2020高考人教数学理大一轮复习检测：第八章 第六节　抛物线 Word版含解析

限时规范训练限时规范训练(限时练限时练夯基练夯基练提能练提能练)A 级级基础夯实练基础夯实练1已知点已知点 A(2，3)在抛物线在抛物线 C：y22px(p0)的准线上的准线上，记记 C的焦点为的焦点为 F，则直线则直线 AF 的斜率为的斜率为()A43B1C34D12解析解析：选选 C.由已知由已知，得准线方程为得准线方程为 x2，所以所以 F 的坐标为的坐标为(2，0)又又 A(2，3)，所以直线所以直线 AF 的斜率为的斜率为 k302234.2若点若点 A，B 在抛物线在抛物线 y22px(p0)上上，O 是坐标原点是坐标原点，若正若正三角形三角形 OAB 的面积为的面积为 4 3，则该抛物线方程是则该抛物线方程是()Ay22 33xBy2 3xCy22 3xDy233x解析：解析：选选 A.根据抛物线的对称性根据抛物线的对称性，ABx 轴轴，由于正三角形的由于正三角形的面积是面积是 4 3，故故34AB24 3，故故 AB4，正三角形的高为正三角形的高为 2 3，故故可以设点可以设点 A 的坐标为的坐标为(2 3，2)代入抛物线方程得代入抛物线方程得 44 3p，解得解得 p33，故所求的抛物线方程为，故所求的抛物线方程为 y22 33x.故选故选 A.3(2018皖北协作区联考皖北协作区联考)已知抛物线已知抛物线 C：x22py(p0)，若直若直线线 y2x 被抛物线所截弦长为被抛物线所截弦长为 4 5，则抛物线则抛物线 C 的方程为的方程为()Ax28yBx24yCx22yDx2y解析：解析：选选 C.由由x22py，y2x得得x0，y0或或x4p，y8p，即两交点坐标为即两交点坐标为(0，0)和和(4p，8p)，则则 （4p）2（8p）24 5，得得 p1(舍去负值舍去负值)，故抛物线故抛物线 C 的方程为的方程为 x22y.4 (2018湖南省五市十校联考湖南省五市十校联考)已知抛物线已知抛物线 y22x 上一点上一点 A 到焦到焦点点 F 的距离与其到对称轴的距离之比为的距离与其到对称轴的距离之比为 54，且且|AF|2，则点则点 A 到到原点的距离为原点的距离为()A. 41B2 2C4D8解析：解析：选选 B.令点令点 A 到点到点 F 的距离为的距离为 5a，点点 A 到到 x 轴的距离轴的距离为为4a，则点则点 A 的坐标为的坐标为5a12，4a，代入代入 y22x 中中，解得解得 a12或或 a18(舍舍)，此时此时 A(2，2)，故点故点 A 到原点的距离为到原点的距离为 2 2.5(2018太原模拟太原模拟)已知抛物线已知抛物线 C：y28x 的焦点为的焦点为 F，准线准线为为l， P 是是 l 上一点上一点， Q 是直线是直线 PF 与与 C 的一个交点的一个交点 若若FP4FQ， 则则|QF|等于等于()A.72B52C3D2解析：解析：选选 C.因为因为FP4FQ，所以所以|FP|4|FQ|，所以所以|PQ|PF|34.如图如图，过过 Q 作作 QQl，垂足为垂足为 Q，设设l 与与 x 轴的交点为轴的交点为 A， 则则|AF|4， 所以所以|PQ|PF|QQ|AF|34，所以所以|QQ|3，根据抛物线定义可知根据抛物线定义可知|QQ|QF|3.6(2018江西协作体联考江西协作体联考)设抛物线设抛物线 C：y22px(p0)的焦点的焦点为为F，点点 M 在在 C 上上，|MF|5.若以若以 MF 为直径的圆过点为直径的圆过点(0，2)，则则 C 的的方程为方程为()Ay24x 或或 y28xBy22x 或或 y28xCy24x 或或 y216xDy22x 或或 y216x解析：解析：选选 C.由已知得抛物线的焦点由已知得抛物线的焦点 Fp2，0，设点设点 A(0，2)，抛抛物线上点物线上点 M(x0，y0)，则则AFp2，2，AMy202p，y02.由已知得由已知得，AFAM0，即即 y208y0160，因而因而 y04，M8p，4.由由|MF|5得得，8pp22165，又又 p0，解得解得 p2 或或 p8，即抛物线方程即抛物线方程为为 y24x 或或 y216x.7 (2018云南大理州模拟云南大理州模拟)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中中， 有一定点有一定点 M(1，2)，若线段若线段 OM 的垂直平分线过抛物线的垂直平分线过抛物线 x22py(p0)的焦点的焦点，则则该抛物线的准线方程是该抛物线的准线方程是_解析解析： 依题意可得线段依题意可得线段 OM 的垂直平分线的方程为的垂直平分线的方程为 2x4y50，把焦点坐标把焦点坐标0，p2 代入可求得代入可求得 p52，所以准线方程为所以准线方程为 y54.