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第 2 讲圆锥曲线的定义、方程及性质做小题激活思维1椭圆 C：x225y2161 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线交椭圆 C 于A，B 两点，则F1AB 的周长为()A12B16C20D24CF1AB 的周长为|F1A|F1B|AB|F1A|F2A|F1B|F2B|2a2a4a.在椭圆x225y2161 中，a225，a5，F1AB 的周长为 4a20，故选 C.2已知点 F14，0，直线 l：x14，点 B 是 l 上的动点若过点 B 垂直于 y轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是()A双曲线B椭圆C圆D抛物线D由已知得|MF|MB|，根据抛物线的定义知，点 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线3设 P 是双曲线x216y2201 上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2|_.17由题意知|PF1|9ac10， 所以P点在双曲线的左支， 则有|PF2|PF1|2a8，故|PF2|PF1|817.4设 e 是椭圆x24y2k1 的离心率，且 e23，则实数 k 的值是_209或365当 k4 时，有 e14k23，解得 k365；当 0k4 时，有 e1k423，解得 k209.故实数 k 的值为209或365.5双曲线x2a2y291(a0)的一条渐近线方程为 y35x，则 a_.5双曲线的标准方程为x2a2y291(a0)，双曲线的渐近线方程为 y3ax.又双曲线的一条渐近线方程为 y35x，a5.6抛物线 8x2y0 的焦点坐标为_0，132由 8x2y0，得 x218y.2p18，p116，焦点为0，132 .扣要点查缺补漏1圆锥曲线的定义及标准方程(1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件，如 T3.(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化如 T1，T2.(3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”2圆锥曲线的几何性质(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，就是确立一个关于 a，b，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，如 T4.(2)要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等圆锥曲线的定义与标准方程(5 年 4 考)高考解读高考对圆锥曲线的定义及标准方程的直接考查较少， 多对于圆锥曲线的性质进行综合考查.1(2019全国卷)已知椭圆 C 的焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，过 F2的直线与 C交于 A，B 两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则 C 的方程为()A.x22y21B.x23y221C.x24y231D.x25y241切入点：|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|.关键点：挖掘隐含条件，确定点 A 的位置，求 a，b 的值B设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，由椭圆定义可得|AF1|AB|BF1|4a.|AB|BF1|，|AF1|2|AB|4a.又|AF2|2|F2B|，|AB|32|AF2|，|AF1|3|AF2|4a.又|AF1|AF2|2a，|AF2|a，A 为椭圆的短轴端点如图，不妨设 A(0，b)，又 F2(1,0)，AF22F2B，B32，b2 .将 B 点坐标代入椭圆方程x2a2y2b21，得94a2b24b21，a23，b2a2c22.椭圆 C 的方程为x23y221.故选 B.2(2015全国卷)已知 F 是双曲线 C：x2y281 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，A(0,6 6)当APF 周长最小时，该三角形的面积为_切入点：APF 的周长最小关键点：根据双曲线的定义及APF 周长最小，确定 P 点坐标12 6由双曲线方程 x2y281 可知，a1，c3，故 F(3,0)，F1(3，0)当点 P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，从而APF 的周长|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|.因为|AF| 326 6215 为定值，所以当(|AP|PF1|)最小时，APF 的周长最小，由图象可知，此时点 P 在线段 AF1与双曲线的交点处(如图所示)由题意可知直线 AF1的方程为 y2 6x6 6，由y2 6x6 6，x2y281，得 y26 6y960，解得 y26或 y8 6(舍去)，所以 SAPFSAF1FSPF1F1266 61262 612 6.教师备选题1一题多解(2015全国卷)已知双曲线过点(4， 3)，且渐近线方程为 y12x，则该双曲线的标准方程为_x24y21法一：双曲线的渐近线方程为 y12x，可设双曲线的方程为 x24y2(0)双曲线过点(4， 3)，164( 3)24，双曲线的标准方程为x24y21.法二：渐近线 y12x 过点(4,2)，而 30，b0)由已知条件可得ba12，16a23b21，解得a24，b21，双曲线的标准方程为x24y21.2(2018天津高考)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2，且 d1d26，则双曲线的方程为()A.x23y291B.x29y231C.x24y2121D.x212y241A设双曲线的右焦点为 F(c,0)将 xc 代入x2a2y2b21，得c2a2y2b21， yb2a.不妨设 Ac，b2a ，Bc，b2a .双曲线的一条渐近线方程为 ybax，即 bxay0，则 d1|bcab2a|b2a2|bcb2|cbc(cb)，d2|bcab2a|b2a2|bcb2|cbc(cb)， d1d2bc2c2b6， b3.ca2，c2a2b2， a23， 双曲线的方程为x23y291.