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第 1 讲直线与圆做小题激活思维1已知点 M(2,2)和 N(5，2)，点 P 在 x 轴上，且MPN 为直角，则点 P 的坐标为_答案(1,0)或(6,0)2若直线 l 过点(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线 l 的方程是_答案3x2y0 或 xy503圆心在 y 轴上且过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是_x2y210y0设圆心为(0，b)，半径为 r，则 r|b|，圆的方程为 x2(yb)2b2.点(3,1)在圆上，9(1b)2b2，解得 b5，圆的方程为 x2y210y0.4若点 P 在直线 3xy50 上，且 P 到直线 xy10 的距离为 2，则点 P 的坐标为_答案(1,2)或(2，1)5已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3)，端点 A 在圆(x1)2y24 上运动，则线段 AB 的中点 M 的轨迹方程是_答案x322y32216已知圆 x2y240 与圆 x2y24x4y120，则两圆的公共弦长为_答案2 2扣要点查缺补漏1直线的方程(1)解决直线方程问题，要充分利用数形结合思想，养成边读题边画图分析的习惯(2)求直线方程时应根据条件选择适合的方程形式利用特定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意如 T1，T2.(3)求解两条直线平行的问题时， 在利用 A1B2A2B10 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性2圆的方程(1)直接法求圆的方程：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法求圆的方程：设圆的标准方程或圆的一般方程，依据已知条件列出方程组，确定系数后得到圆的方程如 T3.圆的方程及应用(5 年 3 考)高考解读高考对圆的方程求法的单独考查很少， 多考查直线与圆的位置关系及其应用.(2018全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程切入点：过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点；|AB|8.关键点：根据抛物线的定义进行转化求解解(1)由题意得 F(1,0)，l 的方程为 yk(x1)(k0)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由ykx1，y24x得 k2x2(2k24)xk20.16k2160，故 x1x22k24k2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)4k24k2.由题设知4k24k28，解得 k1(舍去)或 k1.因此 l 的方程为 yx1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3)，即 yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0 x05，x012y0 x012216.解得x03，y02或x011，y06.因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144.教师备选题1(2015北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22D利用两点间的距离公式求圆的半径，从而写出方程圆的半径 r102102 2，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x1)2(y1)22.2 一题多解(2018天津高考)在平面直角坐标系中， 经过三点(0,0)， (1,1)， (2,0)的圆的方程为_x2y22x0法一：易知以(0,0)，(1,1)，(2,0)为顶点的三角形为等腰直角三角形，其外接圆的圆心为(1,0)，半径为 1，所以所求圆的方程为(x1)2y21，即 x2y22x0.法二：设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0，由已知条件可得F0，1212DEF0，222DF0，解得D2，E0，F0，所以所求圆的方程为 x2y22x0.3(2015湖北高考)如图，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0)，与 y 轴正半轴交于两点 A，B(B 在 A 的上方)，且|AB|2.(1)圆 C 的标准方程为_；(2)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为_(1)(x1)2(y 2)22(2) 21(1)结合图形， 确定圆 C 的圆心坐标和半径，从而写出圆的标准方程取 AB 的中点 D，连接 CD，则 CDAB.由题意|AD|CD|1，故|AC| |CD|2|AD|2 2，即圆 C 的半径为 2.又因为圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0)，所以圆心 C 的坐标为(1， 2)，故圆 C 的标准方程为(x1)2(y 2)22.