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考点规范练22三角恒等变换考点规范练B册第14页基础巩固1.函数f(x)=(3sin x+cos x)(3cos x-sin x)的最小正周期是()A.2B.C.32D.2答案B解析f(x)=2sinx+62cosx+6=2sin2x+3,故最小正周期T=22=,故选B.2.已知2sin 2=1+cos 2,则tan 2=()A.43B.-43C.43或0D.-43或0答案C解析因为2sin 2=1+cos 2,所以2sin 2=2cos2.所以2cos (2sin -cos )=0,解得cos =0或tan =12.若cos =0,则=k+2,kZ,2=2k+,kZ,所以tan 2=0.若tan =12,则tan 2=2tan1-tan2=43.综上所述,故选C.3.(2016江西南昌三中模拟)已知函数f(x)=3sin xcos x+3cos2x(0)的最小正周期为2,将函数f(x)的图象向左平移(0)个单位后,得到的函数图象的一条对称轴为x=8,则的值不可能为()A.524B.1324C.1724D.2324答案B解析f(x)=3sin xcos x+3cos2x=32sin 2x+31+cos2x2=3sin2x+6+32,22=2,即=2,f(x)=3sin4x+6+32.平移后的函数为g(x)=3sin4(x+)+6+32=3sin4x+4+6+32.由题意,得48+4+6=k+2,kZ,解得=k4-24,kZ,故选B.4.已知f(x)=sin2x+sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为()A.,0,B.2,-4,34C.,-8,38D.2,-4,4答案C解析由f(x)=sin2x+sin xcos x=1-cos2x2+12sin 2x=12+2222sin2x-22cos2x=12+22sin2x-4,则T=22=.又2k-22x-42k+2(kZ),k-8xk+38(kZ)为函数的单调递增区间.故选C.5.(2016河南开封四模)已知12sin -5cos =13,则tan =()A.-512B.-125C.125D.712答案B解析由12sin -5cos =13,得1213sin -513cos =1.设cos =1213,则sin =513,则tan =sincos=512,则1213sin -513cos =sin(-)=1,则-=2+2k,kZ,即=+2+2k,kZ.则tan =tan+2+2k=tan+2=-1tan=-125,kZ,故选B.6.已知tan+4=-12,且2,则sin2-2cos2sin-4等于()A.255B.-3510C.-255D.-31010答案C解析sin2-2cos2sin-4=2sincos-2cos222(sin-cos)=22cos ,由tan+4=-12,得tan+11-tan=-12,解得tan =-3.因为20),则A=,b=.答案21解析因为2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=2sin2x+4+1,所以A=2,b=1.9.设f(x)=1+cos2x2sin2-x+sin x+a2sinx+4的最大值为2+3,则实数a=.答案3解析f(x)=1+2cos2x-12cosx+sin x+a2sinx+4=cos x+sin x+a2sinx+4=2sinx+4+a2sinx+4=(2+a2)sinx+4.依题意有2+a2=2+3,则a=3.10.(2016山东临沂一模)已知函数f(x)=sinx-6+cosx-3-2sin2x2(0)的周期为.(1)求的值;(2)若x0,2,求f(x)的最大值与最小值.解(1)函数f(x)=sinx-6+cosx-3-2sin2x2=sin xcos6-cos xsin6+cos xcos3+sin xsin3-21-cosx2=3sin x+cos x-1=2sinx+6-1(0),f(x)的周期为2=,=2.(2)x0,2,2x+66,76.sin2x+6-12,1.f(x)的最大值为1,最小值为-211.已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-12.(1)若02,且sin =22,求f()的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.解(方法一)(1)因为02,sin =22,所以cos =22.所以f()=2222+22-12=12.(2)因为f(x)=sin xcos x+cos2x-12=12sin 2x+1+cos2x2-12=12sin 2x+12cos 2x=22sin2x+4,所以T=22=.由2k-22x+42k+2,kZ,得k-38xk+8,kZ.所以f(x)的单调递增区间为k-38,k+8,kZ.(方法二)f(x)=sin xcos x+cos2x-12=12sin 2x+1+cos2x2-12=12sin 2x+12cos 2x=22sin2x+4.(1)因为00),若存在实数x0,使得对任意的实数x,都有f(x0)f(x)f(x0+2 016)成立,则的最小值为()A.12 016B.14 032C.12 016D.14 032导学号74920468答案C解析由题意可得,f(x0)是函数f(x)的最小值,f(x0+2 016)是函数f(x)的最大值.又f(x)=cos x(sin x+3cos x)=12sin 2x+31+cos2x2=sin2x+3+32,所以要使取最小值,只需保证区间x0,x0+2 016为一个完整的单调递增区间即可.故2 016=122min,求得min=12 016,故的最小值为12 016,故选C.13.已知cos =13,cos(+)=-13,且,0,2,则cos(-)的值等于()A.-12B.12C.-13D.2327答案D解析0,2,2(0,).cos =13,cos 2=2cos2-1=-79,sin 2=1-cos22=429,又,0,2,+(0,),sin(+)=1-cos2(+)=223,cos(-)=cos 2-(+)=cos 2cos(+)+sin 2sin(+)=-79-13+429223=2327.14.已知函数f(x)=2sinx+524cosx+524-2cos2x+524+1,则f(x)的最小正周期为;函数f(x)的单调递增区间为.答案k-3,k+6(kZ)解析f(x)=2sinx+524cosx+524-2cos2x+524+1=sin2x+512-cos2x+512=2sin2x+512cos4-cos2x+512sin4=2sin2x+512-4=2sin2x+6.f(x)的最小正周期T=22=.因此f(x)=2sin2x+6.当2k-22x+62k+2(kZ),即k-3xk+6(kZ)时,函数f(x)的单调递增区间是k-3,k+6(kZ).15.(2016山东德州一中4月质检)已知函数f(x)=3sin xcos x+cos2x-12(0)的两条相邻对称轴之间的距离为2.(1)求的值;(2)将函数f(x)的图象向左平移6个单位,再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若函数y=g(x)-k在区间-6,23上存在零点,求实数k的取值范围.解(1)原函数可化为f(x)=32sin 2x+1+cos2x2-12=32sin 2x+12cos 2x=sin2x+6.函数f(x)的相邻两条对称轴之间的距离为2,f(x)的最小正周期为22=.22=,=1.(2)由(1)知,=1,f(x)=sin2x+6,将函数f(x)的图象向左平移6个单位,得到函数y=sin2x+6+6=sin2x+2=cos 2x的图象,再将函数y=cos 2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=cos x的图象,故g(x)=cos x.x-6,23,g(x)=cos x-12,1.函数y=g(x)-k在区间-6,23上存在零点,k-12,1.实数k的取值范围为-12,1.导学号74920469高考预测16.已知f(x)=1+1tanxsin2x-2sinx+4sinx-4.(1)若tan =2,求f()的值;(2)若x12,2,求f(x)的取值范围.解(1)f(x)=(sin2x+sin xcos x)+2sinx+4cosx+4=1-cos2x2+12sin 2x+sin2x+2=12+12(sin 2x-cos 2x)+cos 2x=12(sin 2x+cos 2x)+12.由tan =2,得sin 2=2sincossin2+cos2=2tantan2+1=45.cos 2=cos2-sin2sin2+cos2=1-tan21+tan2=-35.所以f()=12(sin 2+cos 2)+12=35.(2)由(1)得f(x)=12(sin 2x+cos 2x)+12=22sin2x+4+12.由x12,2,得2x+4512,54.所以-22sin2x+41,所以0f(x)2+12,所以f(x)的取值范围是0,2+12.
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