数学经典易错题会诊与高考试题预测4

经典易错题会诊与2012届高考试题预测(四)考点4 数 列 经典易错题会诊 命题角度1 数列的概念 命题角度2 等差数列 命题角度3 等比数列 命题角度4 等差与等比数列的综合 命题角度5 数列与解析几何、函数、不等式的综合 命题角度6 数列的应用探究开放题预测 预测角度1 数列的概念 预测角度2 等差数列与等比数列 预测角度3 数列的通项与前n项和 预测角度4 递推数列与不等式的证明 预测角度5 有关数列的综合性问题 预测角度6 数列的实际应用 预测角度7 数列与图形经典易错题会诊命题角度 1 数列的概念1(典型例题)已知数列an满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1,(n2)，则an的通项an=_. 考场错解 an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1，an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2，两式相减得an-an-1=(n-1)an-1，an=nan-1.由此类推： an-1=(n-1)an-2，a2=2a1，由叠乘法可得an= 专家把脉 在求数列的通项公式时向前递推一项时应考虑n的范围当n=1时，a1=与已知a1=1，矛盾 对症下药 n2时，an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1 当n3时，an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2 -得 an-an-1=(n-1)an-1当n3时，=n，an=n43a2=a2，a2=a1=1当n2时，an= . 当n=1时，a1=1故an= 2(典型例题)设数列an的前n项和为Sn,Sn=(对于所有n1)，且a4=54，则a1的数值是_.考场错解Sn=,此数列是等比数列，首项是a1，公比是3，由a4=a134-1，a1=2 专家把脉 此题不知数列an的类型，并不能套用等比数列的公式而答案一致是巧合对症下药a4=S4-S3=(34-1)-(33-1)=54，解得a1=2 3.(典型例题)已知数列an满足a1=1，an=3n-1+an-1(n2) (1)求a2，a3； (2)求通项an的表达式 考场错解 (1)a1=1，a2=3+1=4，a3=32+4=13 (2)由已知an=3n-1+an-1，即an-an-1=3n-1 即an成等差数列，公差d=3n-1故an=1+(n-1)3n-1 专家把脉 (2)问中an-an-1=3n-1，3n-1不是常数，它是一个变量，故不符合等差数列的定义 对症下药 (1)a1=1，a2=4，a3=32+4=13(2)由已知an-an-1=3n-1，故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+3+1=. 4(典型例题)等差数列an中，a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于 ( ) A.160 B180 C. 200 D220 考场错解 由通项公式an=a1+(n+1)d.将a2,a3，a18，a19，a20都表示成a1和d.求a1、d，再利用等差数列求和，选C 专家把脉 此方法同样可求得解但解法大繁，花费时间多，计算量大故而出错，应运用数列的性质求解就简易得多对症下药 B 由公式m+n=2Pam+an=2ap?(只适用等差数列)即可求解由a1+a2+a3=-24，可得：3a2=-24 由a18+a19+a20=78，可得：3a19=78 即 a2=-8，a19=26又S20=10(a2+a19)=180 2(典型例题)若an是等差数列，首项a10，a2003+a20040，a2003a20040，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是 ( ) A.4005 B4006 C.4007 D.4008 考场错解 a2004+a20030，即2a1+2002d+2003d0，(a1+2002d)(a1+2003d)0即使na1+d0这样很难求出a1，d.从而求出最大的自然数 n.