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课时跟踪检测课时跟踪检测(三十二三十二)数列的概念与简单表示数列的概念与简单表示一、题点全面练一、题点全面练1已知数列已知数列 1,2，7，10，13，则，则 219在这个数列中的项数是在这个数列中的项数是()A16B24C26D28解析解析： 选选 C因为因为 a11 1， a22 4， a3 7， a4 10， a5 13， ， 所以所以 an 3n2.令令 an 3n22 19 76，解得，解得 n26.2若数列若数列an满足满足 a11，a23，an1(2n)an(n1，2，)，则，则 a3等于等于()A5B9C10D15解析：解析：选选 D令令 n1，则，则 32，即，即1，由，由 an1(2n1)an，得，得 a35a25315.故选故选 D.3若若 Sn为数列为数列an的前的前 n 项和，且项和，且 Snnn1，则，则1a5等于等于()A.56B.65C.130D30解析：解析：选选 D当当 n2 时，时，anSnSn1nn1n1n1n n1 ，所以，所以1a55630.4(2019西宁模拟西宁模拟)数列数列an满足满足 a12，an1a2n(an0)，则，则 an()A10n2B10n1C102n4D22n1解析解析：选选 D因为数列因为数列an满足满足 a12，an1a2n(an0)，所以所以 log2an12log2anlog2an1log2an2，所以，所以log2an是公比为是公比为 2 的等比数列，所以的等比数列，所以 log2anlog2a12n1an22n1.5设数列设数列an的通项公式为的通项公式为 ann2bn，若数列若数列an是单调递增数列是单调递增数列，则实数则实数 b 的取值范的取值范围为围为()A(，1B(，2C(，3)D.，92解析：解析：选选 C因为数列因为数列an是单调递增数列，是单调递增数列，所以所以 an1an2n1b0(nN*)，所以所以 b2n1(nN*)，所以所以 b(2n1)min3，即，即 b3.6(2018佛山模拟佛山模拟)若数列若数列an满足满足12a1122a2123a312nan2n1，则数列，则数列an的通的通项公式项公式 an_.解析：解析：因为因为12a1122a2123a312nan2n1，所以，所以12a1122a2123a312nan12n1an12(n1)1，两式相减得两式相减得12n1an12，即即 an2n1，n2.又又12a13，所以所以 a16，因此因此 an6，n1，2n1，n2.答案：答案：6，n1，2n1，n27已知数列已知数列an满足满足 an0,2an(1an1)2an1(1an)anan1anan1，且且 a113，则则数列数列an的通项公式的通项公式 an_.解析解析：an0,2an(1an1)2an1(1an)anan1anan1，两边同除以两边同除以 anan1，得得2 1an1 an12 1an an1an11an1，整理，得，整理，得1an11an1，即，即1an是以是以 3 为首项，为首项，1 为公差的为公差的等差数列，等差数列，1an3(n1)1n2，即，即 an1n2.答案：答案：1n28已知数列已知数列an满足满足 a11，a24，an22an3an1(nN*)，则数列，则数列an的通项公式的通项公式 an_.解析：解析：由由 an22an3an10，得，得 an2an12(an1an)，数列数列an1an是以是以 a2a13 为首项，为首项，2 为公比的等比数列，为公比的等比数列，an1an32n1，n2 时，时，anan132n2，a3a232，a2a13，将以上各式累加得将以上各式累加得 ana132n23233(2n11)，an32n12(n2)，经检验，当经检验，当 n1 时，时，an1，符合上式，符合上式an32n12.答案：答案：32n129设数列设数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn.已知已知 a1a(a3)，an1Sn3n，nN*，设，设 bnSn3n.(1)求数列求数列bn的通项公式；的通项公式；(2)若若 an1an，nN*，求，求 a 的取值范围的取值范围解：解：(1)依题意，依题意，Sn1Snan1Sn3n，即即 Sn12Sn3n，由此得，由此得 Sn13n12(Sn3n)，即即 bn12bn，又，又 b1S13a3，所以数列所以数列bn的通项公式为的通项公式为 bn(a3)2n1，nN*.(2)由由(1)知知 Sn3n(a3)2n1，nN*，于是，当于是，当 n2 时，时，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2，an1an43n1(a3)2n22n21232n2a3 ，当当 n2 时，时，an1an1232n2a30a9.又又 a2a13a1.综上，综上，a 的取值范围是的取值范围是9,3)(3，)10已知数列已知数列an的各项均为正数，记数列的各项均为正数，记数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，数列，数列a2n的前的前 n 项和项和为为Tn，且，且 3TnS2n2Sn，nN*.(1)求求 a1的值；的值；(2)求数列求数列an的通项公式的通项公式解：解：(1)由由 3T1S212S1，得得 3a21a212a1，即，即 a21a10.因为因为 a10，所以，所以 a11.(2)因为因为 3TnS2n2Sn，所以所以 3Tn1S2n12Sn1，得，得 3a2n1S2n1S2n2an1.因为因为 an10，所以，所以 3an1Sn1Sn2，所以所以 3an2Sn2Sn12，得，得 3an23an1an2an1，即即 an22an1，所以当所以当 n2 时，时，an1an2.又由又由 3T2S222S2，得得 3(1a22)(1a2)22(1a2)，即，即 a222a20.