二型曲面积分，被积函数是单变量函数或可化为单变量函数的函数，利用积分元素法，能将其直接化为定积分计算，这种简单的算法还可以推广到计算具有类似特征的三重积分。关键词：定积分，元素法，简单应用，微分Element method of definite integral and its application Abstract : Reasonable selection of integral element is the use of the definite integral element method to solve specific problems . The key to understand the essence of integral element, can avoid the practical application of the randomness and blindness, to properly select the integral element. Element of the integral, also known as the element or elements, is the definite integral for straight and curly, straight generation of song of the thought specific performance, is the application of definite integral in the so-called element of the core essence. Seeking integral element is integral to solve practical problems with the key step. A definite integral is an important content in the calculus, and definite integral element method is used to solve many practical problems, such as the use of the definite integral element method to solving geometric, physical and economic aspects. In mathematical analysis, we often use element method of definite integral calculating the volume of rotating object, using the definite integral element method for solving the first, the two type of integral, the integrand is a function of a single variable or as a function of a single variable function, using the integral element method, can be directly into definite integral calculation, this simple algorithm can also be extended to calculate with similar characteristics of three triple integral.Key words: Definite integra , Element method , A simple application , Differential 目录一、元素法及其例题和积分元素的本质 5 1.1 元素法及其例题 5 1.2积分元素的本质 7二、应用定积分元素法求旋转体体积 8三、利用元素法简化第一型曲面积分的计算 13四、用元素法把二重积分直接化为单积分命题及其典型例题 15 1.1用元素法把二重积分直接化为单积分命题 151.2典型例题 16参考文献 18致谢 18一 元素法及其例题和积分元素的本质1.1 元素法及其例题严格地说，用定积分解决实际问题都应当经过“分割”，“近似”，“求和”，“取极限”四个步骤。例题1：求A,B,使得，要求B-A0.1 解：将区间n等分，有定积分的定义可得，其中，i=1,2，,n，因为函数在上单调递增，所以，i=1,2，,n，从而此时取n=5,令则必有，且B-A=例题2：通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算定积分.解： 例题3：设f(x)和g(x)在上连续，证明：其中证明：不妨令 .当M=0时，f(x)0,结论显然成立，所以不妨设M0在上连续，从而一致连续，0，0，当时，i=0,1,2,n-1,=由的任意性，可知=0一般地,如果某一实际问题中所求量U 符合下列条件:(1) U 是与一个变量x 的变化区间 a , b 有关的量.(2) U 对于区间 a , b 具有可加性.(3) U 在 a , b 的任意子区间 x , x + x 上的部分量U f ( x ) x 就可考虑用定积分表达这个量U 通常写出U 的积分表达式的步骤是:(1) 选取一个变量如x 为积分变量,确定其变化区间 a , b .(2) 任取 x , x + a , b ,求出这个小区间上的部分量U 的近似值. 如果U f ( x) ,其中f ( x) 是 a , b 上的一个连续函数在x 处的值, 是这个小区间的长度,且U 与f ( x) 的近似程度可达到U 与f ( x ) 相差一个比 (即x) 高阶的无穷小,就把f ( x) 称为量U 的积分元素,且记作 , 即: = f ( x) .