故而判断a20030，a20040 专家把脉 此题运用等差数列前n项的性质及图象中应注意a20030，a20040，a2003+a20040，a2003a20040，且an为等差数列 an表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a2003是绝对值最小的正数，a2004是绝对值最大的负数(第一个负数)，且|a2003|a2004|在等差数列an中，a2003+a2004=a1+a40060，S4006=0 使Sn0成立的最大自然数n是4006 3(典型例题)设无穷等差数列an的前n项和为Sn. ()若首项a1=，公差d=1，求满足Sk2=(Sk)2的正整数k; ()求所有的无穷等差数列an；使得对于一切正整数中k都有Sk2=(Sk)2成立 考场错解 (1)当a1=,d=1时，Sn=n2+n，由Sk2=(Sk)2得k4+k2=，即k=0或k=4 k0故k=4 ()由对一切正整数k都有Sk2=(Sk)2成立 即k2a1+d=(ka1+)2即(a1-)k2-adk2(k-1)+k2(k2-1)-k2(k-1)2=0对切正整数k恒成立 故 求得a1=0或1，d=0 等差数列an=0,0,0,，或an=1，1，1， 专家把脉 ()中解法定对一切正整数k都成立而不是一切实数故而考虑取k的特值也均成立 对症下药 ()当a1=,d=1时，Sn=na1+由Sk2=(Sk)2,得k4+k2=(k2+k)2，即k3=0.又k0，所以k=4 ()设数列an的公差为d，则在Sk2=(Sk)2中分别取k=1,2,得由（1）得a1=0或a1=1. 当a1=0时，代入（2）得d=0或d=6.若a1=0,d=0,则an=0,sn=0,从而Sk2=(Sk)2成立；若a1=0,d=6,则an=6(n-1),由S3=18，（S3）2=324,S9=216知S9(S3)2，故所得数列不符合题意.当a1=1时,代入(2)得 4+6b=(2+d)2解得d=0或d=2.若a1=1,d=0,则an=1,Sn=n,从而Sk2=(Sk)2成立；若a1=1,d=2,则an=2n-1,Sn=1+3+（2n-1）=n2,从而Sk2=(Sk)2成立.综上,共有3个满足条件的无穷等差数列:an：an=0,即0，0，0，；an:an=1,即1，1，1，；an:an=2n-1,即1，3，5，.4.(典型例题)已知数列an的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1=an(4-an),nN.(1)证明anan+12,nN.(2)求数列an的通项公式an.考场错解 用数学归纳法证明：（1）1当n=1时，a0=1,a1=a0（4-a0）=,a0a12,命题正确.2假设n=k时有ak-1ak2.则n=k+1时，ak-ak+1=ak-1(4-ak-1)-ak(4-ak)=2(ak-1-ak)-(ak-1-ak)(ak-1+ak)=(ak-1-ak)(4-ak-1-ak).而ak-1-ak0. 4-ak-1-ak0,ak-ak-10.又ak-1=ak(4-ak)=4-(ak-2)22.n=k+1时命题正确.由1、2知，对一切nN时有anan+12.(2)an+1=an(4-an)=-(an-2)2+4.2(an+1-2)=-(an-2)2an+1-2=(an-2)2令bn=an-2,bn=-()1+2+2n-1又b1=a1-2=-.bn=-()2n+2n-1.即an=2-()2n+2n-1.专家把脉 在（）问中求bn的通项时，运用叠代法.最后到b0而不是b1.对症下药（）同上，方法二：用数学归纳法证明：1当n=1时，a0=1,a1=a0(4-a0)=,0a0a12;2假设n=k时有ak-1ak2成立，令f(x)= x(4-x),f(x)在0，2上单调递增，所以由假设有：f(ak-1)f(ak)f(2),即ak-1(4-ak-1)ak(4-ak) 2(4-2),也即当x=k+1时 akak+12成立，所以对一切nN,有akak+12(2)下面来求数列的通项：an+1=an(4-an)=-(an-2)2+4,所以2（an+1-2）=-(an-2)2令bn=an-2,则bn=-=-(-)2=-()2=-（）1+2+2n-1b2n，又bn=-1,所以bn=-()2n-1,即an=2+bn=2-()2n-1专家会诊1.要善于运用等差数列的性质：“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”；等差数列前n项和符合二次函数特征.借助二次函数性质进行数形结合法解等差数列问题.2.会运用一般与特殊的逻辑思维,利用满足条件的特值求相关参数的值,学会分析问题和解决问题.考场思维训练1 在等差数列an中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-a11的值为 ( )A.14 B.15 C.16 D.17答案： C分析：略。2 等差数列an中,若其前n项的和Sn=,前m项的和Sm=(mn,m,nN*),则 ( )A.Sm+n4 B.Sm+nC.Sm+n=4 D.-4Sm+n-2答案： B分析：略。3 数列an是公差d0的等差数列，其前n项和为Sn,且a10=1,()求an的通项公式；答案：由已知a1+9d=1因为a因为d0,所以a9+a15=0,即a1+11d=0由解得()求S的最大值；答案：解an=6-得n12,所以，数列an前11，12和最大，()将Sn表示成关于an的函数.