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精品学习资料整理精品学习资料整理精品学习资料整理2.1.4函数的奇偶性(一)自主学习 学习目标1掌握函数的奇偶性的定义和判断方法2理解奇函数和偶函数的图象的特点 自学导引1阅读课本内容填写下表：奇函数f(x)偶函数g(x)定义域的特点关于_对称关于_对称图象特点关于_成中心对称图形关于_成轴对称图形解析式的特点2.(1)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)_.(2)有没有既是奇函数又是偶函数的函数？举例说明对点讲练知识点一函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x5；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x).规律方法(1)用定义判定函数奇偶性的一般步骤为：先求定义域，考查定义域是否关于原点对称；有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简，再找f(x)与f(x)的关系；判断函数奇偶性可用的变形形式：若f(x)f(x)0，则f(x)为奇函数；若f(x)f(x)0，则f(x)为偶函数(2)奇(偶)函数的性质f(x)为奇函数，定义域为D，若0D，则必有f(0)0；在同一个关于原点对称的定义域上，奇函数奇函数奇函数；偶函数偶函数偶函数；奇函数奇函数偶函数；偶函数偶函数偶函数变式迁移1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)|x|；(2)f(x)|x1|x1|；(3)f(x).知识点二分段函数奇偶性的证明例2 已知函数f(x)，判断f(x)的奇偶性规律方法(1)对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意x与x所满足的对应关系，如x0时，f(x)满足f(x)x22x3，x0满足的不再是f(x)x22x3，而是f(x)x22x3；(2)要对定义域内的自变量都要考察，如本例分为两种情况，如果本例只有(1)就说f(x)f(x)，从而判断它是奇函数是错误的、不完整的(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断变式迁移2 判断函数f(x)的奇偶性知识点三抽象函数奇偶性的判断例3 已知函数f(x)，xR，若对任意实数a，b都有f(ab)f(a)f(b)求证：f(x)为奇函数规律方法抽象函数奇偶性的判定是根据定义，即寻求f(x)与f(x)的关系，需根据这样的目标，认真分析函数所满足的条件式的结构特征，灵活赋值变式迁移3 函数f(x)，xR，且f(x)不恒为0.若对于任意实数x1，x2，都有f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2)求证：f(x)为偶函数1在奇函数与偶函数的定义域中，都要求xD，xD，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件2解题中可以灵活运用f(x)f(x)0对奇偶性作出判断3奇函数f(x)若在x0处有意义，则必有f(0)0. 课时作业一、选择题1已知函数f(x) (x0)，则这个函数()A是奇函数B既是奇函数又是偶函数C是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数2奇函数yf(x) (xR)的图象必过点()A(a，f(a) B(a，f(a)C(a，f(a) D.3函数y(x1)(xa)为偶函数，则a等于()A2 B1 C1 D24如图是一个由集合A到集合B的映射，这个映射表示的是()A奇函数而非偶函数B偶函数而非奇函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数也不是偶函数5若f(x)ax2bxc (a0)是偶函数，则g(x)ax3bx2cx是()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数二、填空题6已知函数f(x)ax2bx3ab为偶函数，其定义域为a1,2a，则a_，b_.7下列四个结论：偶函数的图象一定与纵轴相交；奇函数的图象一定通过原点；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)0 (xR)；偶函数的图象关于y轴对称，其中正确的命题有_个8已知f(x)ax3bx8，且f(2)10，则f(2)_.三、解答题9判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)x4x；(3)f(x)；(4)f(x).10已知f(x)是定义在(，)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x，y，f(x)都满足f(xy)yf(x)xf(y)(1)求f(1)，f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由21.4函数的奇偶性(一) 答案自学导引1原点原点原点y轴f(x)f(x)f(x)f(x)2(1)0(2)有，例如f(x)0，x1,1对点讲练例1 解(1)函数定义域为R.f(x)(x)3(x)5(x3x5)f(x)f(x)是奇函数(2)函数的定义域为x|x1不关于原点对称，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(3)由，得x1，此时f(x)0，x1,1f(x)既是奇函数又是偶函数(4)f(x)的定义域为2,0)(0,2，关于原点对称此时f(x).又f(x)f(x)，f(x)为奇函数变式迁移1解(1)既是奇函数，又是偶函数f(x)0，f(x)0.f(x)f(x)且f(x)f(x)(2)函数的定义域为R，f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，f(x)|x1|x1|是奇函数(3)由知x1，函数f(x)的定义域为1，不关于原点对称故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数例2 解当x0.f(x)(x)22(x)3x22x3f(x)当x0时，x0，f(x)(x)22(x)3x22x3(x22x3)f(x)，综上可知f(x)为奇函数变式迁移2解当x0，f(x)x1(x1)f(x)，当x0时，x0时，x0，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(0)0.故该函数为奇函数(4)函数的定义域为x|xR且x1，不关于原点对称所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数10解(1)f(x)对任意x，y都有f(xy)yf(x)xf(y)，令xy1时，有f(11)1f(1)1f(1)，f(1)0.令xy1时，有f(1)(1)(1)f(1)(1)f(1)，f(1)0.(2)f(x)对任意x，y都有f(xy)yf(x)xf(y)，令xt，y1，有f(t)f(t)tf(1)将f(1)0代入得f(t)f(t)，函数f(x)在(，)上为奇函数最新精品资料
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