高考数学理真题分类三角函数

数数学学C C 单元单元 三角函数三角函数C1C1角的概念及任意角的三角函数角的概念及任意角的三角函数6 、2014新课标全国卷 如图 11，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M，将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x)，则 yf(x)在0，上的图像大致为()图 11ABCD6CC2C2同角三角函数的基本关系式与诱导公式同角三角函数的基本关系式与诱导公式16 、 、2014福建卷 已知函数 f(x)cos x(sin xcos x)12.(1)若 02，且 sin22，求 f()的值；(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间16解：方法一：(1)因为 02，sin22，所以 cos22.所以 f()222222 1212.(2)因为 f(x)sin xcos xcos2x1212sin 2x1cos 2x21212sin 2x12cos 2x22sin2x4 ，所以 T22.由 2k22x42k2，kZ，得 k38xk8，kZ.所以 f(x)的单调递增区间为k38，k8 ，kZ.方法二：f(x)sin xcos xcos2x1212sin 2x1cos 2x21212sin 2x12cos 2x22sin2x4 .(1)因为 00，22 的图像关于直线 x3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)若 f2 346bcBbcaCcbaDcab3C6 、2014新课标全国卷 如图 11，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M，将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x)，则 yf(x)在0，上的图像大致为()图 11ABCD6C14 、2014新课标全国卷 函数 f(x)sin(x2)2sincos(x)的最大值为_14117 ， ，2014重庆卷 已知函数 f(x) 3sin(x)0，22 的图像关于直线 x3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)若 f2 3460，0)若 f(x)在区间6，2 上具有单调性，且 f2 f23f6 ，则 f(x)的最小正周期为_1416 、 、2014福建卷 已知函数 f(x)cos x(sin xcos x)12.(1)若 02，且 sin22，求 f()的值；(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间16解：方法一：(1)因为 02，sin22，所以 cos22.所以 f()222222 1212.(2)因为 f(x)sin xcos xcos2x1212sin 2x1cos 2x21212sin 2x12cos 2x22sin2x4 ，所以 T22.由 2k22x42k2，kZ，得 k38xk8，kZ.所以 f(x)的单调递增区间为k38，k8 ，kZ.方法二：f(x)sin xcos xcos2x1212sin 2x1cos 2x21212sin 2x12cos 2x22sin2x4 .(1)因为 02，sin22，所以4，从而 f()22sin24 22sin3412.(2)T22.由 2k22x42k2，kZ，得 k38xk8，kZ.所以 f(x)的单调递增区间为k38，k8 ，kZ.7 、2014广东卷 若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4满足 l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与 l4既不垂直也不平行Dl1与 l4的位置关系不确定7D17 、 、 、2014湖北卷 某实验室一天的温度(单位：)随时间 t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10 3cos12tsin12t，t0，24)(1)求实验室这一天的最大温差(2)若要求实验室温度不高于 11，则在哪段时间实验室需要降温？17解：(1)因为 f(t)10232cos12t12sin12t102sin12t3 ，又 0t24，所以312t311 时，实验室需要降温由(1)得 f(t)102sin12t3 ，故有 102sin12t3 11，即 sin12t3 12.又 0t24，因此7612t3116，即 10t18.故在 10 时至 18 时实验室需要降温16 、2014江西卷 已知函数 f(x)sin(x)acos(x2)，其中 aR，2，2 .(1)当 a 2，4时，求 f(x)在区间0，上的最大值与最小值；(2)若 f2 0，f()1，求 a，的值16解：(1)f(x)sinx4 2cosx2 22(sin xcos x) 2sin x22cos x22sin xsin4x.因为 x0，所以4x34，4 ，故 f(x)在区间0，上的最大值为22，最小值为1.(2)由f2 0，f（）1，得cos（12asin）0，2asin2sina1.又2，2 ，知 cos0，所以12asin0，（2asin1）sina1，解得a1，6.12 、2014新课标全国卷 设函数 f(x) 3sinxm，若存在 f(x)的极值点 x0满足 x20f(x0)2m2，则 m 的取值范围是()A(，6)(6，)B(，4)(4，)C(，2)(2，)D(，1)(1，)12C16 ，2014山东卷 已知向量 a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n)，函数 f(x)ab，且 yf(x)的图像过点12， 3和点23，2.