新版高三数学理33个黄金考点总动员 考点05 函数的性质单调性、奇偶性、周期性解析版 Word版含解析

1 1高三数学33个黄金考点总动员【考点剖析】一最新考试说明：1理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性2理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性3利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值二命题方向预测：1利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点2函数的奇偶性是高考考查的热点3函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点3题型以选择题和填空题为主，函数性质与其它知识点交汇命题三课本结论总结：1奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 注意：确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法、性质法等2若奇函数定义域中有0，则必有即的定义域时，是为奇函数的必要非充分条件 对于偶函数而言有：3确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等4若函数的定义域关于原点对称，则可以表示为，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和5既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）6复合函数的单调性特点是：“同增异减”；复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”复合函数要考虑定义域的变化（即复合有意义）7函数与函数的图像关于直线（轴）对称推广一：如果函数对于一切，都有成立，那么的图像关于直线（由“和的一半确定”）对称推广二：函数，的图像关于直线（由确定）对称8函数与函数的图像关于直线（轴）对称推广：函数与函数的图像关于直线对称（由“和的一半确定”）9函数与函数的图像关于坐标原点中心对称推广：函数与函数的图像关于点中心对称10函数与函数的图像关于直线对称推广：曲线关于直线的对称曲线是；曲线关于直线的对称曲线是11曲线绕原点逆时针旋转，所得曲线是（逆时针横变再交换）特别：绕原点逆时针旋转，得，若有反函数，则得曲线绕原点顺时针旋转，所得曲线是（顺时针纵变再交换）特别：绕原点顺时针旋转，得，若有反函数，则得12类比“三角函数图像”得：若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为如果函数的图像有下一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为如果是R上的周期函数，且一个周期为，那么特别：若恒成立，则若恒成立，则若恒成立，则如果是周期函数，那么的定义域“无界”四、名师二级结论：一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数分别在(，0)，(0，)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(，0)(0，)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0，)，不能用“”连接一条规律函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件注意：分段函数判断奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性两个应用1已知函数的奇偶性求函数的解析式抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式2已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数常常采用待定系数法：利用f(x)f(x)0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值三种方法判断函数单调性的三种方法方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法判断函数的奇偶性的三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法在判断函数是否具有奇偶性时，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变通形式：f(x)f(x) f(x)f(x)01，f(x)0四条性质1若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)02设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性4若f(x)是偶函数，则有f(-x)f(x)f(|x|)五、课本经典习题：(1)新课标人教A版必修一第36页练习第1（3）题判断下列函数的奇偶性：【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行多角度变式变式题：关于函数，有下列命题：其图象关于轴对称；当时，是增函数；当时，是减函数；的最小值是；在区间上是增函数；无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是 解： 为偶函数，故正确；令，则当时，在上递减，在上递增，错误，正确，故选(2)新课标人教A版必修一第44页复习参考题A组第八题设，求证：（1）；（2）【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行改编、变式或拓展改编：设定在R上的函数满足：，则解：由得 由所求式子特征考查：(3)新课标人教A版必修一第83页复习参考题B组第3题对于函数（1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数a使为奇函数？