2014高考全国（理科数学）解析版试卷

2014全国卷(理科数学)12014全国卷 设z，则z的共轭复数为()A13iB13iC13iD13i1D解析z13i，根据共轭复数的定义，其共轭复数是13i.2、2014全国卷 设集合Mx|x23x40，Nx|0x5，则MN()A(0，4 B0，4) C1，0) D(1，02B解析因为Mx|x23x40x|1x4，Nx|0x5，所以MNx|1x40x5x|0xbcBbcaCcbaDcab3C解析因为bcos55sin35sin33，所以ba.因为cos351，所以sin35.又ctan35sin35，所以cb，所以cba.42014全国卷 若向量a，b满足：|a|1，(ab)a，(2ab)b，则|b|()A2B.C1D.4B解析因为(ab)a，所以(ab)a0，即|a|2ba0.因为(2ab)b，所以(2ab)b0，即2ab|b|20，与|a|2ba0联立，可得2|a|2|b|20，所以|b|a|.52014全国卷 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A60种B70种C75种D150种5C解析由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有CC75(种)62014全国卷 已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1B.y21C.1D.16A解析根据题意，因为AF1B的周长为4，所以|AF1|AB|BF1|AF1|AF2|BF1|BF2|4a4，所以a.又因为椭圆的离心率e，所以c1，b2a2c2312，所以椭圆C的方程为1.72014全国卷 曲线yxex1在点(1，1)处切线的斜率等于()A2eBeC2D17C解析因为y(xex1)ex1xex1，所以yxex1在点(1，1)处的导数是y|x1e11e112，故曲线yxex1在点(1，1)处的切线斜率是2.8、2014全国卷 正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.B16C9D.8A解析如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AEAC.设球心为O，球的半径为R，则OE4R，OAR，又知AOE为直角三角形，根据勾股定理可得，OA2OE2AE2，即R2(4R)22，解得R，所以球的表面积S4R24.92014全国卷 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1()A.B.C.D.9A解析根据题意，|F1A|F2A|2a，因为|F1A|2|F2A|，所以|F2A|2a，|F1A|4a.又因为双曲线的离心率e2，所以c2a，|F1F2|2c4a，所以在AF1F2中，根据余弦定理可得cosAF2F1.102014全国卷 等比数列an中，a42，a55，则数列lgan的前8项和等于()A6B5C4D310C解析设数列an的首项为a1，公比为q，根据题意可得，解得所以ana1qn12，所以lganlg2(n4)lg，所以前8项的和为8lg2(32101234)lg8lg24lg4lg4.112014全国卷 已知二面角l为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，ACD135，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A.B.C.D.11B解析如图所示，在平面内过点C作CFAB，过点F作FE，垂足为点E，连接CE，则CEl，所以ECF60.过点E作DECE，交CD于点D1，连接FD1.不妨设FC2a，则CEa，EFa.因为ACD135，所以DCE45，所以，在RtDCE中，D1ECEa，CD1a，FD12a，cosDCF.122014全国卷 函数yf(x)的图像与函数yg(x)的图像关于直线xy0对称，则yf(x)的反函数是()Ayg(x) Byg(x) Cyg(x) Dyg(x)12D解析设(x0，y0)为函数yf(x)的图像上任意一点，其关于直线xy0的对称点为(y0，x0)根据题意，点(y0，x0)在函数yg(x)的图像上，又点(x0，y0)关于直线yx的对称点为(y0，x0)，且(y0，x0)与(y0，x0)关于原点对称，所以函数yf(x)的反函数的图像与函数yg(x)的图像关于原点对称，所以yg(x)，即yg(x)132014全国卷 的展开式中x2y2的系数为_(用数字作答)1370解析易知二项展开式的通项Tr1C(1)rCx8y4.要求x2y2的系数，需满足82且42，解得r4，所以T5(1)4Cx2y270x2y2，所以x2y2的系数为70.142014全国卷 设x，y满足约束条件则zx4y的最大值为_145解析如图所示，满足约束条件的可行域为ABC的内部(包括边界), zx4y的最大值即为直线yxz的纵截距最大时z的值结合题意，当yxz经过点A时，z取得最大值由可得点A的坐标为(1，1)，所以zmax145.15、2014全国卷 直线l1和l2是圆x2y22的两条切线若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于_15.解析如图所示，根据题意，OAPA，OA，OP，所以PA2，所以tanOPA，故tanAPB，即l1与l2的夹角的正切值等于.16、2014全国卷 若函数f(x)cos2xasinx在区间是减函数，则a的取值范围是_16(，2解析f(x)cos2xasinx2sin2xasinx1，令sinxt，则f(x)2t2at1.因为x，所以t，所以f(x)2t2at1，t.因为f(x)cos2xasinx在区间是减函数，所以f(x)2t2at1在区间上是减函数，又对称轴为x，所以a(，2172014全国卷 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acosC2ccosA，tanA，求B.17解：由题设和正弦定理得3sinAcosC2sinCcosA，故3tanAcosC2sinC.因为tanA，所以cosC2sinC，所以tanC.所以tanBtan180(AC)tan(AC)1，所以B135.18、2014全国卷等差数列an的前n项和为Sn.已知a110，a2为整数，且SnS4.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.18解：(1)由a110，a2为整数知，等差数列an的公差d为整数又SnS4，故a40，a50，于是103d0，104d0，解得d，因此d3.