(1)求 m，n 的值；(2)将 yf(x)的图像向左平移(0)个单位后得到函数 yg(x)的图像，若 yg(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为 1，求 yg(x)的单调递增区间16解：(1)由题意知，f(x)msin 2xncos 2x.因为 yf(x)的图像过点12， 3和点23，2，所以3msin6ncos6，2msin43ncos43，即312m32n，232m12n，解得 m 3，n1.(2)由(1)知 f(x) 3sin 2xcos 2x2sin2x6 .由题意知，g(x)f(x)2sin2x26 .设 yg(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)由题意知，x2011，所以 x00，即到点(0，3)的距离为 1 的最高点为(0，2)将其代入 yg(x)得，sin26 1.因为 0，所以6.因此，g(x)2sin2x2 2cos 2x.由 2k2x2k，kZ 得 k2xk，kZ，所以函数 yg(x)的单调递增区间为k2，k，kZ.22014陕西卷 函数 f(x)cos2x6 的最小正周期是()A.2BC2D42B16 ， ， ，2014四川卷 已知函数 f(x)sin3x4 .(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)若是第二象限角，f3 45cos4 cos 2，求 cossin的值16解：(1)因为函数 ysin x 的单调递增区间为22k，22k，kZ，由22k3x422k，kZ，得42k3x122k3，kZ.所以，函数 f(x)的单调递增区间为42k3，122k3，kZ.(2)由已知，得 sin4 45cos4 (cos2sin2)，所以 sincos4cossin445coscos4sinsin4 (cos2sin2)，即 sincos45(cossin)2(sincos)当 sincos0 时，由是第二象限角，得342k，kZ，此时，cossin 2.当 sincos0 时，(cossin)254.由是第二象限角，得 cossin0，22 的图像关于直线 x3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)若 f2 34623，求 cos32的值17解：(1)因为 f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为，所以(x)的最小正周期 T，从而2T2.又因为 f(x)的图像关于直线 x3对称，所以 23k2，k0，1，2，.因为22，所以6.(2)由(1)得2 3sin(226)34，所以 sin6 14.由623得 062，所以 cos6 1sin26 1142154.因此 cos32sinsin（6）6sin6 cos6cos6 sin61432154123 158.C5C5两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切14 、2014新课标全国卷 函数 f(x)sin(x2)2sincos(x)的最大值为_14116 、2014安徽卷 设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，且 b3，c1，A2B.(1)求 a 的值；(2)求 sinA4 的值16解： (1)因为 A2B，所以 sin Asin 2B2sin Bcos B，由余弦定理得 cos Ba2c2b22acsin A2sin B，所以由正弦定理可得 a2ba2c2b22ac.因为 b3，c1，所以 a212，即 a23.(2)由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc9112613.因为 0A，所以 sin A 1cos2A119223.故 sinA4 sin Acos4cos Asin42232213 224 26.7 、2014广东卷 若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4满足 l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与 l4既不垂直也不平行Dl1与 l4的位置关系不确定7D16 、2014广东卷 已知函数 f(x)Asinx4 ，xR，且 f512 32.(1)求 A 的值；(2)若 f()f()32，0，2 ，求 f34.172014湖北卷 某实验室一天的温度(单位：)随时间 t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10 3cos12tsin12t，t0，24)(1)求实验室这一天的最大温差(2)若要求实验室温度不高于 11，则在哪段时间实验室需要降温？17解：(1)因为 f(t)10232cos12t12sin12t102sin12t3 ，又 0t24，所以312t311 时，实验室需要降温由(1)得 f(t)102sin12t3 ，故有 102sin12t3 11，即 sin12t3 12.又 0t24，因此7612t3116，即 10tc.已知BA BC2，cos B13，b3.求：(1)a 和 c 的值；(2)cos(BC)的值17解：(1)由BABC2 得 cacos B2，又 cos B13，所以 ac6.由余弦定理，得 a2c2b22accos B，又 b3，所以 a2c292213.解ac6，a2c213，得a2，c3或a3，c2.因为 ac，所以 a3，c2.(2)在ABC 中，sin B 1cos2B11322 23.