答案：由a4在数列an中a1=,a2=,且log2(3a2-a1)log(3an+1-an),是公差为-1的等差数列，又2a2-a1,2a3-a2,，2an+1-an,是等比数列，公比为q，|q|1,这个等比数列的所有项之和等于.(1)求数列an的通项公式;答案：设bn=log2(3an+1-an),因为 bn是等差数列，d=-1.b1=log2(3a2-a1)=log2即log2(3an+1-a)=-n,所以3an+1-an=2-n设cn=2an+1-an,cn是等比数列，公比为q,|q|1,c1=2a2-a1=2由 由,解得(2)计算(a1+a2+an).答案： lim(a1+a2+an) 5已知数列an是公差d0的等差数列，其前n项和为Sn.(1)求证：点P1(1,),P2(2,),Pn(n,)在同一条直线l1上;1. 答案：因为等差数列an的公差d0, 所以当所以P2，P3，Pn都在过点P1(1,a)且斜率为常数的直线l1上.(2)过点Q1(1,a1),Q2(2,a2)作直线l1、l2,设l1与l2的夹角为，求证：tan答案：直线l2的方程为y-a1=d(x-),直线l2的斜率为d.tan=当且仅当命题角度 3 等比数列1(典型例题)数列an的前n项和记为Sn,已知a1=1,aa+1=(n=1,2,3).证明:()数列是等比数列；()Sn+1=4an.考场错解 ()已知a1=1,an+1=,a2=3S1=3,S2=4 a3=S2=24=8.S3=1+3+8=12.即.故是公比为2的等比数列.()由()知=4于是Sn+1=4(n+1)=4an.又a2=3.S2=a1+a2=4,因此对于任意正整数n1,都有Sn+1=4an.专家把脉 ()中利用有限项判断数列类型是运用不完全归纳法,应给予证明. ()中运用前推一项必须使 n2.对症下药 () an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn,(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理得nSn+1=2(n+1)=Sn,所以=2故是以2为公比的等比数列.()由()知=4(n2).于是Sn+1=4(n+1)=4an(n2).又a2=3S1=3, 故S1=a1+a2=4.因此对于任意整数n1,都有Sn+1=4an.2.(典型例题)已知数列an的前n项和为Sn,Sn=(an-1)(nN*).() 求a1,a2;()求证数列an是等比数列.考场错解 ()S1=(a1-1),得a1=-,S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=.()an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),得,所以an是首项为-，公比为-的等比数列.专家把脉 在利用an=Sn-Sn-1公式时,应考虑n2时才能成立.对症下药 ()由S1=(a1-1),得a1=(a1-1),a1=-.又S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=. ()当n1时,an=SnSn-1=(an-1)-(an-1-1),得=-,所以an是首项为-,公比为-的等比数列.3.(典型例题)等比数列的四个数之和为16,中间两个数之和为5,则该数列的公比q的取值为 ( )A. 或4 B. 或 C. 4或- D. 4或或或考场错解 设这四个数为,aq,aq3.由题意得由得a=,代入得q=或q2=2.q2=或q2=4,故所求的公比为或4.故应选A.专家把脉 上述解答设等比数列的公比为q2是不合理的.这相当于增加了四个数同号这个条件,而题设中的四个数不一定同号.因此,产生了漏解现象.对症下药设这四个数为a,aq,aq2,aq3,则或-.因此,应选D.4.(典型例题)设数列an的首项a1=a,且an+1=()求a2,a3;()判断数列bn是否为等比数列,并证明你的结论;()求(b1+b2+b3+bn).考场错解 ()a2=a1+=a+,a3=a2=a;()bn+1=a2n+1-.()求(b1+b2+b3+bn)= =.专家把脉在求证bn是等比数列是时，式子中，an中n为偶数时， 是连续两项，并不能得出.对症下药 ()a2=a1+=a+,a3=a2=a+;()a4=a3+=a+,所以a5=a4=a+,所以b1=a1-=a-,b2=a3-=(a-),b3=a5-=(a-),猜想:bn是公比为的等比数列.证明如下:因为bn+1=a2n+1-=a2n-=(a2n-1-)=bn,(nN*)所以bn是首项为a-,公比为的等比数列.()求(b1+b2+b3+bn)= 专家会诊1.证明等比数列时应运用定义证为非0常数,而不能(此时n2).2.等比数列中q可以取负值.不能设公比为q2.3.会运用等比数列性质,“若m+n=p+k,则aman=apak”.考场思维训练1 试在无穷等比数列, ,中找出一个无穷等比的子数列(由原数列中部分项按原来次序排列的数列),使它所有项的和为,则此子数列的通项公式为_.