河南中原名校豫南九校高三上学期质检四数学理试题解析版

2017届河南中原名校豫南九校高三上学期质检（四）数学（理）试题一、选择题1已知集合，则等于（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：所以，选B.【考点】集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2已知（是虚数单位），那么复数对应的点位于复平面内的（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】C【解析】试题分析：，对应的点位于复平面内的第三象限.选C.【考点】复数几何意义【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3下列四个命题：任意；：存在；：任意；：存在，.其中的真命题是（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：对于，为真命题；，为假命题；，为假命题；时，为真命题；选D.【考点】命题真假4若直线与以，为端点的线段没有公共点，则实数的取值范围是（ ）A B C. D【答案】D【解析】试题分析：直线过定点,所以，选D.【考点】直线位置关系5要得到函数的图象，只需将图象上的所有点（ ）A向左平行移动个单位长度 B向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度 D向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】试题分析：，向右平移个单位得.选D.【考点】三角函数图像变换【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言. 函数yAsin(x)，xR是奇函数k(kZ)；函数yAsin(x)，xR是偶函数k(kZ)；函数yAcos(x)，xR是奇函数k(kZ)；函数yAcos(x)，xR是偶函数k(kZ).6已知等差数列的公差，是其前项和，若成等比数列，且，则的最小值是（ ）A B C. D【答案】A【解析】试题分析：，时，最小.选A.【考点】等差数列与等比数列综合，数列最值【方法点睛】求解数列中的最大项或最小项的一般方法先研究数列的单调性，可以用或也可以转化为函数最值问题或利用数形结合求解.7已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A B C. D【答案】C【解析】试题分析：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体砍去两个小三棱柱得到的四棱柱，其表面积.选C.【考点】三视图【思想点睛】空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用8已知实数满足，若目标函数的最小值的7倍与的最大值相等，则实数的值为（ ）A2 B1 C. D【答案】A【解析】试题分析：过点取最小值5，联立方程，解得，代入，得.选A.【考点】线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9在直三棱柱中，点是侧面内的一点，若与平面所成的角为，与平面所成的角也为，则与平面所成的角正弦值为（ ）A B C. D【答案】B【解析】试题分析：以为对角线作长方体，设与平面所成的角为，则，故.选B.【考点】线面角10函数的图象大致为（ ）【答案】A【解析】试题分析：，故函数为偶函数，即函数图象关于轴对称；当且趋于原点时，又当且无限大时，趋于0，故选A.【考点】函数图像【思路点睛】(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系11如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（ ）A B C. D【答案】A【解析】试题分析：根据指数函数的性质，可知函数恒过定点，将点代入，可得，由于始终落在所给圆的内部或圆上，所以，由，解得或，这说明点在以和为端点的线段上运动，所以的取值范围是.选A.【考点】直线与圆位置关系12已知函数的图象恰有三对点关于原点成中心对称，则的取值范围是（ ）A B C. D【答案】D【解析】试题分析：由题意，问题转化为函数与的图象恰有三个公共点，显然时，不满足条件，当时，画出草图如图，方程，即有两个小于的实数根.结合图形，有，.选D。【考点】函数图像交点【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.二、填空题13已知两个平面向量满足，且与的夹角为，则 【答案】2【解析】试题分析：【考点】向量数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式ab|a|b|cos ；二是坐标公式abx1x2y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.14机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心出发，先沿北偏西方向行走13米至点处，再沿正南方向行走14米至点处，最后沿正东方向行走至点处，点都在圆上，则在以线段中点为坐标原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向的直角坐标系中，圆的标准方程为 【答案】【解析】试题分析：，圆方程为.【考点】圆方程15在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，则的最大值是 【答案】【解析】试题分析：由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切，设球的半径为，的内切圆半径为，又，.【考点】内切球体积【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解16已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，若，则的大小关系是 【答案】【解析】试题分析：令，则当时，所以当时，因为，而，所以【考点】利用导数比较大小【方法点睛】利用导数比较大小，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等三、解答题17设等差数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）若不等式对所有的正整数都成立，求实数的取值范围.【答案】（）（）【解析】试题分析：（）求等差数列通项公式，一般方法为待定系数法，即根据条件列出关于首项与公差的方程组：，解之得，最后代入通项公式（）先化简不等式：，再分奇偶讨论当为奇数时，最大值；当为偶数时，最小值，最后根据基本不等式及数列单调性求最值：因为当且仅当时，所以当为奇数时，的最小值为7，当为偶数时，时，的最小值为，从而可得实数的取值范围.