答案：答案：y548(2018河北六校模拟河北六校模拟)抛物线抛物线 C：y22px(p0)的焦点为的焦点为 F，点点 O 是坐标原点是坐标原点，过点过点 O，F 的圆与抛物线的圆与抛物线 C 的准线相切的准线相切，且该圆且该圆的面积为的面积为 36，则抛物线的方程为则抛物线的方程为_解析：解析：设满足题意的圆的圆心为设满足题意的圆的圆心为 M.根据题意可知圆心根据题意可知圆心 M 在抛物线上在抛物线上，又因为圆的面积为又因为圆的面积为 36，所以圆的半径为所以圆的半径为 6，则则|MF|xMp26，即即 xM6p2，又由题意可知又由题意可知 xMp4，所以所以p46p2，解得解得 p8.所以抛物线方程为所以抛物线方程为 y216x.答案：答案：y216x9设设 P 是抛物线是抛物线 y24x 上的一个动点上的一个动点，则点则点 P 到点到点 A(1，1)的距离与点的距离与点 P 到直线到直线 x1 的距离之和的最小值为的距离之和的最小值为_解析：解析：如图如图，易知抛物线的焦点为易知抛物线的焦点为 F(1，0)，准准线方程是线方程是 x1，由抛物线的定义知由抛物线的定义知，点点 P 到直线到直线 x1 的距离等于点的距离等于点 P 到到 F 的距离于是问题转化为的距离于是问题转化为在抛物线上求一点在抛物线上求一点 P， 使点使点 P 到点到点 A(1， 1)的距离与的距离与点点 P 到到 F(1，0)的距离之和最小的距离之和最小，连接连接 AF 交抛物线于点交抛物线于点 P，此时最此时最小值为小值为|AF| 1（1）2（01）2 5.答案：答案： 510(2018湖北武汉调研测试湖北武汉调研测试)已知抛物线已知抛物线 C：x22py(p0)和定和定点点 M(0，1)，设过点设过点 M 的动直线交抛物线的动直线交抛物线 C 于于 A，B 两点两点，抛物线抛物线 C在在 A，B 处的切线的交点为处的切线的交点为 N.(1)若若 N 在以在以 AB 为直径的圆上为直径的圆上，求求 p 的值；的值；(2)若若ABN 的面积的最小值为的面积的最小值为 4，求抛物线求抛物线 C 的方程的方程解解：由题意知由题意知，直线直线 AB 的斜率一定存在的斜率一定存在，设直线设直线 AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线将直线 AB 的方程代入抛物线的方程代入抛物线 C 的方程得的方程得 x22pkx2p0，则则 x1x22pk，x1x22p.(1)由由 x22py 得得 yxp，则则 A，B 处的切线斜率的乘积为处的切线斜率的乘积为x1x2p22p，点点 N 在以在以 AB 为直径的圆上为直径的圆上，ANBN，2p1，p2.(2)易得直线易得直线 AN：yy1x1p(xx1)，直直线线 BN：yy2x2p(xx2)，联立联立，得得yy1x1p（xx1） ，yy2x2p（xx2） ，结合结合式式，解得解得xpk，y1，即即 N(pk，1)|AB| 1k2|x2 x1| 1k2（x1x2）24x1x21k24p2k28p，点点 N 到直线到直线 AB 的距离的距离 d|kxN1yN|1k2|pk22|1k2，则则 SABN12|AB|d p（pk22）32 2p，当当 k0 时时，取取等号等号，ABN 的面积的最小值的面积的最小值为为 4，2 2p4，p2，故抛物线故抛物线 C 的方程为的方程为 x24y.B 级级能力提升练能力提升练11(2018河北邯郸质检河北邯郸质检)已知抛物线已知抛物线 y22px(p0)过过点点A12， 2，其准线与其准线与 x 轴交于点轴交于点 B，直线直线 AB 与抛物线的另一个交点与抛物线的另一个交点为为 M，若若MBAB，则实数则实数为为()A.13B12C2D3解析解析：选选 C.把点把点 A12， 2代入抛物线的方程得代入抛物线的方程得 22p12，解解得得p2，所以抛物线的方程为所以抛物线的方程为 y24x，则则 B(1，0)，设设 My2M4，yM，则则AB32， 2，MB(1y2M4，yM)，由由MBAB，得得1y2M432，yM 2，解得解得2 或或1(舍去舍去)，故选故选 C.12(2018河南郑州模拟河南郑州模拟)已知抛物线已知抛物线 y28x，点点 Q 是圆是圆 C：x2y22x8y130 上任意一点上任意一点，记抛物线上任意一点记抛物线上任意一点 P 到直线到直线 x2 的距离为的距离为 d，则则|PQ|d 的最小值为的最小值为()A5B4C3D2解析解析：选选 C.