【经典理由】典型的函数性质应用题，可以进行改编、变式或拓展改编 对于函数（1）用定义证明：在R上是单调减函数；（2）若是奇函数，求a值；（3）在（2）的条件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）0证明：（1）设，则f（）-f（）=-=-0，0，0即f（）-f（）0f（x）在R上是单调减函数（2）是奇函数，f（0）=0a=-1（3）由（1）（2）可得在R上是单调减函数且是奇函数，f（2t+1）+f（t-5）0转化为f（2t+1）-f（t-5）=f（-t+5），2t+1-t+5t，故所求不等式f（2t+1）+f（t-5）0的解集为：t|t(4)新课标人教A版必修一第83页复习参考题B组第4题设，求证：（1）；（2）；（3）【经典理由】典型的证明函数性质题，可以进行改编、变式或拓展改编1：设，给出如下结论：对任意，有；存在实数，使得；不存在实数，使得；对任意，有；其中所有正确结论的序号是解：对于：对于：，即恒有；对于：，故不存在，使对于：，故正确的有改编2：已知函数满足，且，分别是上的偶函数和奇函数，若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是解：，得，即，解得，即得，参数分离得，因为（当且仅当，即时取等号，的解满足），所以六考点交汇展示：(1)函数的奇偶性与函数的零点交汇例1【20xx高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】A (2) 函数的周期性与函数的零点交汇例2【20xx高考江苏卷第13题】已知是定义在上且周期为3的函数，当时，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 【答案】【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题(3) 函数的奇偶性、单调性、周期性等的交汇问题例3【20xx高考江苏第19题】已知函数，其中是自然对数的底数（1）证明：是上的偶函数；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，当时，当时，【解析】试题分析：（1）判断函数的奇偶性，一般根据奇偶性的定义判断，本题中首先有函数的定义域为，关于原点是对称的，其次计算，得到，故它是偶函数；（2）不等式恒成立问题，由于本题中，即，因此采用分离参数法求参数取值范围，原不等式可化为（2）由得，由于当时，因此，即，所以，令，设，则，（时等号成立），即，所以（3）由题意，不等式在上有解，由得，记，显然，当时，（因为），故函数在上增函数，于是在上有解，等价于，即考察函数，当时，当时，当时，即在上是增函数，在上是减函数，又，所以当时，即，当时，即，因此当时，当时，当时，【考点】（1）偶函数的判断；（2）不等式恒成立问题与函数的交汇；（3）导数与函数的单调性，比较大小【考点分类】热点一 函数的单调性1【20xx高考湖南，理5】设函数，则是（ ）A.奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数【答案】A.考点：函数的单调性2【20xx辽宁高考理第3题】已知，则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：所以，故选C考点：指数函数、对数函数以及幂函数的单调性的应用3【20xx陕西高考理第7题】下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）（A） （B） （C）（D）【答案】考点：函数求值；函数的单调性4【20xx天津高考理第4题】函数的单调递增区间是 （）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】函数的定义域为，由于外层函数为减函数，由复合函数的单调性可知，只要求的单调递减区间，结合函数的定义域，得单调递增区间为，故选D考点：复合函数的单调性（单调区间）【方法规律】1对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解(2)可导函数则可以利用导数解之但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行2求函数的单调区间与确定单调性的方法一致(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间3函数单调性的应用：f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f(x1)f(x2) f(x1)f(x2)0，若函数是增函数，则f(x1) f(x2)x10部分的图象不是没有周期性，所以C不正确故选D考点：1分段函数2函数的性质3【20xx全国2高考理第15题】已知偶函数在单调递减，若，则的取值范围是_【答案】【解析】因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得考点:1.抽象函数的奇偶性与单调性；2.绝对值不等式的解法4. 【20xx高考上海理科第18题】若是的最小值，则的取值范围为（ ）. A.-1,2 B.-1，0 C.1，2 D.【答案】D考点:1.函数的单调性；2.