由正弦定理，得 sin Ccbsin B23223429.因为 abc，所以 C 为锐角，因此 cos C 1sin2C1429279.所以 cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C13792234292327.17 2014全国卷 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 3acos C2ccosA，tan A13，求 B.17解：由题设和正弦定理得3sin Acos C2sin Ccos A，故 3tan Acos C2sin C.因为 tan A13，所以 cos C2sin C，所以 tan C12.所以 tan Btan180(AC)tan(AC)tan Atan Ctan Atan C11，所以 B135.8 2014新课标全国卷 设0，2 ， 0，2 ， 且 tan1sincos， 则()A32B32C22D228C13 ，2014四川卷 如图 13 所示，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67，30，此时气球的高度是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80， 31.73)图 13136016 ， ， ，2014四川卷 已知函数 f(x)sin3x4 .(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)若是第二象限角，f3 45cos4 cos 2，求 cossin的值16解：(1)因为函数 ysin x 的单调递增区间为22k，22k，kZ，由22k3x422k，kZ，得42k3x122k3，kZ.所以，函数 f(x)的单调递增区间为42k3，122k3，kZ.(2)由已知，得 sin4 45cos4 (cos2sin2)，所以 sincos4cossin445coscos4sinsin4 (cos2sin2)，即 sincos45(cossin)2(sincos)当 sincos0 时，由是第二象限角，得342k，kZ，此时，cossin 2.当 sincos0 时，(cossin)254.由是第二象限角，得 cossin8Bab(ab)16 2C6abc12D12abc2410AC6C6二倍角公式二倍角公式15 、2014全国卷 直线 l1和 l2是圆 x2y22 的两条切线若 l1与 l2的交点为(1，3)，则 l1与 l2的夹角的正切值等于_15.4316 、2014全国卷 若函数 f(x)cos 2xasin x 在区间6，2 是减函数，则 a 的取值范围是_16(，216 、 、2014福建卷 已知函数 f(x)cos x(sin xcos x)12.(1)若 02，且 sin22，求 f()的值；(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间16解：方法一：(1)因为 02，sin22，所以 cos22.所以 f()222222 1212.(2)因为 f(x)sin xcos xcos2x1212sin 2x1cos 2x21212sin 2x12cos 2x22sin2x4 ，所以 T22.由 2k22x42k2，kZ，得 k38xk8，kZ.所以 f(x)的单调递增区间为k38，k8 ，kZ.方法二：f(x)sin xcos xcos2x1212sin 2x1cos 2x21212sin 2x12cos 2x22sin2x4 .(1)因为 02，sin22，所以4，从而 f()22sin24 22sin3412.(2)T22.由 2k22x42k2，kZ，得 k38xk8，kZ.所以 f(x)的单调递增区间为k38，k8 ，kZ.16 ， ， ，2014四川卷 已知函数 f(x)sin3x4 .(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)若是第二象限角，f3 45cos4 cos 2，求 cossin的值16解：(1)因为函数 ysin x 的单调递增区间为22k，22k，kZ，由22k3x422k，kZ，得42k3x122k3，kZ.所以，函数 f(x)的单调递增区间为42k3，122k3，kZ.(2)由已知，得 sin4 45cos4 (cos2sin2)，所以 sincos4cossin445coscos4sinsin4 (cos2sin2)，即 sincos45(cossin)2(sincos)当 sincos0 时，由是第二象限角，得342k，kZ，此时，cossin 2.当 sincos0 时，(cossin)254.由是第二象限角，得 cossin0，此时 cossin52.综上所述，cossin 2或52.15 、 、2014天津卷 已知函数 f(x)cos xsinx3 3cos2x34，xR.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在闭区间4，4 上的最大值和最小值15解：(1)由已知，有f(x)cos x12sin x32cos x 3cos2x3412sin xcos x32cos2x3414sin 2x34(1cos 2x)3414sin 2x34cos 2x12sin2x3 ，所以 f(x)的最小正周期 T22.(2)因为 f(x)在区间4，12 上是减函数，在区间12，4 上是增函数，f4 14，f12 12，f4 14，所以函数 f(x)在区间4，4 上的最大值为14，最小值为12.C7C7三角函数的求值、化简与证明三角函数的求值、化简与证明16 、2014广东卷 已知函数 f(x)Asinx4 ，xR，且 f512 32.