如图如图，由题意知抛物由题意知抛物线线 y28x 的焦的焦点为点为 F(2，0)，连接连接 PF，FQ，则则 d|PF|，将圆将圆 C的方程化为的方程化为(x1)2(y4)24，圆心为圆心为 C(1，4)，半径为半径为 2，则则|PQ|d|PQ|PF|，又又|PQ|PF|FQ|(当且仅当当且仅当 F，P，Q 三点共线时取得等号三点共线时取得等号)所以当所以当 F，Q，C 三三点共线时取得最小值点共线时取得最小值， 且为且为|CF|CQ| （12）2（40）223，故选故选 C.13(2018广东五校联考广东五校联考)已已知过抛物线知过抛物线 C：y28x 的焦点的焦点 F 的的直线直线 l 交抛物线于交抛物线于 P，Q 两点两点，若若 R 为线段为线段 PQ 的中点的中点，连接连接 OR 并并延长交抛物线延长交抛物线 C 于点于点 S，则则|OS|OR|的取值范围是的取值范围是()A(0，2)B2，)C(0，2D(2，)解析解析：选选 D.由题意知由题意知，抛物线抛物线 y28x 的焦点的焦点 F 的坐标为的坐标为(2，0)，直线直线 l 的斜率存在且不为的斜率存在且不为 0，设直线设直线 l 的方程为的方程为 yk(x2)由由yk（x2） ，y28x消去消去 y 整理得整理得 k2x24(k22)x4k20， 设设 P(x1， y1)，Q(x2， y2)， R(x0， y0)， S(x3， y3)， 则则 x1x24（k22）k2， 故故 x0 x1x222（k22）k2，y0k(x02)4k，所以所以 kOSy0 x02kk22，直线直线 OS 的方的方程为程为 y2kk22x，代入抛物线方程代入抛物线方程，解得解得 x32（k22）2k2，由条件由条件知知k20.所以所以|OS|OR|x3x0k222.选选 D.14 (2018河南洛阳统一考试河南洛阳统一考试)已知抛物线已知抛物线 C： x24y 的焦点为的焦点为 F，直线直线 AB 与抛物线与抛物线 C 相交于相交于 A，B 两点两点，若若 2OAOB3OF0，则则弦弦AB 中点到抛物线中点到抛物线 C 的准线的距离为的准线的距离为_解析解析：依题意得依题意得，抛物线的焦点为抛物线的焦点为 F(0，1)，准线方程是准线方程是 y1，因为因为 2(OAOF)(OBOF)0，即即 2FAFB0，所以所以 F，A，B三点共线三点共线设直线设直线 AB：ykx1(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由则由ykx1，x24y得得 x24(kx1)，即即 x24kx40，x1x24；又又 2FAFB0，因此因此 2x1x20.由由解解得得x212， 弦弦AB的中点到抛物的中点到抛物线线C的准线的距离为的准线的距离为12(y11)(y21)12(y1y2)118(x21x22)15x218194.答案：答案：9415已知已知 F 是抛物线是抛物线 y24x 的焦点的焦点，点点 A，B 在该抛物线上且在该抛物线上且位于位于 x 轴的两侧轴的两侧， OA OB4(其中其中 O 为坐标原点为坐标原点)， 则则ABO 面积面积的最小值是的最小值是_解析：解析：不妨设不妨设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，y10，由由OAOB4，即即 x1x2y1y24 得得116y21y22y1y24，得得 y1y28.所以所以 SABO12|x1y2x2y1|y1y2|4 2，当当 y12 2，y222时取等号时取等号，故故ABO 面积的最小值为面积的最小值为 4 2.答案：答案：4 2C 级级素养加强练素养加强练16已知抛物线已知抛物线 C：y22px 过点过点 P(1，1)过点过点0，12 作直线作直线 l与抛物线与抛物线 C 交于不同的两点交于不同的两点 M，N，过点过点 M 作作 x 轴的垂线分别与直轴的垂线分别与直线线 OP，ON 交于点交于点 A，B，其中其中 O 为原点为原点(1)求抛物线求抛物线 C 的方程的方程，并求其焦点坐标和准线方程；并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：求证：A 为线段为线段 BM 的中点的中点解：解：(1)把把 P(1，1)代入代入 y22px 得得 p12，所以抛物线所以抛物线 C：y2x，所以焦点坐标为所以焦点坐标为14，0，准线：准线：x14.(2)证明：设证明：设 l：ykx12，M(x1，y1)，N(x2，y2)，OP：yx，ON：yy2x2x，由题知由题知 A(x1，x1)，Bx1，x1y2x2，由由ykx12，y2x，消去消去 y 得得 k2x2(k1)x140，所以所以 x1x21kk2，x1x214k2.所以所以 y1x1y2x2kx112x1kx212x22kx1x1x22x2，由由 x1x21kk2，x1x214k2，上式上式2kx11kk2214k2x12kx1(1k)2x12x1，所以所以 A 为线段为线段 BM 的中点的中点