故数列an的通项公式为an133n.(2)bn.于是Tnb1b2bn.19、2014全国卷 如图11所示，三棱柱ABCA1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，ACB90，BC1，ACCC12.(1)证明：AC1A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1ABC的大小19解：方法一：(1)证明：因为A1D平面ABC，A1D平面AA1C1C，故平面AA1C1C平面ABC.又BCAC，所以BC平面AA1C1C.连接A1C，因为侧面AA1C1C为菱形，故AC1A1C.由三垂线定理得AC1A1B.(2)BC平面AA1C1C，BC平面BCC1B1，故平面AA1C1C平面BCC1B1.作A1ECC1，E为垂足，则A1E平面BCC1B1.又直线AA1平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E.因为A1C为ACC1的平分线，所以A1DA1E.作DFAB，F为垂足，连接A1F.由三垂线定理得A1FAB，故A1FD为二面角A1ABC的平面角由AD1，得D为AC中点，DF，tanA1FD，所以cosA1FD.所以二面角A1ABC的大小为arccos.方法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内(1)证明：设A1(a，0，c)由题设有a2，A(2，0，0)，B(0，1，0)，则(2，1，0)，(2，0，0)，(a2，0，c)，(a4，0，c)，(a，1，c)由|2，得2，即a24ac20.又a24ac20，所以AC1A1B.(2)设平面BCC1B1的法向量m(x，y，z)，则m，m，即m0，m0.因为(0，1，0)，(a2，0，c)，所以y0且(a2)xcz0.令xc，则z2a，所以m(c，0，2a)，故点A到平面BCC1B1的距离为|cosm，|c.又依题设，A到平面BCC1B1的距离为，所以c，代入，解得a3(舍去)或a1，于是(1，0，)设平面ABA1的法向量n(p，q，r)，则n，n，即n0，n0，pr0，且2pq0.令p，则q2，r1，所以n(，2，1)又p(0，0，1)为平面ABC的法向量，故cosn，p.所以二面角A1ABC的大小为arccos.20、2014全国卷 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望20解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i0，1，2.B表示事件：甲需使用设备C表示事件：丁需使用设备D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备(1)因为P(B)0.6，P(C)0.4，P(Ai)C0.52，i0，1，2，所以P(D)P(A1BCA2BA2BC)P(A1BC)P(A2B)P(A2BC)P(A1)P(B)P(C)P(A2)P(B)P(A2)P(B)P(C)031.(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为P(X0)P(BA0C)P(B)P(A0)P(C)(10.6)0.52(10.4)0.06，P(X1)P(BA0CBA0CBA1C)P(B)P(A0)P(C)P(B)P(A0)P(C)P(B)P(A1)P(C)0.60.52(10.4)(10.6)0.520.4(10.6)20.52(10.4)0.25，P(X4)P(A2BC)P(A2)P(B)P(C)0.520.60.40.06，P(X3)P(D)P(X4)0.25，P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3)P(X4)10.060.250.250.060.38，所以EX0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P(X3)4P(X4)0.2520.3830.2540.062.21、2014全国卷 已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程21解：(1)设Q(x0，4)，代入y22px，得x0，所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2，所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x，得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故线段的AB的中点为D(2m21，2m)，|AB|y1y2|4(m21)又直线l的斜率为m，所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23)故线段MN的中点为E，|MN|y3y4|.由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)2，化简得m210，解得m1或m1，故所求直线l的方程为xy10或xy10.22、2014全国卷 函数f(x)ln(x1)(a1)(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a11，an1ln(an1)，证明：an.22解：(1)易知f(x)的定义域为(1，)，f(x).(i)当1a0，所以f(x)在(1，a22a)是增函数；若x(a22a，0)，则f(x)0，所以f(x)在(0，)是增函数(ii)当a2时，若f(x)0，f(x)0成立当且仅当x0，所以f(x)在(1，)是增函数.(iii)当a2时，若x(1，0)，则f(x)0，所以f(x)在(1，0)是增函数；若x(0，a22a)，则f(x)0，所以f(x)在(a22a，)是增函数(2)由(1)知，当a2时，f(x)在(1，)是增函数当x(0，)时，f(x)f(0)0，即ln(x1)(x0)又由(1)知，当a3时，f(x)在0，3)是减函数当x(0，3)时，f(x)f(0)0，即ln(x1)(0x3)下面用数学归纳法证明an.(i)当n1时，由已知a11，故结论成立(ii)假设当nk时结论成立，即ln，ak1ln(ak1)ln，即当nk1时，有ak1，结论成立根据(i)(ii)知对任何nN*结论都成立