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1 1【高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】专题二 概率统计综合（理科）统计【背一背基础知识】一抽样方法抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围二用样本估计总体1.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于；2.茎叶图：茎叶图是一种将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图.在茎叶图中，“茎”表示数的高位部分，“叶”表示数的低位部分.3.样本的数字特征：（1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数；（2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数对应的直线的左右两边的矩形面积之和均为，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数；（3）平均数：设个数分别为、，则叫做这个数的算数平均数.在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；（4）方差：设个数分别为、，则叫做这个数的方差，方差衡量样本的稳定性的强弱.一般来讲，方差越大，样本的稳定性越差；方差越小越接近于零，样本的稳定性越强；（5）标准差：设个数分别为、，则叫做这个数的标准差，标准差也可以衡量样本稳定性的强弱.4.独立性检验（1）分类变量：对于变量的“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量；（2）列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.（3）与表格相比，三维柱形图与二维条形图更能直观地反映出相关数据的总体状况.（4）利用随机变量来确定是否能以给定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的 独立性检验（5)两个分类变量的独立性检验的一般步骤： 列出两个分类变量的列联表：假设两个分类变量、无关系；计算（其中nabcd为样本容量)；把的值与临界值比较，确定、有关的程度或无关系.临界值附表： 5. 两个变量的相关关系（1）作出两个变量的散点图，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线(2)回归方程为，其中=，.【讲一讲基本技能】1. 必备技能：在求解样本的众数、中位数、平均数以及方差时，首先一般要将样本的数据按照一定的顺序进行列举，并根据这些数的定义进行计算；在综合题中求解相应事件的概率时，可以利用树状图作为巩固辅助基本事件的列举，最后在作答时一般利用点列法进行列举.2. 典型例题例1 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品以X(单位：t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X100,110)，则取X105，且X105的概率等于需求量落入100,110)的频率)，求T的数学期望【答案】（1）T，（2）0.7；（3）59 400.【解析】 (3)依题意可得T的分布列为T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以E(T)45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400.例2、某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系，随机抽测20人，得到如下数据：序号12345678910身高x（厘米）192164172177176159171166182166脚长y（码）48384043443740394639序号11121314151617181920身高x（厘米）169178167174168179165170162170脚长y（码）43414043404438423941（1）若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”，请根据上表数据完成下面的列联表：高个非高个合计大脚非大脚12合计20（2）根据（1）中表格数据，若按99%的可靠性要求，能否认为脚的大小与身高之间有关系？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）详见解析；（2）我们有的把握认为：人的脚的大小与身高之间有关系【分析】（1）根据高个和大脚的描述，统计出大脚，高个，非大脚和非高个的数据，填入列联表，再在合计的部分填表（2）提出假设，代入公式做出观测值，把所得的观测值同表格中的临界值进行比较，得到的概率约为，而，我们有99.5%的把握认为：人的脚的大小与身高之间有关系【解析】（1）列联表补充如下：高个非高个合计大脚527非大脚113合计614（2）根据上述列联表可以求得，所以我们有的把握认为：人的脚的大小与身高之间有关系例3 （本小题满分12分）是指空气中直径小于或等于微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与的数据如下表：时间周一周二周三周四周五车流量（万辆）的浓度（微克/立方米）（1）根据上表数据，请在下列坐标系中画出散点图；5052545658727074767880（2）根据上表数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （3）若周六同一时间段车流量是万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时的浓度为多少（保留整数）？【答案】（1）散点图见解析；（2） （3）【分析】第一问根据题中所给的点的坐标标出相应的点从而得出对应的散点图，第二问根据对应的公式将回归直线方程中的系数求出来，从而求得回归直线的方程，第三问将相应的值带入求出结果即可.【解析】（1）散点图如下图所示. 2分y5052545658x727074767880O【练一练趁热打铁】1.生产A、B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标70,76)76,82)82,88)88,94)94,100元件A81240328元件B71840296(1) 试分别估计元件A，元件B为正品的概率；(2)生产一件元件A，若是正品可盈利80元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在(1)的前提下求生产5件元件B所获得的利润不少于280元的概率；X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望【答案】（1），；（2）；分布列见解析，132【解析】 P(X180)；P(X90)；P(X60)；P(X30)，(10分)X的分布列为：X180906030PE(X)1809060(30)132.(12分)2. 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答选题情况如下表：（单位：人）（1）能否据此判断有975%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在57分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在68分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为X， 求X的分布列及数学期望E（X） 附表及公式【解析】 的分布列为： 13. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下： （1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的回归直线方程x，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：【答案】（1）详见解析；（2）07x105；（3）805小时【解析】 回归直线如图中所示 （3）将x10代入回归直线方程，得0710105805（小时）预测加工10个零件需要805小时 概率、随机变量分布列及其期望与方差【背一背基础知识】1随机事件的概率(1)古典概型：计算公式P(A)； 解题关键是弄清基本事件的总数n以及某个事件A所包含的基本事件的个数m，常用排列组合知识及 公式P(A)解决(2)几何概型：计算公式P(A)； 解题关键在于把基本事件空间转化为与之对应的区域来解决(3) 互斥事件有一个发生的概率： 计算公式P(AB)P(A)P(B)(A、B互斥)； 对于较复杂的互斥事件的概率求法可考虑利用对立事件去求2相互独立事件与n次独立重复试验(1)若A1，A2，An是相互独立事件，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(2)如果在一次试验中事件A发生的概率为p，事件A不发生的概率为1p，那么在n次独立重复试验 中事件A发生k次的概率为：Pn(k)Cpk(1p)nk.3离散型随机变量的分布列、期望与方差(1)离散型随机变量的分布列若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则表Xx1x2xixnPp1p2pipn离散型随机变量X的分布列，注意:，=1.