因为因为 a20，所以，所以 a22，所以，所以a2a12，所以对所以对 nN*，都有，都有an1an2 成立，成立，所以数列所以数列an的通项公式为的通项公式为 an2n1，nN*.二、专项培优练二、专项培优练(一一)易错专练易错专练不丢怨枉分不丢怨枉分1已知数列已知数列an的前的前 n 项和项和 Snn21(nN*)，则，则 an_.解析：解析：当当 n1 时，时，a1S12，当当 n2 时，时，anSnSn1n21(n1)212n1，故故 an2，n1，2n1，n2.答案：答案：2，n1，2n1，n22若数列若数列an的通项公式是的通项公式是 an(n1)1011n，则此数列的最大项是第，则此数列的最大项是第_项项解析：解析：an1an(n2)1011n1(n1)1011n1011n9n11，当当 n9 时，时，an1an0，即，即 an1an；当当 n9 时，时，an1an0，即，即 an1an；当当 n9 时，时，an1an0，即，即 an1an，该数列中有最大项，且最大项为第该数列中有最大项，且最大项为第 9,10 项项答案：答案：9 或或 103若数列若数列an满足满足 an12an，0an12，2an1，12an1，a135，则数列，则数列an的第的第 2 019 项为项为_解析：解析：由已知可得，由已知可得，a2235115，a321525，a422545，a5245135，an为周期数列且为周期数列且 T4，a2 019a50443a325.答案：答案：254(2019湖南永州模拟湖南永州模拟)已知数列已知数列an中，中，a1a，a22a，an2an2，若数列，若数列an单单调递增，则实数调递增，则实数 a 的取值范围为的取值范围为_解析解析：由由 an2an2 可知数列可知数列an的奇数项的奇数项、偶数项分别递增偶数项分别递增，若数列若数列an单调递增单调递增，则则必有必有 a2a1(2a)a0 且且 a2a1(2a)aan2an2，可得可得 0a1，故实数故实数 a 的取的取值范围为值范围为(0,1)答案：答案：(0,1)(二二)交汇专练交汇专练融会巧迁移融会巧迁移5与函数零点交汇与函数零点交汇已知二次函数已知二次函数 f(x)x2axa(a0，xR)有且只有一个零点，数有且只有一个零点，数列列an的前的前 n 项和项和 Snf(n)(nN*)(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)设设 cn14an(nN*)，定义所有满足定义所有满足 cmcm10 的正整数的正整数 m 的个数的个数，称为这个数列称为这个数列cn的变号数，求数列的变号数，求数列cn的变号数的变号数解：解：(1)依题意，依题意，a24a0，所以所以 a0 或或 a4.又由又由 a0 得得 a4，所以所以 f(x)x24x4.所以所以 Snn24n4.当当 n1 时，时，a1S11441；当当 n2 时，时，anSnSn12n5.所以所以 an1，n1，2n5，n2.(2)由题意得由题意得 cn3，n1，142n5，n2.由由 cn142n5可知，当可知，当 n5 时，恒有时，恒有 cn0.又又 c13，c25，c33，c413，c515，c637，即即 c1c20，c2c30，c4c50，所以数列所以数列cn的变号数为的变号数为 3.(三三)素养专练素养专练学会更学通学会更学通6数学建模数学建模定义定义：在数列在数列an中中，若满足若满足an2an1an1and(nN*，d 为常数为常数)，称称an为为“等等差比数列差比数列”已知在已知在“等差比数列等差比数列”an中，中，a1a21，a33，则，则a2 019a2 017等于等于()A42 01921B42 01821C42 01721D42 0172解析：解析：选选 C由题知由题知an1an是首项为是首项为 1，公差为，公差为 2 的等差数列，则的等差数列，则an1an2n1，所以所以a2 019a2 017a2 019a2 018a2 018a2 017(22 0181)(22 0171)(22 0171)(22 0171)42 01721.7逻辑推理逻辑推理在数列在数列an中，中，a11，a22，若，若 an22an1an2，则，则 an()A.15n225n65Bn35n29n4Cn22n2D2n25n4解析：解析：选选 C由题意得由题意得(an2an1)(an1an)2，因此数列因此数列an1an是以是以 1 为首项为首项，2 为公差的等差数列为公差的等差数列，an1an12(n1)2n1，当当 n2 时，时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)113(2n3)1 12n3 n1 2(n1)21n22n2，又又 a1112212，因此，因此 ann22n2.8数学运算数学运算设数列设数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn， 数列数列Sn的前的前 n 项和为项和为 Tn，满足满足 Tn2Snn2，nN*.(1)求求 a1的值；的值；(2)求数列求数列an的通项公式的通项公式解：解：(1)令令 n1，T12S11，T1S1a1，a12a11，a11.(2)n2 时，时，Tn12Sn1(n1)2，则则 SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22(SnSn1)2n12an2n1.因为当因为当 n1 时，时，a1S11 也满足上式，也满足上式，所以所以 Sn2an2n1(nN*)，当当 n2 时，时，Sn12an12(n1)1，两式相减得两式相减得 an2an2an12，所以所以 an2an12(n2)，所以所以 an22(an12)，因为因为 a1230，所以数列所以数列an2是以是以 3 为首项，为首项，2 为公比的等比数列为公比的等比数列所以所以 an232n1，所以，所以 an32n12，当当 n1 时也成立，时也成立，所以所以 an32n12.
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