函数的最值【方法规律】1解这类综合题的一般方法在解决函数性质有关的问题中，如果结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究函数的性质，就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了，对问题的解决有很大的帮助（1）一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调整正负号，最后利用函数的单调性判断大小；（2）画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性确定一段区间的图象，再利用奇偶性确定对称区间的图象，最后利用周期性确定整个定义域内的图象2 函数的奇偶性、周期性、对称性之间内在联系若函数有两条对称轴(或两个对称中心，或一对称轴一对称中心)，则该函数必是周期函数特别地，有以下结论(其中a0)：若f(x)有对称轴xa，且是偶函数，则f(x)的周期为2a；若f(x)有对称轴xa，且是奇函数，则f(x)的周期为4a；若f(x)有对称中心(a，0)，且是偶函数，则f(x)的周期为4a；若f(x)有对称中心(a，0)，且是奇函数，则f(x)的周期为2a【易错点睛】误区1函数的性质挖掘不全致误【例1】奇函数f(x)定义在R上，且对常数T0，恒有f(xT)f(x)，则在区间0，2T上，方程f(x)0根的个数至少有 () A3个 B4个 C5个 D6个【错解】由f(x)是R上的奇函数，得f(0)0x10再由f(xT)f(x)得f(2T)f(T)f(0)0x2T，x32T即在区间0，2T上，方程f(x)0根的个数最小值为3个【剖析】本题的抽象函数是奇函数与周期函数的交汇即解时要把抽象性质用足，不仅要充分利用各个函数方程，还要注意方程和互动【正解】由方程得f(0)0x10再由方程得f(2T)f(T)f(0)0x2T，x32T又，令x0得又再由得 ，故方程f(x)0至少有5个实数根故选C误区2忽视隐含条件的挖掘致误【例2】（20xx江苏模拟）设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1上，其中a，bR若，则a3b的值为_【错解】因为f(x)的周期为2，所以，即又因为，所以【剖析】(1)转化能力差，不能把所给区间和周期联系起来；(2)挖掘不出f(1)f(1)，从而无法求出a、b的值【正解】因为f(x)的周期为2，所以，即又因为，所以整理，得又因为f(1)f(1)，所以，即b2a 将代入，得a2，b4所以a3b23(4)10【热点预测】1【广州市珠海区高三8月摸底考试5】下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是( )A B C D【答案】D2【北京市重点中学高三8月开学测试3】已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）A是偶函数 B在上是增函数 C是周期函数 D的值域为【答案】D【解析】试题分析：A：当时，A错误；B：当时，在上不是一直单调递增的，B错误；C：当时，不是周期函数，C错误；D：当时，当时，函数的值域为，D正确3【河南省安阳一中高三第一次月考2】函数的单调递增区间为( )A(0，) B(，0) C(2，) D(，2)【答案】【解析】试题分析：首先由得函数的定义域为(，2) (2，)；再令，则在（，）是减函数，又因为在(，2)上是减函数；由复合函数的单调性可知：函数的单调递增区间为(，2)；故选4已知，方程在0，1内有且只有一个根，则在区间内根的个数为（ ）A20xx B1006 C20xx D1007【答案】C5【浙江省嘉兴市高三3月教学测试（一）】若的图像是中心对称图形，则( )A4 B C2 D【答案】B【解析】试题分析：，因为为偶函数，所以当且仅当，即时，为奇函数，图像关于原点对称故选B6【浙江省嘉兴市高三3月教学测试（一）】若函数是奇函数，函数是偶函数，则一定成立的是( )A函数是奇函数 B函数是奇函数C函数是奇函数 D函数是奇函数【答案】C【解析】试题分析：由题得，函数满足，则有，所以根据奇偶函数的判断可得只有选项C是正确的，故选C7【北京市顺义区高三第一次统考（理）】已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是 （ ） （A） （B） （ C） （ D）【答案】C【解析】试题分析：由已知，得函数在R上单调递增，故满足，解得的取值范围是8. 【广东省揭阳市高三3月高考第一次模拟考试】下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ）A B C D【答案】D在区间上单调递增，合乎题意，故选D9. 已知是定义域为实数集的偶函数，若，则如果，那么的取值范围为 （ ）（A）（B）（C） （D）【答案】B10【上海市松江区高三上学期期末考试数学（理）试题】已知实数，对于定义在上的函数，有下述命题：“是奇函数”的充要条件是“函数的图像关于点对称”；“是偶函数”的充要条件是“函数的图像关于直线对称”；“是的一个周期”的充要条件是“对任意的，都有”； “函数与的图像关于轴对称”的充要条件是“”其中正确命题的序号是A B C D【答案】A【解析】试题分析：本题考查函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性，函数是奇函数的充要条件是函数的图象关于原点对称，而的图象关于原点对称与函数的图象关于点对称是等价的，故正确，同理也是正确的，那么本题只能选A了，对于，我们知道函数满足“对任意的，都有”时，是周期为的周期函数，但反过来一一定成立，如满足“对任意的，都有”时，也是周期为的周期函数，错误，而函数与函数的图象是关于直线对称，而还是轴，故错误11【湖北省部分重点中学20xx-上学期高三起点考试12】已知偶函数在单调递减，若，则的取值集合是_【答案】(- 1 ， 3 )12【20xx南通高三期末测试】设函数是定义域为R，周期为2的周期函数，且当时，；已知函数 则函数和的图象在区间内公共点的个数为 【答案】15【解析】试题分析：根据题意可分别在同一坐标平面内作出函数和函数的图象，如下图所示，可见它们在区间内公共点的个数为15个13设函数，若函数为偶函数，则实数的值为 【答案】 14函数的定义域为，若且时总有，则称为单函数例如，函数是单函数下列命题:函数是单函数；函数是单函数；若为单函数，且，则；函数在定义域内某个区间上具有单调性，则一定是单函数其中的真命题是 (写出所有真命题的编号)【答案】【解析】若，则由得，即，解得，所以不是单函数若则由函数图象可知当，时，所以不是单函数根据单函数的定义可知，正确在在定义域内某个区间上具有单调性，单在整个定义域上不一定单调，所以不一定正确，比如函数故真命题为