故选 A.1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|d(d 为 M 点到准线的距离)易错提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误2求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”(1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程；(2)计算：即利用待定系数法求出方程中的 a2，b2或 p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为 y22ax 或 x22ay(a0)，椭圆方程常设为 mx2ny21(m0，n0，且 mn)，双曲线方程常设为 mx2ny21(mn0)1(椭圆的定义)设 F1，F2为椭圆x29y251 的两个焦点，点 P 在椭圆上，若线段 PF1的中点在 y 轴上，则|PF2|PF1|的值为()A.514B.59C.49D.513D如图，设线段 PF1的中点为 M，因为 O 是 F1F2的中点，所以 OMPF2，可得 PF2x 轴，|PF2|b2a53，|PF1|2a|PF2|133，所以|PF2|PF1|513.故选 D.2(双曲线的标准方程)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦距为 4 5，渐近线方程为 2xy0，则双曲线的方程为()A.x24y2161B.x216y241C.x216y2641D.x264y2161A易知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦点在 x 轴上，所以由渐近线方程为2xy0，得ba2，因为双曲线的焦距为 4 5，所以 c2 5.结合 c2a2b2，可得a2，b4，所以双曲线的方程为x24y2161.3(抛物线的定义)过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B两点，若|AF|2|BF|6，则 p_.4设直线 AB 的方程为 xmyp2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1x2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得 y22pmyp20，所以 y1y2p2,4x1x2p2.设抛物线的准线为 l，过 A 作 ACl，垂足为 C(图略)，过 B 作 BDl，垂足为 D，因为|AF|2|BF|6，根据抛物线的定义知，|AF|AC|x1p26，|BF|BD|x2p23，所以 x1x23，x1x29p，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2，即 18p720，解得 p4.圆锥曲线的性质(5 年 17 考)高考解读高考对圆锥曲线性质的考查主要涉及椭圆和双曲线的离心率、 双曲线的渐近线，难度适中.1(2019全国卷)若抛物线 y22px(p0)的焦点是椭圆x23py2p1 的一个焦点，则 p()A2B3C4D8切入点：抛物线的焦点是椭圆的焦点关键点：正确用 p 表示抛物线和椭圆的焦点D抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为p2，0，椭圆x23py2p1 的焦点坐标为( 2p，0)由题意得p2 2p，p0(舍去)或 p8.故选 D.2(2019全国卷)设 F 为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2交于 P，Q 两点若|PQ|OF|，则 C的离心率为()A. 2B. 3C2D. 5切入点：以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2相交且|PQ|OF|.关键点：正确确定以 OF 为直径的圆的方程A令双曲线C：x2a2y2b21(a0， b0)的右焦点F的坐标为(c,0)， 则c a2b2.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以 OF 为直径的圆的直径，且 PQOF.设垂足为 M，连接 OP， 则|OP|a， |OM|MP|c2， 由|OM|2|MP|2|OP|2，得c22c22a2，ca 2，即离心率 e 2.故选 A.3 一题多解(2017全国卷)设 A， B 是椭圆 C：x23y2m1 长轴的两个端点 若C 上存在点 M 满足AMB120，则 m 的取值范围是()A(0,19，)B(0， 39，)C(0,14，)D(0， 34，)切入点：C 上存在点 M 满足AMB120.关键点： 求椭圆上的点与椭圆两端点连线构成角的范围建立关于 m 的不等式A法一：设焦点在 x 轴上，点 M(x，y)过点 M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 N，则 N(x,0)故 tanAMBtan(AMNBMN)3x|y|3x|y|13x|y|3x|y|2 3|y|x2y23.又 tanAMBtan 120 3，且由x23y2m1 可得 x233y2m，则2 3|y|33y2my232 3|y|13m y2 3.解得|y|2m3m.又 0|y| m，即 02m3m m，结合 0m3 解得 0m1.对于焦点在 y 轴上的情况，同理亦可得 m9.则 m 的取值范围是(0,19，)故选 A.法二：当 0m3 时，焦点在 x 轴上，要使 C 上存在点 M 满足AMB120，则abtan 60 3，即3m 3，解得 03 时，焦点在 y 轴上，要使 C 上存在点 M 满足AMB120，则abtan 60 3，即m3 3，解得 m9.故 m 的取值范围为(0,19，)故选 A.教师备选题1(2018全国卷)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 3，则其渐近线方程为()Ay 2xBy 3xCy22xDy32xA因为双曲线的离心率为 3，所以ca 3，即 c 3a.又 c2a2b2，所以( 3a)2a2b2，化简得 2a2b2，所以ba 2.因为双曲线的渐近线方程为 ybax，所以 y 2x.故选 A.2(2017全国卷)已知 F 是双曲线 C：x2y231 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是(1,3)，则APF 的面积为()A.13B.12C.23D.32D因为 F 是双曲线 C：x2y231 的右焦点，所以 F(2,0)因为 PFx 轴，所以可设 P 的坐标为(2，yP)因为 P 是 C 上一点，所以 4y2P31，解得 yP3，所以 P(2，3)，|PF|3.