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- 1 - / 14等腰三角形与直角三角形课前热身课前热身1.如图，等边ABC的边长为 3，P 为 BC 上一点，且 BP1，D 为 AC 上一点，若APD60，则 CD的长为（ ）A32 B23 C12 D342.如图，已知ABC中，AB17，AC10，BC 边上的高AD8， 则边 BC 的长为（ ）A21 B15 C6 D以上答案都不对3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30，腰长为 4 cm，则其腰上的高为 cm4. .如图，在边长为 1 的等边ABC 中，中线 AD 与中线 BE 相交于点 O，则 OA 长度为 【参考答案参考答案】1.1. B B2.2. A A3.3.2 3ACDB第 2 题图ADCPB第 1 题图604.4.33考点聚焦考点聚焦等腰三角线等腰三角线1等腰三角形的判定与性质2等边三角形的判定与性质3运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题直角三角形直角三角形1运用勾股定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题2运用勾股定理及其逆定理从数的角度来研究直角三角形3折叠问题4将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用备考兵法备考兵法等腰三角线等腰三角线 1运用三角形不等关系，结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、边、角的计算问题，并要注意分类讨论 2要正确辨析等腰三角形的判定与性质 3能熟练运用等腰三角形、方程（组） 、函数等知识综合 解决实际问题直角三角形直角三角形 1正确区分勾股定理与其逆定理，掌握常用的勾股数 2在解决直角三角形的有关问题时，应注意以勾股定理为桥梁建立方程（组）来解决问题，实现几何问题代数化 3在解决直角三角形的相关问题时，要注意题中是否含有特殊角（30，45，60）若有，则应运用一些相关的特殊性质解题 4在解决许多非直角三角形的计算与证明问题时，常常通过作高转化为直角三角形来解决 5折叠问题是新中考热点之一，在处理折叠问题时，动手操作，认真观察，充分发挥空间想象力，注意折叠过程中，线段，角发生的变化，寻找破题思路考点链接考点链接一等腰三角形的性质与判定：一等腰三角形的性质与判定：1. 等腰三角形的两底角_；2. 等腰三角形底边上的_，底边上的_，顶角的_，三线合一；3. 有两个角相等的三角形是_二等边三角形的性质与判定：二等边三角形的性质与判定：1. 等边三角形每个角都等于_，同样具有“三线合一”的性质；2. 三个角相等的三角形是_，三边相等的三角形是_，一个角等于 60的_三角形是等边三角形三直角三角形的性质与判定：三直角三角形的性质与判定：1. 直角三角形两锐角_2. 直角三角形中 30所对的直角边等于斜边的_3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的_ ；4. 勾股定理：_5. 勾股定理的逆定理：_典例精析典例精析例例 1 1（2009 年湖北襄樊）在ABC中，12cm6cmABACBCD，为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒 1cm的速度沿BAC的方向运动设运动时间为t，那么当t 秒时，过D、P两点的直线将ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的 2 倍【答案】7 或 17【解析】本题考查等腰三角形中的动点问题，两种情况，当点 P 在 BA 上时，BPt，AP12-t，2（t+3）12-t+12+3，解得 t7；当点 P 在 AC 上时， PC24-t，t+32（24-t+3） ，解得 t17，故填 7 或 17.例例 2 2（20092009 年山东滨州）年山东滨州）某楼梯的侧面视图如图所示，其中4AB 米，30BAC，90C，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 【答案】 （2+23）米【解析】掌握 30所对的直角边等于斜边的一半，即可求解.例例 3 3（20082008 年四川乐山）年四川乐山）如图，ADCD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则 sinB 等于（ ）A513 B1213 C35 D45【答案】 A【解析】由 ADDC，知ADC 为直角三角形 由勾股定理得：AC2=AD2+DC2=32+42=5，AC=5， 在ACB 中，AB2=169，BC2+AC2=52+122=169， AB2=BC2+AC2 由勾股定理的逆定理知：ABC 是直角三角形 sinB=ACAB=513 例例 4 4（20082008 年安徽）年安徽）已知点 O 到ABC 的两边 AB，AC 所在直线的距离相等，且 OB=OC （1）如图 1，若点 O 在 BC 上，求证：AB=AC； （2）如图 2，若点 O 在ABC 的内部，求证：AB=AC；（3）若点 O 在ABC 的外部，AB=AC 成立吗？请画图表示 图 1 图 2 解析 （1）过点 O 作 OEAB，OFAC，E，F 分别是垂尺，由题意知，OE=OF，又OB=OC RtOEBRtOFCBCA30 B=C AC=AB （2）过点 O 作 OEAB，OFAC，E，F 分别是垂足由题意知，OE=OF 在 RtOEB 和 RtOFC 中，OE=OF，OB=OC RtOEBRtOFE OBE=OCF 又 OB=OC OBC=OCB ABC=ACB AC=AB （3）不一定成立当A 的平分线所在直线与边 BC 的垂直平分线重合时，有 AB=AC，否则 ABAC，如示例图 成立 不成立【点拨】本例从 O 点的特殊位置（BC 边的中点）探究图形的性质，再运用变化的观点探究一般位置（点 O 在ABC 内，点 O 在三角形外）下图形的性质有何变化，培养同学们从不同的角度分析，解决问题的能力，拓展思维，提高综合解题能力迎考精练迎考精练一、选择题一、选择题1.( (20092009 年四川达州年四川达州) )如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D 的边长分别是 3、5、2、3，则最大正方形 E 的面积是（ ）A13 B26 C47 D942.（20092009 年甘肃白银）年甘肃白银）如图，O的弦AB6，M是AB上任意一点，且OM最小值为 4，则O的半径为（） A5 B4 C3 D2 3.