(1)求 A 的值；(2)若 f()f()32，0，2 ，求 f34.17 、 、 、2014湖北卷 某实验室一天的温度(单位：)随时间 t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10 3cos12tsin12t，t0，24)(1)求实验室这一天的最大温差(2)若要求实验室温度不高于 11，则在哪段时间实验室需要降温？17解：(1)因为 f(t)10232cos12t12sin12t102sin12t3 ，又 0t24，所以312t311 时，实验室需要降温由(1)得 f(t)102sin12t3 ，故有 102sin12t3 11，即 sin12t3 12.又 0t24，因此7612t3116，即 10t18.故在 10 时至 18 时实验室需要降温16 、2014江西卷 已知函数 f(x)sin(x)acos(x2)，其中 aR，2，2 .(1)当 a 2，4时，求 f(x)在区间0，上的最大值与最小值；(2)若 f2 0，f()1，求 a，的值16解：(1)f(x)sinx4 2cosx2 22(sin xcos x) 2sin x22cos x22sin xsin4x.因为 x0，所以4x34，4 ，故 f(x)在区间0，上的最大值为22，最小值为1.(2)由f2 0，f（）1，得cos（12asin）0，2asin2sina1.又2，2 ，知 cos0，所以12asin0，（2asin1）sina1，解得a1，6.16 ， ， ，2014四川卷 已知函数 f(x)sin3x4 .(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)若是第二象限角，f3 45cos4 cos 2，求 cossin的值16解：(1)因为函数 ysin x 的单调递增区间为22k，22k，kZ，由22k3x422k，kZ，得42k3x122k3，kZ.所以，函数 f(x)的单调递增区间为42k3，122k3，kZ.(2)由已知，得 sin4 45cos4 (cos2sin2)，所以 sincos4cossin445coscos4sinsin4 (cos2sin2)，即 sincos45(cossin)2(sincos)当 sincos0 时，由是第二象限角，得342k，kZ，此时，cossin 2.当 sincos0 时，(cossin)254.由是第二象限角，得 cossin0，此时 cossin52.综上所述，cossin 2或52.C8C8解三角形解三角形122014天津卷 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 bc14a，2sin B3sin C，则 cos A 的值为_121416 、2014新课标全国卷 设点 M(x0，1)，若在圆 O：x2y21 上存在点 N，使得OMN45，则 x0的取值范围是_161，1122014广东卷 在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c.已知 bcos Cccos B2b，则ab_12216 、2014安徽卷 设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，且 b3，c1，A2B.(1)求 a 的值；(2)求 sinA4 的值16解： (1)因为 A2B，所以 sin Asin 2B2sin Bcos B，由余弦定理得 cos Ba2c2b22acsin A2sin B，所以由正弦定理可得 a2ba2c2b22ac.因为 b3，c1，所以 a212，即 a23.(2)由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc9112613.因为 0Ac.已知BA BC2，cos B13，b3.求：(1)a 和 c 的值；(2)cos(BC)的值17解：(1)由BABC2 得 cacos B2，又 cos B13，所以 ac6.由余弦定理，得 a2c2b22accos B，又 b3，所以 a2c292213.解ac6，a2c213，得a2，c3或a3，c2.因为 ac，所以 a3，c2.(2)在ABC 中，sin B 1cos2B11322 23.由正弦定理，得 sin Ccbsin B23223429.因为 abc，所以 C 为锐角，因此 cos C 1sin2C1429279.所以 cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C13792234292327.17 2014全国卷 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 3acos C2ccosA，tan A13，求 B.17解：由题设和正弦定理得3sin Acos C2sin Ccos A，故 3tan Acos C2sin C.因为 tan A13，所以 cos C2sin C，所以 tan C12.所以 tan Btan180(AC)tan(AC)tan Atan Ctan Atan C11，所以 B135.162014新课标全国卷 已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC 面积的最大值为_16. 342014新课标全国卷 钝角三角形 ABC 的面积是12，AB1，BC 2，则 AC()A5B. 5C2D14B12 ，2014山东卷 在ABC 中，已知ABACtan A，当 A6时，ABC 的面积为_12.1616 ， ，2014陕西卷 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.