答案： an=分析：略。2 已知等比数列an的首项为8,Sn是其前n项的和,某同学经计算得S2=20,S3=36,S4=65,后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（ ）AS1 B. S2 C.S3 D.S4答案： C分析：略。3 已知数列an的首项为a1,公比为q(q-1),用表示这个数列的第n项到第m项共m-n+1项的和.()计算,并证明它们仍成等比数列;答案： S13=a1(1+q+q2),S46=a1q3(1+q+q2)，S79=a1q6(1+q+q2),因为()受上面()的启发,你能发现更一般的规律吗?写出你发现的一般规律,并证明.答案：一般地4 已知数列an中,a1=,an+1=an+()n+1(nN*),数列bn对任何 nN*都有bn=an+1- an.(1)求证bn为等比数列;答案： bn+1=an+2若bn=0,则an+1=b1=a2-(2)求bn的通项公式;(3)设数列an的前n项和为Sn,求.答案： an+1又an+1=SN=3=Sn=2x5 已知数列an的首项为a1=2,前n项和为Sn,且对任意的正整数n,an都是3Sn-4与2-Sn-1的等差中项(n2).(1)求证:数列an是等比数列,并求通项an;答案：当n2时，2an=3Sn-4+2又(2)证明(log2Sn+log2Sn+2)log2Sn+1;答案：由(3)若bn=-1,cn=log2()2,Tn、Rn分别为bn和cn的前n项和.问:是否存在正整数n,使得TnRn,若存在，请求出所有n的值，若不存在请说明理由.答案：当n=1、2、3时，TnRn.即命题角度 4 等差与等比数列的综合1.(典型例题)已知数列an的前n项和Sn=a2-()n-1-b2-(n+1)()n-1(n=1,2,),其中a,b是非零常数,则存在数列xn、yn使得（ ）A.an=xn+yn,其中xn为等差数列，yn为等比数列Ban=xn+yn,其中xn和yn都为等差数列Can=xnyn,其中xn为等差数列，yn为等比数列Dan=xnyn,其中xn和yn都为等比数列考场错解a2-()n-1=xn，b2-(n-1)()n-1=yn,又xn,yn成等比数列，故选D.专家把脉应从数列an的前n项和Sn的表达式入手，而不能从形式上主观判断.对症下药 C. a1=S1=3a an=Sn-Sn-1=a2+()n-1-b2-(n+1)()n+1-a2+()n-2+b2-n()n-2=(bn-b-a)()n-1 ()n-1为等比数列,bn-a-b为等差数列.2.(典型例题)已知数列an是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项和，a1,2a7,3a4成等差数列.() 证明12S3,S6,S12-S6成等比数列; ()求和Tn=a1+2a4+3a7+na3n-2.考场错解 ()由a1,2a7,3a4 成等差数列.得4a7=a1+3a4,4aq6=a+3aq3.从而可求q3=-,或q3=1.当q3=-时，=，=q6=.故12S3，S6，S12-S6成等比数列.当q3=1时,=，=q6=1.故12S3,S6,S12-S6不成等比数列.专家把脉本题条件中已规定q1.故应将q=1时舍去.对症下药()证明:由a1,2a7,3a4成等差数列.得4a7=a1+3a4,即4aq6=a+3aq3.变形得(4q3+1)(q3-1)=0,所以q3=-或q3=1(舍去)由=1+q6-1=q6=,得=.所以12S3,S6,S12-S6成等比数列. ()解法:Tn=a1+2a4+3a7+na3a-2=a+2aq3+3aq6+naq3(n-2),即Tn=a+2(-)a+3(-)2a+n(-)n-1a. (-)3a得:-Tn=-a+2(-)2a+3(-)3a+n(-)na -有：Tn=a+(-)a+(-)2a+(-)3a+(-)n-1a-n(-)na=-n(-)na=a-(+n)(-)na.所以Tn=(-)na.3.(典型例题)如图，OBC的三个顶点坐标分别为（0，0）、（1，0）、（0，2），设P1为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点，令Pn的坐标为（xn,yn）,an=yn+yn+1+yn+2.()求a1,a2,a3及an;()证明yn+4=1-,nN*,()若记bn=y4n+4-y4n,nN*,证明bn是等比数列.考场错解（1）y1=y2=y4=1,y3=,y5=,可求得a1=a2=a3=2,由此类推可求得an=2()将yn+yn+1+yn+2=2同除以2，得yn+4=yn+4=1-.()bn+1=y4n+8-y4n+4=-(y4n+4-y4n)=- bn.=-.故bn是等比数列.专家把脉第()问题运用不完全归纳法求出an的通项.理由不充分,第()问中=-.要考虑b1是否为0.即有意义才更完整.对症下药 ()因为y1=y2=y4=1,y3= ,y5=,所以a1=a2=a3=2.