试题解析：解：（1）设公差为，则，.的通项公式为.（2），；，当为奇数时，；当为偶数时，当且仅当时取等号，当为奇数时，的最小值为7，当为偶数时，时，的最小值为，.10分【考点】等差数列通项公式，基本不等式，数列单调性【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.18设的三内角的对边分别是，向量，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（）（）【解析】试题分析：（）先根据向量数量积得，再由正弦定理将角化为边得，即，最后由余弦定理得，结合三角形内角范围解出（）三角形面积公式选用，问题转化为求边：由正弦定理将条件化为边的关系：，再结合余弦定理得，解方程组可得，因此试题解析：解：（1）因为，所以，由正弦定理得，由余弦定理得，中，.6分（2）因为，又，的面积.12分【考点】正余弦定理【名师点睛】1选用正弦定理或余弦定理的原则在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息2(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用19已知函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）若对任意及时，恒有成立，求实数的取值范围.【答案】（）（）【解析】试题分析：（）因为，所以不等式等价于，先利用导数研究函数单调性：在上是增函数，所以（）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，而对双变量问题，先确定一变量，本题先看作不等式恒成立问题，等价于，而利用导数易得在上是减函数，所以，即，最后根据恒成立得因此试题解析：解：（1），当时，恒有，则在上是增函数，又，化为，.4分（2）由题意知对任意及时，恒有成立，等价于，当时，由得，因为，所以，从而在上是减函数，所以，所以，即，因为，所以，所以实数的取值范围为.12分【考点】利用导数解不等式，利用导数研究不等式恒成立【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)a恒成立，只需f(x)mina即可；f(x)a恒成立，只需f(x)maxa即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.20如图，在矩形中，且，分别为中点，在上有且只有一个点，使得.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（）详见解析（）【解析】试题分析：（）证明面面平行，一般方法为利用线面平行给予证明，即先证线面平行，而线面平行的证明，往往利用线线平行给予证明，线线平行的寻找与论证，往往利用平几知识，即三角形中位线性质得及平行四边形性质得（）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解试题解析：解：（1）方法一：以点为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，设，则，2分若，则，即，.4分，又是中点，又，又是中点，平面.6分方法二：（几何法）题意转化为矩形中只需垂直于的点只有一个，则以为直径的圆与线段相切，易得，是线段的中点，由，易得两平面平行.6分（2）设平面是一个法向量，则，由（1）知，取，得，同样求平面的一个法向量，二面角的余弦值为.12分【考点】面面平行的判定，利用空间向量求二面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.21在平面直角坐标系中，已知圆的半径为，且圆与圆：外切，切点为.（1）求及圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于点，点，且，求直线的方程；（3）设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）或.（3）【解析】试题分析：（1）切点在圆上，代入圆方程可得，由于两圆外切，所以在直线上，又圆的半径为，所以，解方程组可得圆心坐标，即得圆方程，注意根的取舍（2）实际为弦长问题，根据垂径定理列等量关系：设直线的方程为，则，再由，得或.（3）先确定坐标关系：设，由得，而点在圆上，所以，代入化简得，即点在圆上，而点又在圆上，所以两圆有交点，根据两圆位置关系得，解得实数的取值范围是.试题解析：解：（1）由在圆得，1分圆化为，圆心为，直线方程为，设，则，且，又，.圆的方程为.4分（2）因为直线，所以直线的斜率为，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，因为，而，所以，解得或.故直线的方程为或.8分（3）设，因为，所以，因为点在圆上，所以，将代入，得，于是点既在圆上，又在圆上，从而圆与圆有公共点，所以，解得.因此，实数的取值范围是.12分【考点】圆方程，直线与圆位置关系，两圆位置关系【方法点睛】确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值22已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）设函数在点处的切线为，直线与轴相交于点，若点的纵坐标恒小于1，求实数的取值范围.【答案】（）单调递减区间为，单调递增区间为（）【解析】试题分析：（）先明确函数定义域，再求函数导数，根据导函数零点进行分类讨论：当时，因此减区间为，当时，递增区间为，递减区间为（）根据导数几何意义得切线的斜率，再根据点斜式写出切线方程，得点的纵坐标，即不等式恒成立，而不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：的最大值，利用导数研究函数单调性，为单调递减，再利用洛必达法则得，因此，也可直接构造差函数，分类讨论最值进行求解试题解析：解：（1）当时，.1分所以，当时，；当时，.3分所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.4分（2）因为，所以处切线的斜率，所以切线的方程为，令得，.5分当时，要使得点的纵坐标恒小于1，只需，即.6分令，则.7分因为，所以，若，即时，所以，当时，即在上单调递增，所以恒成立，所以满足题意.8分若即时，所以，当时，即在上单调递减，所以，所以不满足题意.9分若，即时，则、的关系如下表：0递减极小值递增所以，所以不满足题意，结合，可得，当时，时，此时点的纵坐标恒小于1.12分【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立