（20092009 年山东济宁）年山东济宁） “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是 2 和 4小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是（ ）A 12 B 14 C 15 D 1104.（20092009 年浙江嘉兴）年浙江嘉兴）如图，等腰ABC中，底边aBC ，A36，ABC 的平分线交AC于D，BCD 的平分线交BD于E，设215 k，则DE（）Aak2 Bak3 C2ka D3ka5.（20092009 年湖北恩施）年湖北恩施）如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点B离点C的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A5 21 B25 C10 55 D356.（20092009 年浙江宁波）年浙江宁波）等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ）A30 B45 C60 D907.（20092009 年山东威海）年山东威海）如图，ABAC,BDBC，若A40，则ABD 的度数是（）A20 B30 C35 D408.（20092009 年湖北襄樊）年湖北襄樊）如图，已知直线110ABCDDCF ，且AEAF，则A等于（ ）A30 B40 C50 D70BADCADCEB第 4 题图5201510CAB二、填空题二、填空题1.（20092009 年四川泸州）年四川泸州）如图，已知 RtABC 中，AC3，BC 4，过直角顶点 C 作CA1AB，垂足为 A1，再过 A1作 A1C1BC，垂足为 C1，过 C1作 C1A2AB，垂足为 A2，再过A2作 A2C2BC，垂足为 C2，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，12C A，则 CA1 ，5554CAAC 2.(2009(2009 年四川内江年四川内江) )已知 RtABC 的周长是344，斜边上的中线长是 2，则 SABC_.3.3.（20092009 年四川宜宾）年四川宜宾）已知：如图，以 RtABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边 AB3,则图中阴影部分的面积为 4.（20092009 年湖南长沙）年湖南长沙）如图，等腰ABC中，ABAC，AD是底边上的高，若5cm6cmABBC，则AD cm三、解答题三、解答题ACDBAFBCDE1.（20092009 年河南）年河南）如图所示，BACABD,ACBD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点试判断OE和AB的位置关系,并给出证明2.（20092009 年浙江绍兴）年浙江绍兴）如图，在ABC中，40ABACBAC，分别以ABAC，为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使90BADCAE （1）求DBC的度数；（2）求证：BDCE 3.（20092009 年湖北恩施）年湖北恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷( )A和世界级自然保护区星斗山( )B位于笔直的沪渝高速公路X同侧，50kmABA，、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P） ，P到A、B的距离之和1SPAPB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P） ，P到A、B的距离之和2SPAPB（1）求1S、2S，并比较它们的大小；（2）请你说明2SPAPB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小并求出这个最小值4.（20092009 年广东中山）年广东中山）如图所示，ABC是等边三角形， D点是AC的中点，延长BC到E，使CECD，（1）用尺规作图的方法，过D点作DMBE，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹） ；（2）求证：BMEMBAPX图（1）YXBAQPO图（3）BAPXA图（2）【参考答案参考答案】选择题选择题1. C2. A3. C4. A5. B6. B7. B8. B 【解析】本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，110ABCDDCF ，所以110EFBDCF ，70AFE，AEAF，70EAFE ，40A，故选 B填空题填空题1. 512，452. 83. 294. 4解答题解答题1. OEAB证明：在BAC和ABD中，ACBDBACABDABBA BACABDOBA=OAB, OA=OB又AE=BE, OEAB2. 解：（1）ABD 是等腰直角三角形，90BAD，ABD45,ABAC, ABC70, CBD70+45115证明：(2)ABAC,90BADCAE ,ADAE, BADCAE, BDCE3. 解:图（1）中过 B 作 BCAP,垂足为 C,则 PC40,又 AP10,AC30 在 RtABC 中，AB50 AC30 BC40 BP24022 BCCPS110240 图 10（2）中，过 B 作 BCAA垂足为 C，则 AC50，又 BC40BA4110504022由轴对称知：PAPAS2BA4110 1S2S (2)如 图 10（2） ，在公路上任找一点 M,连接 MA,MB,MA，由轴对称知 MAMAMB+MAMB+MAABS2BA为最小（3）过 A 作关于 X 轴的对称点 A, 过 B 作关于 Y 轴的对称点 B，连接 AB,交 X 轴于点 P, 交 Y 轴于点 Q,则 P,Q 即为所求过 A、 B分别作 X 轴、Y 轴的平行线交于点 G,AB5505010022所求四边形的周长为55050PXBAQYBA4. 解：（1）作图见下图，（2）ABC是等边三角形，D是AC的中点，BD平分ABC（三线合一） ，2ABCDBE CECD，CEDCDE 又ACBCEDCDE ，2ACBE 又ABCACB ，22DBCE ，DBCE ，ACBDEMBDDE又DMBE，BMEM 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！
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