又由题意可知yn+3=.an+1=yn+1+yn+2+yn+3=yn+1+yn+2+=yn+yn+1+yn+2=an,an为常数列.an=a1=2,nN*.()将等式yn+yn+1+yn+2=2两边除以2,得yn+=1,又yn+4=,yn+4=1-.()bn+1=y4n+8-y4n+4=-=-(y4n+4-y4n)=- bn,又b1=y8-y4=-0,bn是公比为- 的等比数列.4.(典型例题)在等差数列an中,公差d0,a2是a1与a4的等比中项.已知数列a1,a3,akn,成等比数列,求数列kn的通项kn.考场错解an=a1+(n-1)d,=a1a4(a1+d)2=a1(a1+3d).d=a1,an=nd.a1=d.a3=3d.=3=q.=q=3.kn是公比为3的等比数列.kn=13n-1=3n-1.专家把脉错因在把k1当作数列an的首项.k1=1.而实际上k1=9.对症下药依题设得an=a1+(n-1)d,=a1a4,(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得d2=a1d, d0,d=a1,得an=nd,所以,由已知得d,3d,k1d,k2d,kndn是等比数列.由d0,所以数列1,3,k1,k2,kn, 也是等比数列,首项为1,公比为q=3,由此得k1=9.等比数列kn的首项k1=9,公比q=3,所以kn=9qn-1=3n+1(n=1,2,3,),即得到数列kn的通项kn=3n+1.专家会诊1.赋值法在解等差、等比数列问题中是常用方法.从而求出系数的值及从中找出规律.2.等比数列中应注意考虑公比等于1的特殊情况,等比数列中的公差为0的特殊情况在解题时往往被忽视.3在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列方程(组)求解.要注意常两种情形的不同之处.考场思维训练1已知数列an满足3an+1+an=4(n1),且a1=9,其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn-n-6|的最小整数n是 （ ）A5 B.6 C.7 D.8答案： C设2 已知等差数列an的首项为a,公差为b;等比数列bn的首项为b,公比为a,其中a,bN+,且a1b1a2b2a3.()求a的值;答案：()若对于任意nN+,总存在mN+，使am+3=bn,求b的值；答案：即b(2n-1-m+1)=5,b=5.()在()中，记cn是所有an中满足am+3=b,mN+的项从小到大依次组成的数列，又记Sn为cn的前n项和，SnTn(nN+).答案：由(2)知an=5n-3,bn=5.2n-1,3 设函数f(x)=ax2+bx+c的图像是以（2，0）为顶点且过点（1，1）的抛物线；数列an是以d为公差的等差数列，且a1=f(d-1),a3=f(d+1);数列bn是以q(q0)为公比的等比数列，且b1=f(-1),b3=f(+1). 求数列anbn的通项公式；答案：解设f(x)=a(x-2)2 过点(1,1),f(x)=(x-2)2222224 知定义在R上的函数f(x)和数列an满足下列条件,a1=a,an=f(an-1)(n=2,3,4,),a2a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,)其中a为常数，k为非零常数.(1)令bn=aa+1-an(nN+),证明：数列bn是等比数列；答案：证明:由(2)求数列an的通项公式；答案：解;由(1)知,bn=kn-1b1=kn-1(a2-a1)(nN)当k1时,b1+b2+bn-1=(a2-a1)当k=1时,b1+b2+bn+1=(n-1)(a2-a1)(n2).而b1+b2+bn-1=(a2-a1)+(a3-a2)+(a3-a2)+ +(an-an-1)=an-a1 (n2)所以,当k1时an-a1=(a2-a1).上式对n=1也成立.所以,数列an的通项公式为上式对n=1也成立,所以,数列an的通项公式为an=a+(n+1)(f(a)-a) (nN)(3)当|k|1时，求答案：解:当|k|1时 liman=lim nn5设实数a0，数列an是首项为a，公比为-a的等比数列，记bn=anlg|an|(nN*),Sn=b1+b2+bn,求证:当a-1时，对任意自然数n都有Sn=1+(-1)n+1(1+n+na)an答案：解:aS=a+得a-1,(1+a)S=命题角度5 数列与解析几何、函数、不等式的综合1（典型例题）已知定义在R上的函数f(x)和数列an满足下列条件：a1=a,an=f(aa-1)(n=2,3,4,),a2a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),其中a为常数，k为非零常数.()令bn=aa+1-an(nN*),证明数列bn是等比数列；()求数列an的通项公式；()当|k|1时，求考场错解()证明:由b1=a2-a10,可得：b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)0.