(2)如图，先求出点 B 的坐标，进而求出圆 C 在点 B 处的切线方程，再求切线在 x 轴上的截距令(x1)2(y 2)22 中的 x0，解得 y 21，故B(0， 21)直线 BC 的斜率为21 2011，故切线的斜率为 1， 切线方程为 yx 21.令 y0， 解得 x 21， 故所求截距为 21.常见的求圆的方程的方法1利用圆的几何特征，求出圆心坐标和半径长，从而写出圆的标准方程.2利用待定系数法.若利用所给条件易求圆心的坐标和半径长，则常用标准方程求解；若所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点，则常用一般方程求解.1(由圆的方程求参数)若方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆，则实数 a 的取值范围是()A(，2)B.23，0C(2,0)D.2，23D若方程表示圆，则 a2(2a)24(2a2a1)0，化简得 3a24a40，解得2a23.2(求圆的标准方程)若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x3y0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程为_(x2)2(y1)21圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x3y0 和 x 轴都相切， 圆心的纵坐标是 1， 设圆心坐标为(a,1)(a0)， 则 1|4a3|5，a2，故该圆的标准方程为(x2)2(y1)21.3(与平面向量的交汇问题)已知圆 M：x2y22xa0，若 AB 为圆 M 的任意一条直径，且OAOB6(其中 O 为坐标原点)，则圆 M 的半径 r_.7圆 M 的标准方程为(x1)2y21a(a1)，圆心 M(1,0)，则|OM|1，圆的半径 r 1a，因为 AB 为圆 M 的任意一条直径，所以MAMB，且|MA|MB|r，则OAOB(OMMA)(OMMB)(OMMB)(OMMB)OM2MB21r26，所以 r27，得 r 7，所以圆的半径为 7.直线与圆、圆与圆的位置关系(5 年 8 考)高考解读高考对圆的考查以直线与圆的位置关系、弦长问题为主，题型灵活，难度中等，对于切线及圆与圆的位置关系的考查较少.角度一：与圆有关的距离问题1(2018全国卷)直线 xy20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P在圆(x2)2y22 上，则ABP 面积的取值范围是()A2,6B4,8C 2，3 2D2 2，3 2切入点：直线 xy20 与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点；点 P 在圆(x2)2y22 上关键点：求出|AB|；求出点 P 到直线 xy20 的距离的范围A由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径 r 2，圆心到直线 xy20 的距离 d|22|112 2，所以圆上的点到直线的最大距离是 dr3 2，最小距离是 dr 2.易知 A(2,0)，B(0，2)，所以|AB|2 2，所以 2SABP6.故选 A.2 (2016全国卷)圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1，则 a()A43B34C. 3D2切入点：圆的方程；圆心到直线的距离关键点：正确求出圆心坐标A圆 x2y22x8y130 的标准方程为(x1)2(y4)24， 由圆心到直线 axy10 的距离为 1 可知|a41|a2121，解得 a43，故选 A.角度二：弦长问题3 (2018全国卷)直线 yx1 与圆 x2y22y30 交于 A， B 两点， 则|AB|_.切入点：直线方程；圆的方程关键点：正确应用弦长的求法2 2由题意知圆的方程为 x2(y1)24，所以圆心坐标为(0，1)，半径为 2， 则圆心到直线 yx1 的距离 d|11|2 2， 所以|AB|2 22 222 2.4(2016全国卷)设直线 yx2a 与圆 C：x2y22ay20 相交于 A，B两点，若|AB|2 3，则圆 C 的面积为_切入点：直线和圆的方程；|AB|2 3.关键点：根据|AB|23确定 a 的值4圆 C：x2y22ay20 化为标准方程是 C：x2(ya)2a22，所以圆心 C(0，a)，半径 r a22.又|AB|2 3，点 C 到直线 yx2a 即 xy2a0 的距离 d|0a2a|2，由勾股定理得2 322|0a2a|22a22，解得 a22，所以 r2，所以圆 C 的面积为224.角度三：直线与圆的综合问题5(2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 yx2mx2 与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(0,1)当 m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现 ACBC 的情况？说明理由；(2)证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值切入点：曲线 yx2mx2 与 x 轴交于 A，B 两点关键点：计算 kACkBC1；确定圆心和半径解(1)不能出现 ACBC 的情况理由如下：设 A(x1,0)，B(x2,0)，则 x1，x2满足 x2mx20，所以 x1x22.