(3) 以所求量U 的元素f ( x) 为被积表达式,在区间 a , b 上作定积分得: 以上即元素法. 综观元素法思路会发现,步骤(2) 至关重要,但同时也疑团重重:既然元素记作 ,就应和U 的微分有关,而所求量U 却是一个待确定的常数值,其微分应为0 才对.1.2积分元素的本质设f ( x ) 是 a , b 上的连续函数,则f ( x ) 在 a , b 上的变上限积分函数,x a , b 其对上限x 的导数U( x ) = f ( x)设,则其在 a , b 的子区间 x , x + x 上所对应的部分量其中 x , x + x .当x 0 时,由f ( x) 的连续性知f () f ( x ) . 故此时有 U f ( x) x = U( x ) x = d U ( x ) .由微分定义知: U d U ( x ) = o( x)这里的d U ( x) = f ( x ) x ,符合元素法步骤(2) 的要求,显然即是其中的积分元素d U. 因而所谓积分元素,实质上却是微分元素,即f ( x ) 在 a , b 上的变上限积分函数(一个原函数) U ( x) 在x 处的微分,故积分元素又称微元. 微分性质决定了它的特征是:(1) 它是与x 成正比的量.(2) 它与所求量U 的部分量U 只相差一个比x 高阶的无穷小.大多数实际问题中,所求得的部分量U 的近似值均符合上述两个特征,可直接取作积分元素. 但如果习惯性地认为只要是U 的近似值,就可作为积分元素,那就不对了. 事实上,个别问题如不加分析地这样做就会出错,错误的原因往往在于忽略了积分元素的特征,尤其是第二个特征. 以求平面曲线的弧长为例说明上述问题.如图1 所示,求光滑曲线y = f ( x) 在 a , b 上的一段弧 之长.图1设弧长为s , 如果认为, f ( x) 是光滑曲线, 在 x , x + d x 上f ( x) 大致不变,因而部分量s = 从而取MN1 的长为弧长元素, 即,于是显然不对,原因是这里的并不是(x) 的高阶无穷小,因此这里的不可能是 a , b 上的弧长函数s ( x ) 在x 处的微分,取为积分元素是错误的. 正确的积分元素是弧长函数s ( x)在x 处的微分,即弧微分: ,因而弧长: 二 应用定积分元素法求旋转体体积定积分具有广泛的应用, 除了可以用它来解决诸如“面积”、“ 弧长”、 “ 重心” 等等计算问题之外, 还可以用其解决一些特殊的体积计算问题. 比如欲求如图2所示平面区域D绕直线y=k旋转所得旋转体的体积为这类问题对于我们学生来说是不难解决.但是若将上面的直线变成任一平面直线L：y=kx+b, 求绕L的旋转体的体积，这类问题对于我们绝大多数学生来说难度相当高.绕直线x+y-3=0之旋转体的体积.解：设如图3所示，区域D的面积为A，D 域绕直线L的旋转体体积为易求出为求，利用古尔丁（Guldin）公式有： （1）其中A为母面D之面积，d为由母面D之形心（）到直线L的距离.则 . 图3但是，根据工科院校的数学分析的教学大纲精神，一般都不曾介绍“古尔丁”公式，所以对于我们大部分学生来说都不能完整地计算出这道题. 我们一般是这样计算旋转体体积的： (*) 注：以上公式（2）适用于任一垂直于直线L的垂线与曲线y=f(x)只有一个交点的平面区域D，绕直线L的旋转体体积计算问题.如果D的边界与直线L的垂线有多于一个交点时，可通过对区域D之边界分段计算即可. 下面列举公式（*）的一个应用例题：三 利用元素法简化第一型曲面积分的计算第一型曲面积分的直接计算方法是先在直角坐标系下设法转化为二重积分, 然后再进行两个累次积分的计算，利用球面坐标及柱面坐标计算第一型曲面积分, 其本质是把曲面积分转化为在球面坐标系及柱面坐标系下两个累次积分的计算。但是第一型曲面积分的直接计算一般比较繁, 有时甚至难以进行。为了简化重积分和曲面积分的计算, 有学者讨论了把重积分或曲面积分化为定积分进行计算 3- 5。而对于不少一元函数或可化为一元函数的第一型曲面积分, 如能基于该一元变量, 利用元素法把面积微元表示成该变量函数与变量微分的积, 第一型曲面积分就可直接化为定积分, 进行简化的计算。四 用元素法把二重积分直接化为单积分命题及其典型例题对于特殊多元积分直接化为定积分常规方法下需用雅可比行列式作代换才能计算的二重积分, 若用元素法就可很容易地解出. 此法求解二重积分是以曲线, 直线, 射线, 折线等分割平面区域, 结合初等几何知识和微分学中“ 以直代曲 ”思想方法, 构建面积元素的一元微分, 进而将二重积分直接化为单积分. 通过归纳总结可得出简化二重积分计算的如下命题.1.1用元素法把二重积分直接化为单积分命题此法关键是构建面积元素的一元微分.下面对几个典型的例子给出新解法以阐述如何使用这种方法.1.2典型例题 参考文献：【1】 华东师范大学数学系.数学分析【M】.北京：高等教育出版社，2001.【2】 钱吉林.数学分析题解精粹【M】.崇文书局出版，2003.【3】 同济大学数学教研室.高等数学【M】.北京：高等教育出版社，1978.【4】 居余马，葛严麟.高等数学【M】.北京：清华大学出版社，1996【5】 裴礼文.数学分析中的典型例题与方法. 【M】.北京：高等教育出版社，2007【6】 熊明.构建区域元素一元微分重积分直接化为单积分【J】.四川教育学院学报，2009.【7】 唐燕贞.重积分曲面积分直接化为定积分的一种方法【J】.高等数学研究，2007.【8】 钱吉林.由一道例题的证明所想【M】.崇文书局出版，2003.致谢 在本论文的写作过程中，我的导师倾注了大量的心血，从选题到开题报告，从写作提纲，到一遍又一遍地指出每稿中的具体问题，严格把关，循循善诱，在此我表示衷心的感谢。同时我还要感谢在我学习期间给我极大关心和支持的各位老师以及关心我的同学和朋友。写作毕业论文是一次再系统学习的过程，毕业论文的完成，同样也意味着新的学习生活的开始。18