由数学归纳法可证bn=an+1-an0(nN*).由题设条件，当n2时=k故数列bn是公比为k的等比数列.()由()知bn=kn-1(a2-a1)(nN*)b1+b2+bn-1=(a2-a1). (n2) 而b1+b2+bn-1=a2-a1+a3-a2+an-an-1=an-a1(n2)an-a1=(a2-a1)(n2)故an=af(a)-a (nN*)an=a+(n-1)f(a)-a(nN*)()当|k|1时=a+2.（典型例题）如图，直线l1:y=kx+1-k(k0，k)与l2相交于点P.直线l1与x轴交于点P1,过点P1作x轴的垂线交于直线l2于点Q1,过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，这样一直作下去，可得到一系列点P1，Q1，P2，Q2，点Pn(n=1,2,)的横坐标构成数列xn.()证明xn+1-1=(xn-1)，(nN*);（）求数列xn的通项公式；（）比较2|PPn|2与4k2|PP1|2+5的大小.考场错解证明：设点Pn的坐标是（xn,yn）,由已知条件得点Qn、Pn+1的坐标分别是：.由Pn+1在直线l1上，得=kxn+1+1-k.所以（xn-1）=k(xn+1-1).即xn+1-1=（xn-1）,nN*.()由（）知，故xn-1是等比数列，且首项x1-1=-，公比为.从而求得xn=1-2()n,nN*.专家把脉 （）问中对于xn+1-1=(xn-1)先应考虑xn-1能否为0，继而可求.对症下药（）同错解中（）.（）解法：由题设知x1=1-,x1-1=-0,又由（）知xn+1-1=(xn-1),所以数列xn-1是首项为x1-1,公比为的等比数列.从而xn-1=-()n-1,即xn=1-2()n,nN*.（）解法：由得点P的坐标为（1，1）.所以2|PPn|2=2(xn-1)2+2(kxn+1-k-1)2=8()2n+2(2)2n-2,4k2|PP1|254k2(1-1)2(0-1)2+5=4k2+9.（i）当|k|，即k-或k时，4k2|PP1|2+51+9=10.D而此时0|1，所以2|PPn|281+2=10,故2|PPn|24k2|PP1|2+5.(ii)当0|k|，即k（-，0）（0，）时，4k2|PP1|2+51+9=10.而此时|1，所以2|PPN|281+2=10.故2|PPn|24k2|PP1|2+5.3.（典型例题）已知函数f(x)=设数列an满足a1=1,an+1=f(an),数列bn满足bn=|an-|，Sn=b1+b2+bn(nN*).（）用数学归纳法证明bn；（）证明Sn.考场错解()bn=|an-|,又an=1+，an+1=(n2),a2=2,a3=,a4=2.an1.bn=由叠代法.bn.（）Sn=b1+b2+bn(-1)+.专家把脉运用叠代法时并不能化简成.对症下药()证明：当x0时,f(x)=1+1.因为a1=1,所以an1(nN*).下面用数学归纳法证明不等式bn.(1)当n=1时，b1=-1,不等式成立，（2）假设当n=k时，不等式成立，即bk.那么bk-1=|ak+1-|=.所以，当n=k+1时，不等式也成立.根据（1）和（2），可知不等式对任意nN*都成立.()证明：由（）知，bn.所以Sn=b1+b2+bn(-1)+（-1）.故对任意nN*,Sn专家会诊函数、数列、解析几何三者的综合，展示了知识的交汇性，方法的灵活性.因此解此类题目应充分运用函数与数列的联系，即数列是一种特殊函数，以及解析几何中方程与函数、数列的关系来解题.而数列与不等式的综合更显出问题的综合性.考场思维训练1 设函数y=f(x)图像上两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2),若，且点P的横坐标为.（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；答案：（2）若Sn=f()+f()+f()+f(1),nN*，求Sn;答案：由(1)知而Sn两式相加，得所以Sn(3)记Tn为数列的前n项和，若Tna(Sn+2+)对一切nN*都成立，试求a的取值范围.答案：由(2)有,2已知一次函数f(x)的图像关于直线x-y=0对称的图像为C，且f(-1)=0,若点（n+1,（nN*）在曲线C上，并有a1=a2=1.（1）求曲线C的方程；答案：设f(x)=kx+b(k0),则曲线C的方程为由得：k=b=1 C:x-y-1=0.（2）求数列an的通项公式；答案：（3）设Sn=若SnM恒成立，求实数M的取值范围.答案：3过P（1，0）做曲线C:y=yk(x)(0,)，kN+k1）的切线，切点为Q1，设Q1在x轴上的投影为P1，又过P1做曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影为P2，依次下去得到一系列点Q1，Q2，Q3，Qn的横坐标为an.