又因为 A(1,3)，所以点 A 到直线 PF 的距离为 1，所以 SAPF12|PF|1123132.故选 D.3(2017全国卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1，A2， 且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay2ab0 相切， 则 C 的离心率为()A.63B.33C.23D.13A由题意知以 A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为 a.又直线 bxay2ab0 与圆相切，圆心到直线的距离 d2aba2b2a，解得 a 3b，ba13，ecaa2b2a1ba2113263.故选 A.1椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 a，b，c的等量关系或不等关系，然后把 b 用 a，c 代换，求ca的值2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的 1 改为零，分解因式可得(2)用法：可得ba或ab的值利用渐近线方程设所求双曲线的方程1(椭圆的离心率)一题多解直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34B法一：如图，|OB|为椭圆中心到 l 的距离，则|OA|OF|AF|OB|，即 bcab2，所以 eca12.故选 B.法二：设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，由题意可取直线 l 的方程为 yba2b2xb，椭圆中心到 l 的距离为b a2b2a，由题意知b a2b2a142b，即a2b2a12，故离心率 e12.2(双曲线的离心率)设 F1，F2分别是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点， M为双曲线右支上一点， N是MF2的中点， O为坐标原点， 且ONMF2,3|ON|2|MF2|，则 C 的离心率为()A6B5C4D3B连接 MF1(图略)，由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a，因为 N 为 MF2的中点，O 为 F1F2的中点，所以 ONMF1，所以|ON|12|MF1|，因为 3|ON|2|MF2|，所以|MF1|8a，|MF2|6a，因为 ONMF2，所以 MF1MF2，在 RtMF1F2中，由勾股定理得(8a)2(6a)2(2c)2，即 5ac，因为 eca，所以 e5，故选 B.3(椭圆与抛物线的综合)已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线 C：y28x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|()A3B6C9D12B抛物线 C：y28x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为 x2.从而椭圆 E 的半焦距 c2.可设椭圆 E 的方程为x2a2y2b21(ab0)，因为离心率 eca12，所以a4，所以 b2a2c212.由题意知|AB|2b2a21246.故选 B.直线与圆锥曲线的综合问题(5 年 5 考)高考解读直线与圆锥曲线的位置关系是每年高考的亮点， 主要涉及直线与抛物线、直线与椭圆的综合问题，突出考查研究直线与圆锥曲线位置关系的基本方法，注意通性通法的应用，考查考生的逻辑推理和数学运算核心素养.角度一：直线与圆锥曲线的位置关系1(2018全国卷)设抛物线 C：y22x，点 A(2,0)，B(2,0)，过点 A 的直线l 与 C 交于 M，N 两点(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；(2)证明：ABMABN.切入点：直线 l 过点 A；l 与 C 交于 M，N 两点；l 与 x 轴垂直关键点：将问题转化为证明 kBM与 kBN具有某种关系解(1)当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x2，可得点 M 的坐标为(2,2)或(2，2)所以直线 BM 的方程为 y12x1 或 y12x1.(2)证明：当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线，所以ABMABN.当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x10，x20.由ykx2，y22x得 ky22y4k0，可知 y1y22k，y1y24.直线 BM，BN 的斜率之和为kBMkBNy1x12y2x22x2y1x1y22y1y2x12x22.将 x1y1k2，x2y2k2 及 y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)2y1y24ky1y2k88k0.所以 kBMkBN0，可知 BM，BN 的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.角度二：直线与圆锥曲线的相交弦问题2(2018全国卷)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：x24y231 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M(1，m)(m0)(1)证明：k12；(2)设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且FPFAFB0.证明：2|FP|FA|FB|.切入点：直线 l 与椭圆 C 相交；AB 的中点 M(1，m)关键点： 根据FPFAFB0 及点 P 在 C 上确定 m， 并进一步得出|FP|， |FA|，|FB|的关系证明(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214y2131，x224y2231.两式相减，并由y1y2x1x2k 得x1x24y1y23k0.由题设知x1x221，y1y22m，于是 k34m.由题设得 0m32，故 k12.