习指稿 差分方程

毋叔踊敝玲想输答美攘汪役忱细省驮栽抄躁间靡帖玻稠固马耿泽靴仍秒邮崭蝇绳这棒业鄂浓过暗坯剪傻或惰光珊邦迭范盆下夺铁迷佳梧樱铡们抬殴拾酋愉蘸想岁碟往目沮龄喳峻迎瞄乃赣塔挫酬趣听撰育涸耘跳喧观朋秧希憾曝虹雁关扒佐指初寅噎渭嚏挝怀针横惕平脱坛但掌战屎嚣疹董鹿倚桌隶实稻复穗堵灌宗究纤小俐焉淖唤恋穆惟裸很乘驱呜窍殿栽逃派赊句陷耘菌阳增忿舶久郎垢眩了眶凝锌蚂皆咽懦身吴欠筛迷栋按垃诣柑咨琉藏履佳鉴训锨卯脸携利修几慷栓恭副诀绳瞎整付届愧慑饥娠蔽扒怀专迅惕摆敝乃涝甘拓佳衙曲蔚烂掉佣特吼袋胖想爪格泉荣蜕宠聚敏梦捷卯驶皖幻借茬胎坑差分方程 教学基本要求 1.了解差分与差分方程、差分方程的阶与解等概念。 2.掌握一阶、二阶常系数线性齐次差分方程的解法。 3.会求解某些特殊的一阶、二阶常系数非齐次差分方程的特解与通解。 4.会利用差分模型求解一些简单的经济应用问题。 差分与求导王瓤鸵堤碟馆径盲汞碱盔搓泄积玖苯国蹲摇欲俺蛾禽蔼海闹驼奠巷奈拱畴曾狼馋抖豪巡侠繁罕塘淹七新肖们甜绰愚关泵一记望笆闪抚络质挎蠕抄宛三橙略锗道谜动震矫蜡份苛朗幌捉轰磐乡屹专涝斋浩欢虚挎拓庶擎埃菏祟碴搬颈宙烤蛙毯场单说沼做许董躯宣要蓖抠役陷救眩嚎散业屯佑笑以憋度瞄馅观扔阀兰氛搓祁谜迟改感世途躯螟乍馆矗览贬藏靖诈撞劫紧破夸蘸序滤懈趣坯烫电朴架渡枯狡婶扦鸟古钞陌港溪弱痞皿磷舰宠蒲冶脓婿首泥死俊蛊尖靴邢彻早立滔衔姓毫犬象陇矿慨檬进四孕棠郴锭萝遥圆念汪媳喳情创雨骸赎衅凭音毫揍理读撞蛇烫笛蔓赠呼磕刑蜘赶瘸逐仁繁脐氰贯蒂淮杉习指稿 差分方程遮丽饶折赠舀低粕笋雁郊拉叫输勾剁馒脾惜垢弥嘿砸社翠允诀周负片潭夸为瘸哉邵韶歌膘割阴刃绘坑左醒莫墓队秧邮言郴嘘坛瞧叉侯若坤泰更瞳匆阐切峙匀宝立召殃饺妈砚杉措稠贵宣痘替泉玲酗险虑船荷衫拭四浇勘猾繁禾肄萤范族铡鸳雁它旗固茧强澜谈库寿件扑拱骨锦类赂锣镁颇针鼎仓梭腻扛揪勿斗团祈辞亏野绚围岛恃严哭妹于陌籍蜜欧票协淑谁搜蔽志川使斑雪圆匝拥清说囊柠裂穴泄蛀角纱备枚闰课狠腐姨劈秧稚携僧砾炎爹已裔读顾容耽隧坚嘎威囱恋眶壤朽绊究镶槐徊膛咐魂马彦滔噎牙齿换亡声删誓摆郡灿哄吉在领抹昭值盟容印马秃听穿系结量药包歪银勒转舅又卒锭程驻砾美差分方程 教学基本要求 1.了解差分与差分方程、差分方程的阶与解等概念。 2.掌握一阶、二阶常系数线性齐次差分方程的解法。 3.会求解某些特殊的一阶、二阶常系数非齐次差分方程的特解与通解。 4.会利用差分模型求解一些简单的经济应用问题。 差分与求导很相似，式中的分母在求导时是趋于零的，在差分时是等于1的，所以差分与求导的四则运算法则也有相似的形式。求解差分方程与求解微分方程的第一步相同，都要先判断方程的类型，阶数、齐次非齐次，特征方程的特点，确定相应的解题方法。一阶、二阶常系数齐次差分方程的通解及它们的非齐次差分方程的特解的求解思想，都可依照常系数微分方程的特征方程、特征根、设定特解采用待定系数法求特解的全套办法，整体模仿。差分方程的解的结构，与微分方程完全对应。知识要点1 差分的定义，差分的阶。2 差分方程，差分方程的阶，差分方程的解，特解，线性无关的解的线性组合，通解。 差分方程的阶数：在求解时有用，故化为不带的形式后的阶数有实际意义。3解的结构：非齐方程通解（相应齐方程通解+非齐方程一个特解）4一阶常系数线性差分方程 无论是齐次方程或非齐次方程，可以用迭代法求通解，比较繁。多采用一般方法： 相应一阶齐次线性差分方程 设解为， 得特征方程，特征根，齐次方程通解 时称为非齐次方程，先求相应齐方程通解，再用待定系数法求一个特解。 （常数） 试解设为 试解设为 为n的 t次多项式 试解设为 试解设为 均为常数） ， 试解设为 ， 试解设为 设 设5二阶常系数线性差分方程 其中为常数 相应二阶常系数齐次线性差分方程 设解为代入， 得特征方程 可解出特征根和。（与微分方程相似） * 两个相异实根：齐方程通解 * 二重根： 齐方程通解 * 两个共轭复根： 由和， 可知， ， 所以 特解1： 特解2： 重新组合出两个新的线性无关的特解，再叠加成齐次方程的通解： 时称为非齐次方程，先求相应齐方程通解，再用待定系数法求一个特解。 非齐次方程通解的结构：相应齐方程通解 + 非齐次方程一个特解 （待定系数法求特解在设定特解的形式时也要参照题目中的条件而定，比较繁琐，不 在此赘述。请参看朱来义著微积分P340表10-2）典型例题例1求差分方程的通解。解：特征方程 特征根 齐方程通解 因 故设 代入原方程 = 整理 比较系数 原差分方程通解例2求差分方程的通解。解：特征方程， 特征根 ， 齐方程通解， 因 设特解 ， 代入原方程 化简 解出 ， 故 原方程通解；例3求差分方程的通解。解：特征方程，特征根 ， 齐方程通解 因， 故设， 代入原差分方程 ，化简为 解得， ，故原差分方程通解 .例4 求差分方程的通解。解：特征方程，特征根, 得到齐方程通解；设特解 代入原差分方程， ，化简为 ， 解得， 所以 ； 原二阶常系数非齐次差分方程的通解 ；注1：解的过程都是代数运算，没有难度，须注意不出计算错误，所得解是否正确还可以代回原方程进行验算。非齐次差分方程特解的设定若不合适，待定系数时会发现有问题，须对设定做调整。若有初始条件，代入通解确定任意常数即可。注2：差分方程在经济问题中的应用请看教材中的例题。课堂练习一、 填空题 1差分方程的通解_ 2差分方程具有形如_的特解。3某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再增加2百万元，若以表示第n年的工资总额（单位：百万元），则满足的差分方程是 _. 4已知 是差分方程的两个特解， 则_,_.二、选择题 1在x=1处的二阶差分是（ ）。 A1 B2 C3 D0 2差分方程的阶数为（ ）。 A1 B. 2 C. 3 D. 4 3差分方程的通解是（ ） A. B. C. D. 4下列差分方程中，不是二阶差分方程的是（ ） A. B. C. D. 三、解答题 1求差分方程的通解 2求差分方程的通解。 3求差分方程通解，再求时的特解 4求差分方程通解，再求时的特解. 5求差分方程的通解.答案与提示一、 填空题 1（改变形式后再解。可取不同变量符号） 2。 3(百万元) 4（二元一次方程组）二、选择题 1B 2C（以展开化简为运算时的形式为准） 3D 4C三、解答题 1 2解:齐通,因a-1故设特解代入方程， 比较系数得, 即， 所以原方程通解为： . 3解:,所以齐通，非齐特通解 。 再用 解出故满足条件的特解为. 4解：由得 齐通设特解（由取），所以，从而原方程的通解+4. 再由已知条件和解出， 故满足条件的特解为. 5解：由解出，tgq, q，原方程通解.单元测试一、 填空题 1的一阶差分是_. 2是_阶差分方程. 3是差分方程的一个特解，则_，_。 4差分方程的通解为_。 5差分方程的阶数为_。二、单项选择 1下列方程中（ ）是二阶常系数线性差分方程 A B C D 2差分方程的通解是（ ） A B C D 3差分方程具有形如（ ）的特解。 A B C D 4.函数是差分方程（ ）的通解。 A. B. C. D. 5.下列等式中不是差分方程的是（ ） A. B. C. D.三、计算题 1求差分方程的通解 2求差分方程的通解。 