求证：（）数列an是等比数列；答案： y=kxk-1,若切点是Qn(an,a当n=1时，切线过点P(1,0)（）an1+答案：（）（）答案：记4 在xOy平面上有一系列点P1（x1,y1）,P2(x2,y2),Pn(xn,yn),对每个正整数n,点Pn位于函数y=x2(x0)的图象上。以点Pn为圆心的圆Pn与x轴都相切，且圆Pn与圆Pn+1又彼此相外切。若x1=1,且xn+1xn(n=1,2,3).求证：数列|是等差数列；设圆Pn的面积为Sn,Tn=+，求证Tn.答案：记圆Pn的半径为rn,由条件知，yn=所以5.f(x)=ln(2-x)+ax在开区间（0，1）内是增函数求实数a的取值范围答案： f(x)=-由于f(x)在(0,1)内是增函数若数列|an|满足a1(0,1),an+1=ln(2-an)+an(nN+),证明0anan+10且ak+1=ln(2-ak)+ak1(由(1)知f(x)=ln(2-x)+x在(0,1)上是增函数)n=k+1时命题成立，故0an0, 0anan+11若数列|b1|满足b1(0,1),bn+1=2 ln(2-bn)+bn(nN+),问数列|bn|是否单调？答案：数列bn不具有单调性令6在直角坐标平面上有一点列P1（x1,y1）,P2(x2,y2)Pn(xn,yn)对一切正整数n，点Pn位于函数y=2x+的图象上，且Pn的横坐标构成以-为首项，-1为公差的等数列|xn|.求点Pn的坐标；答案：（2）设抛物线列c1 ,c2 ,c3,，cn，中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn的顶点为Pn,且过点Dn(0,n2+1),记与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn求：答案：cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn. Cn设的方程为：（3）设S=x|x=2xnnN+,n1，T=y|y=4yn,n1，等差数列an的任一项anST,其中a1是ST中最大数，-265a10-125,求an的通项公式。答案： S=xx=-(2n+3),nN,n1),T=yy=-(12n+5),nN,n1=yy=-2(6n+1)-3,nN,n1ST=T,T中最大数a1=-17.设an公差为d,则a10=-17+9d(-256,-125), 由此得又a nTd=-12m(mN)命题角度6数列的应用1.（典型例题）某企业20典型例题)若an=n2+An,且数列an为递增数列，则实数的取值范围是_.考场错解 （n,an）(nN+)是函数f(x)=x2+x图象上的点，且数列an为递增数列，只需-1，即-2，的取值范围是-2，+ 专家把脉 忽视了数列的离散型特征数列an为递增数列，只要求满足a1a2an 对症下药 数列an是递增数列，且an=n2+n，其对称轴x=-既可以不超过直线x=1，也可以在 1x之间，故-3 的取值范围是(-3，+)(答案不唯一，-3的所有实数均可) 4(典型例题)自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nN+,且x10不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与Xn成正比，死亡量与x2n成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，C，()求xn+1与xn的关系式；()猜测：当且仅当x1,a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明) ()设a=2，c=1，为保证对任意x1(0，2)，都有xn0，nN+，则捕捞强度b的最大允许值是多少?证明你的结论 考场错解 (1)xn+1 -xn=axn-bxn-cx2n (axn，bxn，cx2n分别为繁殖量、捕捞量，死亡量) ()xn=x1(nN+)由()式得xn(a-b-cxn)=0 x1= ()x1 (0，2)a=2c=102-b2 0b0，所以ab猜测：当且仅当ab，且x1=时，每年年初鱼群的总量保持不变 ()若b的值使得xn0，nN*，由xn+1=xn(3-b-xn)，nN*，知0xn3-b，nN*，特别地，有0x13 -b即0b0又因为xk+1=xk(2- xk)=-(xk-1)2+l10，nN*，则捕捞强度b的最大允许值是1 5(典型例题)假设某市：2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85? 考场错解 (1)an是等差数列 an是中低价房面积a1=250，d=50Sn=25n2+225n由25n2+ 225n4750 即n10(2)设几年后新建住房面积S为：400(1+8)n 85085bn，有250+ (n-1)50400(108)n-1085由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85考场思维训练 1. 