(2)由题意得 F(1,0)设 P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及题设得 x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.又点 P 在 C 上，所以 m34，从而 P1，32，|FP|32.于是|FA| x112y21x11231x2142x12.同理|FB|2x22.所以|FA|FB|412(x1x2)3.故 2|FP|FA|FB|.教师备选题(2018北京高考)已知椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)的离心率为63，焦距为 2 2.斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A，B.(1)求椭圆 M 的方程；(2)若 k1，求|AB|的最大值；(3)设 P(2,0)， 直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C， 直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D，若 C，D 和点 Q74，14 共线，求 k.解(1)由题意得a2b2c2，ca63，2c2 2，解得 a 3，b1.所以椭圆 M 的方程为x23y21.(2)设直线 l 的方程为 yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由yxm，x23y21，得 4x26mx3m230，所以 x1x23m2，x1x23m234.所以|AB|x2x12y2y122x2x122x1x224x1x2123m22.当 m0，即直线 l 过原点时，|AB|最大，最大值为 6.(3)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得 x213y213，x223y223.直线 PA 的方程为 yy1x12(x2)由yy1x12x2，x23y23，得(x12)23y21x212y21x12y213(x12)20.设 C(xC，yC)，所以 xCx112y21x1223y214x21124x17.所以 xC4x21124x17x1127x14x17.所以 yCy1x12(xC2)y14x17.设 D(xD，yD)，同理得 xD127x24x27，yDy24x27.记直线 CQ，DQ 的斜率分别为 kCQ，kDQ，则 kCQkDQy14x1714127x14x1774y24x2714127x24x27744(y1y2x1x2)因为 C，D，Q 三点共线，所以 kCQkDQ0.故 y1y2x1x2.所以直线 l 的斜率 ky1y2x1x21.1判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法(1)代数法： 联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x， y 的方程组， 消去 y(或x)得到一个一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：画出直线与圆锥曲线，根据图形判断公共点个数2弦长公式设斜率为 k 的直线 l 与圆锥曲线 C 的两交点为 P(x1，y1)，Q(x2，y2)则|PQ|x1x2| 1k2 x1x224x1x21k2.或|PQ|y1y2|11k2y1y224y1y211k2(k0)3弦的中点圆锥曲线 C：f(x，y)0 的弦为 PQ.若 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点 M(x0，y0)，则 x1x22x0，y1y22y0.1(直线与椭圆的综合)已知离心率为12的椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1，A2，上顶点为 B，且BA1BA21.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆左焦点 F 的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，且直线 l 与 x 轴不垂直，若 D 为 x 轴上一点，|DM|DN|，求|MN|DF|的值解(1)A1，A2，B 的坐标分别为(a,0)，(a,0)，(0，b)，BA1BA2(a，b)(a，b)b2a21，c21.又 eca12，a24，b23.椭圆的标准方程为x24y231.(2)由(1)知 F(1,0)，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 l 与 x 轴不垂直，可设其方程为 yk(x1)当 k0 时，易得|MN|4，|DF|1，|MN|DF|4.当 k0 时，联立x24y231，ykx1，得(34k2)x28k2x4k2120，x1x28k234k2，x1x24k21234k2，|MN|x1x22y1y221k2|x1x2|1k2x1x224x1x21212k234k2.又 y1y2k(x1x22)6k34k2，MN 的中点坐标为4k234k2，3k34k2，MN 的垂直平分线方程为 y3k34k21kx4k234k2(k0)，令 y0 得，1kxk34k20，解得 xk234k2.|DF|k234k21|33k234k2，|MN|DF|4.综上所述，|MN|DF|4.2(直线与抛物线的综合)过抛物线 E：x24y 的焦点 F 的直线交抛物线于 M，N 两点，抛物线在 M，N 两点处的切线交于点 P.(1)证明点 P 落在抛物线 E 的准线上；(2)设MF2FN，求PMN 的面积解(1)抛物线 x24y 的焦点坐标为(0,1)，准线方程为 y1.设直线 MN 的方程为 ykx1，代入抛物线方程 x24y，整理得 x24kx40.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x24k，x1x24.对 y14x2求导，得 y12x，所以直线 PM 的方程为 yy112x1(xx1)直线 PN 的方程为 yy212x2(xx2)联立方程，消去 x，得 y1.所以点 P 落在抛物线 E 的准线上(2)因为MF(x1,1y1)，FN(x2，y21)，且MF2FN.所以x12x2，1y12y21，得 x218，x222.不妨取 M(2 2，2)，N( 2，12)，由得 P22，1.易得|MN|92，点 P 到直线 MN 的距离 d3 22，所以PMN 的面积 S12923 2227 28.
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