(1)若 a，b，c 成等差数列，证明：sin Asin C2sin(AC)；(2)若 a，b，c 成等比数列，求 cos B 的最小值16解：(1)a，b，c 成等差数列，ac2b.由正弦定理得 sin Asin C2sin B.sin Bsin(AC)sin(AC)，sin Asin C2sin(AC)(2)a，b，c 成等比数列，b2ac.由余弦定理得cos Ba2c2b22aca2c2ac2ac2acac2ac12，当且仅当 ac 时等号成立，cos B 的最小值为12.13 ，2014四川卷 如图 13 所示，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67，30，此时气球的高度是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80， 31.73)图 13136018浙江卷 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 ab，c 3，cos2Acos2B 3sin Acos A 3sin Bcos B.(1)求角 C 的大小；(2)若 sin A45，求ABC 的面积18解：(1)由题意得1cos 2A21cos 2B232sin 2A32sin 2B，即32sin 2A12cos 2A32sin 2B12cos 2B，sin2A6 sin2B6 .由 ab，得 AB，又 AB(0，)，得 2A62B6，即 AB23，所以 C3.(2)由 c 3，sin A45，asin Acsin C，得 a85.由 ac， 得 A8Bab(ab)16 2C6abc12D12abc2410A解析 因为 ABC，所以 ACB，C(AB)，所以由已知等式可得 sin 2Asin(2B)sin2(AB)12，即 sin 2Asin 2Bsin 2(AB)12，所以 sin(AB)(AB)sin(AB)(AB)sin 2(AB)12，所以 2 sin(AB)cos(AB)2sin(AB)cos(AB)12，所以 2sin(AB)cos(AB)cos(AB)12，所以 sin Asin Bsin C18.由 1S2，得 112bcsin A2.由正弦定理得 a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，所以 12R2 sin Asin Bsin C2， 所以 1R242， 即 2R22， 所以 bc(bc)abc8R3sinAsin Bsin CR38.C9C9单元综合单元综合16 、2014新课标全国卷 设点 M(x0，1)，若在圆 O：x2y21 上存在点 N，使得OMN45，则 x0的取值范围是_161，117 、 、 、2014湖北卷 某实验室一天的温度(单位：)随时间 t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10 3cos12tsin12t，t0，24)(1)求实验室这一天的最大温差(2)若要求实验室温度不高于 11，则在哪段时间实验室需要降温？17解：(1)因为 f(t)10232cos12t12sin12t102sin12t3 ，又 0t24，所以312t311 时，实验室需要降温由(1)得 f(t)102sin12t3 ，故有 102sin12t3 11，即 sin12t3 12.又 0t24，因此7612t3116，即 10t18.故在 10 时至 18 时实验室需要降温18 、2014湖南卷 如图 15 所示，在平面四边形 ABCD 中，AD1，CD2，AC 7.图 15(1)求 cosCAD 的值；(2)若 cosBAD714，sinCBA216，求 BC 的长18解：(1)在ADC 中，由余弦定理，得cosCADAC2AD2CD22ACAD，故由题设知，cosCAD7142 72 77.(2)设BAC，则BADCAD.因为 cosCAD2 77，cosBAD714，所以 sinCAD 1cos2CAD12 772217，sinBAD 1cos2BAD171423 2114.于是 sinsin (BADCAD)sinBADcosCADcosBADsinCAD3 21142 77714 21732.在ABC 中，由正弦定理，得BCsinACsinCBA.故 BCACsinsinCBA7322163.21 、 2014辽宁卷 已知函数 f(x)(cos xx)(2x)83(sin x1)， g(x)3(x)cos x4(1sin x)ln32x .证明：(1)存在唯一 x00，2 ，使 f(x0)0；(2)存在唯一 x12，使 g(x1)0，且对(1)中的 x0，有 x0 x1.21证明：(1)当 x0，2 时，f(x)(1sin x)(2x)2x23cos x0，f2 21630，当 tx0，2 时，u(t)0，所以 u(t)在(0，x0上无零点在x0，2 上 u(t)为减函数，由 u(x0)0，u2 4ln 20，故 g(x)(1sinx)h(x)与 h(x)有相同的零点，所以存在唯一的 x12，使 g(x1)0.因为 x1t1，t1x0，所以 x0 x1.21 、 2014辽宁卷 已知函数 f(x)(cos xx)(2x)83(sin x1)， g(x)3(x)cos x4(1sin x)ln32x .证明：(1)存在唯一 x00，2 ，使 f(x0)0；(2)存在唯一 x12，使 g(x1)0，且对(1)中的 x0，有 x0 x1.21证明：(1)当 x0，2 时，f(x)(1sin x)(2x)2x23cos x0，f2 21630，当 tx0，2 时，u(t)0，所以 u(t)在(0，x0上无零点在x0，2 上 u(t)为减函数，由 u(x0)0，u2 4ln 20，故 g(x)(1sinx)h(x)与 h(x)有相同的零点，所以存在唯一的 x12，使 g(x1)0.因为 x1t1，t1x0，所以 x0 x1.