将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 910 1l 12 13 14 15 16 其中排在第i行第j列的数若记为aji，则数表中的2005应记为_.答案： 解析：略.2.用砖砌墙，第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，依次类推，每一层都用去了上层剩下的砖块的一半多一块，如果到第九层恰好砖块用完，那么一共用了_块砖答案：1022 解析：由题意知第九层为3. 已知一列非零向量an满足：a1=(x1，y1)，an=(xn，yn)=(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n2) (1)证明：|an|是等比数列； 答案：(2)求向量an-1与an的夹角；(n2)答案： (3)设a1=(1，2)，把a1，a2，an，中所有与a1共线的向量按原来的顺序排成一列，记为b1，b2，bn。令OBn=b1+b2+bn，O为坐标原点，求点列Bn的极限点B的坐标(注：若点坐标为(tn,sn)，且limtn=t,limsn=s，则称点B(t，s)为点列的极限点)答案：由(2)知相邻两向量的来角为每相隔4个向量的两个向量必共线，且方向相反，与向量a1共线的向量为：a1,a5,a9,a13,=b1,b2,b3,b4,bn=设=(tn,sn)则点列Bn的极限点B的坐标为(，)4.在一次人才招聘会上，有A,B两家公司分别开出他们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元：B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5。设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问：(1) 若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少? 答案：此人在A、B公司第n年的工资分别为： an=1 500+230(n-1)(nN+)； bn=2000(1+5)n-1(nN+)(2)该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不计其他因素)，该人应该选择哪家公司，为什么?答案：若该在A公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12(a1+a2+an)304 200元若该人在B公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12(b1+b2+bn)301 869元因为在A公司收入的总量高些，因此该人应该选择A公司(3)在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元?(精确到1元)并说明理由(已知数据10510=1629，log1.05 23171，10518=2407) 答案：问题等价于求cn=an-bn=1 270+230n-2000105n-1(nN+)的最大值，当2时，cn-cn-1=230-100105n-2当cn-cn-10，即230-100105n-1 0时，105n-223得n191因此，当2n19时，cn-1Cn；于是当n20时，Cn4，故使得上式成立的最小nN*为5，故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60探究开放题预测预测角度1 数列的概念1定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列an是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18的值为_，这个数列的前n项和Sn的计算公式为_. 解题思路 由等和数列的定义可求得a2、a3、a4由此类推可求出a18，以及Sn. 解答 由已知得：a1=2，a2=3，a3=2，a4=3，易得a18=3,sn=2已知数列an满足a1=0，an+1=an+2n，那么a2006的值是 ( ) A20052003 B20062005 C20062 D20062007 解题思路 由递推公式an+1，=an+2n，可变形为an+1-an=2n.且a1=0采用叠加法即可求出an的通项公式 解答 an+1=an+2n，an+1-an=2nan-an-1=2(n1)，a3-a2=4，a2-a1=2，由叠加法可得an=n(n-1)，故a2006=20062005故选B 3已知数列an中a1=1，且a2k=a2k-1+(一1)ka2k+1=a2k+3k,其中