高中数学人教版选修45评估验收卷：第四讲 用数学归纳法证明不等式 Word版含答案

评估验收卷评估验收卷( (四四) )( (时间：时间：120120 分钟分钟满分：满分：150150 分分) )一一、选择题选择题( (本大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的) )1 1下列说法中正确的是下列说法中正确的是( () )A A若一个命题当若一个命题当n n1 1，2 2 时为真时为真，则此命题为真命题则此命题为真命题B B若一个命题当若一个命题当n nk k时成立且推得时成立且推得n nk k1 1 时也成立时也成立，则此命题为真命题则此命题为真命题C C若一个命题当若一个命题当n n1 1，2 2 时为真时为真，则当则当n n3 3 时此命题也为真时此命题也为真D D若一个命题当若一个命题当n n1 1 时为真时为真，n nk k时为真能推得时为真能推得n nk k1 1 时亦为真时亦为真，则此命题为真命则此命题为真命题题解析：由数学归纳法定义可知解析：由数学归纳法定义可知，只有当只有当n n的初始取值成立且由的初始取值成立且由n nk k成立能推得成立能推得n nk k1 1时也成立时时也成立时，才可以证明结论正确才可以证明结论正确，二者缺一不可二者缺一不可A A，B B，C C 项均不全面项均不全面答案：答案：D D2 2等式等式 1 12 22 22 23 32 2n n2 21 12 2(5(5n n2 27 7n n4)(4)() )A An n为任何正整数时都成立为任何正整数时都成立B B仅当仅当n n1,1, 2 2，3 3 时成立时成立C C当当n n4 4 时成立时成立，n n5 5 时不成立时不成立D D仅当仅当n n4 4 时不成立时不成立解析：把解析：把n n1 1，2 2，3 3，4 4，5 5 代入验证可知代入验证可知 B B 正确正确答案：答案：B B3 3用数学归纳法证用数学归纳法证明不等式明不等式 1 11 12 23 31 13 33 31 1n n3 32 21 1n n( (n n2 2，n nN N) )时时，第一步应验证第一步应验证不等式不等式( () )A A1 11 12 23 32 21 12 2B B1 11 12 23 31 13 33 32 21 13 3C C1 11 12 23 32 21 13 3D D1 11 12 23 31 13 33 32 21 14 4解析：因为解析：因为n n2 2，所以第一步验证不等式应为所以第一步验证不等式应为n n2 2 时时 1 11 12 23 32 21 12 2. .答案：答案：A A4 4设设f f( (n n) )1 11 12 21 13 31 13 3n n1 1( (n nN N) )，则则f f( (n n1)1)f f( (n n) )等于等于( () )A.A.1 13 3n n2 2B.B.1 13 3n n1 13 3n n1 1C.C.1 13 3n n1 11 13 3n n2 2D.D.1 13 3n n1 13 3n n1 11 13 3n n2 2解析解析： 因因为为f f( (n n) )1 11 12 21 13 31 13 3n n1 1， 所所以以f f( (n n1)1)1 11 12 21 13 31 13 3n n1 11 13 3n n1 13 3n n1 11 13 3n n2 2，所以所以f f( (n n1)1)f f( (n n) )1 13 3n n1 13 3n n1 11 13 3n n2 2. .答案：答案：D D5 5已知已知f f( (n n) )1 1n n1 1n n1 11 1n n2 21 1n n2 2，则则( () )A Af f( (n n) )中共有中共有n n项项，当当n n2 2 时时，f f(2)(2)1 12 21 13 3B Bf f( (n n) )中共有中共有n n1 1 项项，当当n n2 2 时时，f f(2)(2)1 12 21 13 31 14 4C Cf f( (n n) )中共有中共有n n2 2n n项项，当当n n2 2 时时，f f(2)(2)1 12 21 13 3D Df f( (n n) )中共有中共有n n2 2n n1 1 项项，当当n n2 2 时时，f f(2)(2)1 12 21 13 31 14 4解析：本题主要考查数列的概念解析：本题主要考查数列的概念由由n n到到n n2 2一共有整数一共有整数n n2 2n n1 1 个个，所以所以f f( (n n) )有有n n2 2n n1 1 项项，当当n n2 2 时代入得时代入得，f f(2)(2)1 12 21 13 31 14 4. .故本题正确答案为故本题正确答案为 D.D.答案：答案：D D6 6用数学归纳法证明用数学归纳法证明“当当n n为正奇数时为正奇数时，x xn ny yn n能被能被x xy y整除整除”的第二步是的第二步是( () )A A假设假设n n2 2k k1 1 时正确时正确，再推再推n n2 2k k3 3 时正确时正确( (k kN N) )B B假设假设n n2 2k k1 1 时正确时正确，再推再推n n2 2k k1 1 时正确时正确( (k kN N) )C C假设假设n nk k时正确时正确，再推再推n nk k1 1 时正确时正确( (k kN N) )D D假设假设n nk k( (k k1)1)时正确时正确，再推再推n nk k2 2 时正确时正确( (k kN N) )解析解析：n n为正奇数为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第二步应先假设n n取第取第k k个正奇数也成个正奇数也成立立，本题即假设本题即假设n n2 2k k1 1 时正确时正确，再推再推n n取第取第( (k k1)1)个正奇数个正奇数，即即n n2 2k k1 1 时正确时正确答案：答案：B B7 7平面内原有平面内原有k k条直线条直线，它们的交点个数记为它们的交点个数记为f f( (k k) )，则增加一条直线则增加一条直线l l后后，它们的交点它们的交点个数最多为个数最多为( () )A Af f( (k k) )1 1B Bf f( (k k) )k kC Cf f( (k k) )k k1 1D Dk kf f( (k k) )解析解析：第第k k1 1 条直线与前条直线与前k k条直线都相交有交点条直线都相交有交点，所以应比原先增加所以应比原先增加k k个交点个交点故应故应选选B.B.