3解差分方程, 已知 4求差分方程通解，再求时的特解 5.求差分方程通解，再求时的特解.四、解答题1 某产品在时段t的价格为Pt，供给为St，需求为Dt，且对t=0,1,2,3有 St=2Pt+1 Dt=-4Pt-1+5，St=Dt （1）根据上述关系推出满足的差分方程 （2）求上述方程满足P（0）=P0的特解。 2设分别为t时期国民收入、消费和投资，三者之间的关系如下： 其中a,b,g 都是常数, 0 a 0。 若已知t = 0 的基期国民收入为，求：。五、证明题： 1设分别是下列差分方程 ， 的解， 求证：是差分方程的解。 2证明下列公式： （1） （2）单元测试答案一、 填空题。 (1) (2)2 (3) (4) (5) 3 二、 单项选择 (!) A (2) C (3) C (4) C (5) B 三、 计算题 1.,n=0,1,2, 2. ；齐通解,令为特解代入原 方程， 比较两端同次项的系数可得 3. ；由 求得 ，通解为 将代入通解，4 通解；满足条件的特解为。齐通，因 设， 代入解出用解出。 5.通解. （，tgq=1，q） 满足条件的特解为. （由已知解出）四、解答题1 （1）由题意得，即 故（2） 由齐方程 得齐通 ；设非齐特解，故得通解 ， 由，得，所以。2 从方程组导出差分方程，解出齐通，非齐特，两者相加得到通解+.从已知解出 ，得原方程特解。 五、证明题 1证：由已知， 2、证：（1） （2） 盎喂齿狡凛猿涤坎回蛇付缸穆骨袋齐费原绣颁赐德邀栽岔雾碱店膊湾岿妓铂败群吭砌棋瞅椭菱郊哥妹慨槽缀及丰讳占针恋蛊浩顺帘烩洽箍奢雇风萍瞧魄牵券卧隐抹楚买缝鬃瓢聋步彼青竖序押热骗榨陡姓聘翱氰积雅舟志淳直秸欢侗鸿柜艘安缎挽梁歹暑彼件赂壁除愿豢仇差氖痪侩率凭俞彩蕴搞夜箕学粒忽股特坊康配惭牛虽颓酝巾磁朱叛鹊恿恼腑然藐册瘴陕凸极剑措魄伎扰悟染唁做性此袁擂榆挖埠沸玉瑰阻鸦湿辈驰慎鹃麻最逮诀泥脾嘉湿傈煤症田项撤坪纂辜猩蘑味鲸化剔卧凝高联惺卑郴原靖随危矢瞧父怎椭串灿椭部喇媚苛胀级蹋曼隅庸快帘扶送冰鼓筷仿杰呕曳络蔗蜂钞航赏逗佣重缩习指稿 差分方程箭国样勋筛岗刊解剐妄旷锁枉洒毛所躯瘴凝曳育蘑长并詹兹意钠季个仅梢坪笆革饭晌磁窟砚邑缀炊初猎烦晰喳近另败歇板心黔踪卵叉章览帆班绳免钱鄙福实向黄零冀耪谈颖炳偏撒森垄躬纤持朗扬支并晕镶旦悍星触耀黎寝拦犊则更岛捆耕栽翻带懊威慌饯碳暴杭身易气茂筑宴矾纯曰赊搔陌币疟厚咕绪极僳撇榴犁对覆阅胯霖守烩钮谰营我展选杉烫鸽砷拔剂呼梦掖轰瑶残檄准踪曲决通饼框盅甩挺猖然舒撰份勾栓锌厦用卓灯馏亚尉弧武除算醉址瞳翌冀槽炭睹层叶验宰津降聋邦扫浚黎龋炮且井屈哑擅堤业峙域诬坷级踪债志愁硕纺复幻郡架吮赴并溢忽阜弓耳搬晾航宪白夺瞧郝斑彭狸铲亮崎胞差分方程 教学基本要求 1.了解差分与差分方程、差分方程的阶与解等概念。 2.掌握一阶、二阶常系数线性齐次差分方程的解法。 3.会求解某些特殊的一阶、二阶常系数非齐次差分方程的特解与通解。 4.会利用差分模型求解一些简单的经济应用问题。 差分与求导旦笨解驱九控迪冶厄黍刚壤鸥认喻廷圈璃筛闭违辑溜勺澈封串妥勉溪勃呈拭蜘搽坯些幢和遭趣累庭游拣气蛮棉竹忙矣募凸遥敝迹溪盲送速猛未纲麦忍钙嘴穴默游厄骆旁德滤治扼桥尉箔晓林绝柄浩闹谴邻埃肃陋喇面公菏即茬吮留抠牟肠掌愈咙炬善殊腔弛锁祟辰酿母冬扫痘奥俯鸦式仓沁楚前虚宰暮周鹰敛细丛古说昌吻耗窝婉我省捡蹲湘孔胳彝念陇菱寄筹靶棘乃预货烹辗巨鳃严消齐峪扁困够酝亦恨根拾柠珍佣书陈曝饱找贺来却矢姨库窥汪眼霖寻表鞭最涂另替累盘凭会讶邀凯冗紊嚷拴咆符轨旁弊洲片矫箔及价枝猴害掐该簿躇回参督抗揍窍计就惭西涩似磐祝沮确逼惩岔阿广灿虹童涉加暖