又点 C 的坐标为(0,1)，故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为1x11x212，所以不能出现 ACBC 的情况(2)证明：BC 的中点坐标为x22，12 ，可得 BC 的中垂线方程为 y12x2xx22 .由(1)可得 x1x2m，所以 AB 的中垂线方程为 xm2.联立xm2，y12x2xx22 ，又 x22mx220，可得xm2，y12.所以过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为m2，12 ，半径 rm292.故圆在 y 轴上截得的弦长为 2r2m223，即过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值教师备选题1 (2014全国卷)设点 M(x0,1)， 若在圆 O： x2y21 上存在点 N， 使得OMN45，则 x0的取值范围是()A1,1B.12，12C 2， 2D.22，22A如图，过点 M 作O 的切线，切点为 N，连接 ON.M点的纵坐标为 1，MN 与O 相切于点 N.设OMN，则45，即 sin 22，即ONOM22.而 ON1，OM 2.M 为(x0,1)，x201 2，x201，1x01，x0的取值范围为1,12(2016全国卷)已知直线 l：x 3y60 与圆 x2y212 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，则|CD|_.4如图所示，直线 AB 的方程为 x 3y60，kAB33，BPD30，从而BDP60.在 RtBOD 中，|OB|2 3，|OD|2.取 AB 的中点 H，连接 OH，则 OHAB，OH 为直角梯形 ABDC 的中位线，|OC|OD|，|CD|2|OD|224.3(2015全国卷)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2)2(y3)21 交于 M，N 两点(1)求 k 的取值范围；(2)若OMON12，其中 O 为坐标原点，求|MN|.解(1)由题设可知直线 l 的方程为 ykx1.因为直线 l 与圆 C 交于两点，所以|2k31|1k21，解得4 73k4 73.所以 k 的取值范围为4 73，4 73.(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)将 ykx1 代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以 x1x241k1k2，x1x271k2.OMONx1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)14k1k1k28.由题设可得4k1k1k2812，解得 k1，所以直线 l 的方程为 yx1.故圆心 C 在直线 l 上，所以|MN|2.1(弦长问题)已知直线 yax 与圆 C：x2y22ax2y20 相交于 A，B 两点，且ABC 为等边三角形，则圆 C 的面积为()A49B36C7D6D圆 C 的标准方程为(xa)2(y1)2a21，因此圆心 C(a,1)到直线 yax 的距离为|a21|a2132a21，解得 a27，所以圆 C 的面积为( a21)26，故选 D.2(两圆公共弦问题)已知圆 C1：(x1)2y22 与圆 C2：x2(yb)22(b0)相交于 A，B 两点，且|AB|2，则 b_.3由题意知 C1(1,0)，C2(0，b)，半径 r1r2 2，所以线段 AB 和线段 C1C2相互垂直平分，则|C1C2|2，即 1b24，又 b0，故 b 3.3 (切线问题)当曲线y 4x2与直线kxy2k40有两个相异的交点时，实数 k 的取值范围是_34，1整理 y 4x2，得 x2y24(y0)，所以该曲线是以原点为圆心，2 为半径的圆在 x 轴及 x 轴上方的部分直线 kxy2k40 可化为 y4k(x2)，直线过定点 A(2,4)且斜率为 k，如图，设直线与半圆的切线为 AD，半圆的左端点为 B(2,0)由图可知，当 kADkkAB时，直线与半圆有两个相异的交点当直线与半圆相切时，满足|2k4|k212，解得 k34，即 kAD34.又直线 AB 的斜率 kAB40221，直线 kxy2k40 的斜率 k 的取值范围为34，1.4(直线与圆的综合问题)已知圆 M 过两点 A(1,1)，B(1，1)，且圆心 M 在xy20 上(1)求圆 M 的方程；(2)设 P 是直线 3x4y270 上的动点，PC，PD 是圆 M 的两条切线，C，D为切点，求四边形 PCMD 面积的最小值解(1)线段 AB 的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为 xy0.解方程组xy0 ，xy20，解得x1，y1，所以圆 M 的圆心坐标为(1,1)，半径 r 1121122.故所求圆 M 的方程为(x1)2(y1)24.(2)如图，由题知，四边形 PCMD 的面积为S2SPCM212|PC|CM|2|PC|2 |PM|2|CM|22 |PM|24.因此要求 S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可即在直线 3x4y270 上找一点 P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min|314127|32424，所以四边形 PCMD 面积的最小值为 S2 |PM|2min44 3.
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