（2）二项分布：在次独立重复试验中，用表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为，则=（=0,1,2，n），称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功的概率.(3)超几何分布： 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有件次品，则 =（=0,1,2，m）其中=，且N，MN，M,N，则称随机变量服从超几何分布.（4）离散随机变量的数学期望、方差、标准差期望：,方差：=，标准差：=.，若,则，4.正态分布特征：（1）曲线在轴上方，与轴不相交.（2）曲线是单峰的，它关于直线=对称.（3）曲线在=处达到峰值.（4）曲线与轴之间的面积为1.（5）一定时，曲线的形状由确定. 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中.【讲一讲基本技能】1.必备技能：求解独立性检验的基本问题时，一般只需按照独立性检验的基本步骤进行即可，即第一步提出假设，第二步计算的值，第三步计算犯错误的概率，第四步下结论.2.典型例题例1.现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望【答案】（1）；（2）分布列见解析，2【解析】 (2)X所有的可能取值为0,1,2,3.P(X0)C02；P(X1)C11C02；P(X2)C20C；P(X3)C20.X0123P所以X的分布列为：所以E(X)01232.例2甲、乙、丙三班进行知识竞赛，每两班比赛一场，共赛三场每场比赛胜者得分，负者得分，没有平局，在每一场比赛中，甲班胜乙班的概率为，甲班胜丙班的概率为，乙班胜丙班的概率为（）求甲班获第一名且丙班获第二名的概率；（）设在该次比赛中，甲班得分为，求的分布列和数学期望【答案】（）；（）分布列见解析，【分析】（）先分别求出甲获第一、丙获第二的概率，然后根据相互独立事件同时必要的概率公式得到结果；（）由题意知可能取的值为O、3、6，分别求出其概率，从而写出分布列和期望【解析】（）甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，甲获第一的概率为 丙获第二，则丙胜乙，其概率为 甲获第一名且丙获第二名的概率为 （）可能取的值为O、3、6 甲两场比赛皆输的概率为 甲两场只胜一场的概率为 甲两场皆胜的概率为 的分布列为036 例3 威力实施“爱的教育”实践活动，宇华教育集团决定举行“爱在宇华”教师演讲比赛焦作校区决定从高中部、初中部、小学部和幼教部这四个部门选出12人组成代表队代表焦作校区参赛，选手来源如下表：部门高中部初中部小学部幼教部人数4422焦作校区选手经过出色表现获得冠军，现要从中选出两名选手代表冠军队发言（1）求这两名队员来自同一部门的概率；（2）设选出的两名选手中来自高中部的人数为，求随机变量的分布列及数学期望【答案】（1）；（2）【分析】（1）“从名队员中随机选出两名，两人来自同一学校”记作事件，根据题设，利用排列组合知识求得这两名队员来自同一部门的概率；（2）的所有可能取值为，分别求得其对应的概率，从而求得随机变量的分布列及数学期望【解析】 的分布列为012【练一练趁热打铁】1. 我市在夜明珠与黄柏河交汇形成的平湖水面上修建”三峡游轮中心”其中有小型游艇出租给游客游玩，收费标准如下：租用时间不超过2小时收费100，超过2小时的部分按每小时100收取（不足一小时按一小时计算）现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为，；租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为，且两人租用的时间都不超过4小时（）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望【答案】（）；（）详见解析【解析】故的分布列为：的数学期望是2. 为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：优秀非优秀总计男生402060女生203050总计6050110（）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量表示这3人中通过预选赛的人数，求的分布列与数学期望05000400010000100001045507082706663510828附:【答案】（）有关；（）详见解析【解析】 X0123P解答题（25*4=100分）1.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由【解析】 (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元所以，先寻找期望为60元的可能方案对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X12060100PX1的期望为E(X1)206010060，X1的方差为D(X1)(2060)2(6060)2(10060)2.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2406080PX2的期望为E(X2)40608060，X2的方差为D(X2)(4060)2(6060)2(8060)2.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2. 为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：优秀非优秀总计男生402060女生203050总计6050110（）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量表示这3人中通过预选赛的人数，求的分布列与数学期望05000400010000100001045507082706663510828附:【答案】（）有关；（）详见解析【解析】 X0123P 3.空气质量指数PM2.5(单位：g/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：PM2.5日均浓度035357575115115150150250250空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染从甲城市9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图所示(1)试估计甲城市在9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；(2)在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望【答案】（1）10；（2）分布列见解析，.【解析】所以X的分布列为：X012P数学期望E(X)012.4甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；(2)设总决赛中获得门票总收入为X，求X的均值E(X)【答案】（1）；（2）377.5.【解析】(1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列设此数列为an，则易知a140，an10n30，所以Sn300.解得n12(舍去)或n5，所以总决赛共比赛了5场则前4场比赛中，一支球队共赢了3场，且第5场比赛中，领先的球队获胜，其概率为C4.(2)随机变量X可取的值为S4，S5，S6，S7，即220,300,390,490.又P(X220)24，P(X300)C4，P(X390)C5，P(X490)C6，所以X的分布列为X220300390490P所以X的均值E(X)377.5(万元)5. 为了分析某个高中学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议现对他前7次考试的数学成绩、物理成绩进行分析下面是该生7次考试的成绩，可见该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的：数学888311792108100112物理949110896104101105（1）求物理成绩与数学成绩的回归直线方程；（2）若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？参考公式： ， 参考数据：，【答案】（1）；（2）130【解析】
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