答案：答案：B B8 8用数学归纳法证明用数学归纳法证明( (n n1)(1)(n n2)2)( (n nn n) )2 2n n1 13 3(2(2n n1)(1)(n nN N) )成立时成立时，从从k k到到k k1 1 左边需增乘的代数式是左边需增乘的代数式是( () )A.A.2 2k k1 1k k1 1B B2 2(2(2k k1)1)C C2 2k k1 1D.D.2 2k k3 3k k1 1解析解析： 要求左边从要求左边从k k到到k k1 1 左边需增乘的代数式左边需增乘的代数式， 可以先写出可以先写出n nk k时时， 左边左边( (k k1)(1)(k k2)2)( (k kk k) )，再写出再写出n nk k1 1 时时，左边左边( (k k2)(2)(k k3)3)( (k kk k)()(k kk k1)(1)(k kk k2 2) )，然然后比较两式后比较两式，得出需增乘得出需增乘（k kk k1 1） （k kk k2 2）k k1 12 2(2(2k k1)1)答案：答案：B B9 9如果命题如果命题P P( (n n) )对于对于n nk k成立成立，则它对则它对n nk k2 2 亦成立亦成立，又若又若P P( (n n) )对对n n2 2 成立成立，则则下列结论正确的是下列结论正确的是( () )A AP P( (n n) )对所有自然数对所有自然数n n成立成立B BP P( (n n) )对所有偶自然数对所有偶自然数n n成立成立C CP P( (n n) )对所有正自然数对所有正自然数n n成立成立D DP P( (n n) )对所有比对所有比 1 1 大的自然数大的自然数n n成立成立解析解析：因为因为n n2 2 时时，由由n nk k2 2 的的“递推递推”关系关系，可得到可得到n n4 4 成立成立，再得到再得到n n6 6 成立成立，依次类推依次类推，因此因此，命题命题P P( (n n) )对所有偶自然数对所有偶自然数n n成立成立答案：答案：B B1010设设 0 02 2，已知已知a a1 12 2coscos，a an n1 1 2 2a an n，则猜想则猜想a an n为为( () )A A2cos2cos2 2n nB B2cos2cos2 2n n1 1C C2cos2cos2 2n n1 1D D2sin2sin2 2n n解析：解析：a a1 12 2coscos，a a2 2 2 22 2coscos2 2coscos2 2，a a3 32 22 2coscos2 22 2coscos4 4，猜想猜想a an n2 2coscos2 2n n1 1. .答案：答案：B B1111设设f f( (x x) )是定义在正整数集上的函数是定义在正整数集上的函数，且且f f( (x x) )满足：当满足：当f f( (k k) )k k2 2成立时成立时，总可推总可推出出f f( (k k1)1)( (k k1)1)2 2成立那么下列命题总成立的是成立那么下列命题总成立的是( () )A A若若f f(3)(3)9 9 成立成立，则当则当k k1 1 时时，均有均有f f( (k k) )k k2 2成立成立B B若若f f(5)(5)2525 成立成立，则当则当k k5 5 时时，均有均有f f( (k k) )k k2 2成立成立C C若若f f(7)(7)4949 成立成立，则当则当k k8 8 时时，均有均有f f( (k k) )k k2 2成立成立D D若若f f(4)(4)2525 成立成立，则当，则当k k4 4 时时，均有均有f f( (k k) )k k2 2成立成立解析：根据题中条件可知：由解析：根据题中条件可知：由f f( (k k) )k k2 2，必能推得必能推得f f( (k k1)1)( (k k1)1)2 2，但反之不成立但反之不成立，因为因为 D D 中中f f(4)(4)25254 42 2，故可推得故可推得k k4 4 时时，f f( (k k) )k k2 2，故只有故只有 D D 正确正确答案：答案：D D1212已知已知f f( (n n) )(2(2n n7)7)3 3n n9 9，存在自然数存在自然数m m，使得对任意使得对任意n nN N，都能使都能使m m整除整除f f( (n n) )，则最大的则最大的m m的值为的值为( () )A A3030B B2626C C3636D D6 6解析解析：f f(1)(1)3636，f f(2)(2)108108，n n3 3 时时f f( (n n) )9(29(2n n7)37)3n n2 211，(2(2n n7)7)3 3n n2 21 1，当当n n3 3 时能被时能被 4 4 整除整除，结合选项知结合选项知 C C 正确正确答案：答案：C C二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2020 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上) )1313 若 用 数 学 归 纳 法 证 明 ：若 用 数 学 归 纳 法 证 明 ： 2 2n n 1 1n n2 2n n 2 2 成 立 时成 立 时 ， 第 一 步 应 验 证第 一 步 应 验 证_答案：答案：n n0 03 3，2 24 43 32 23 32 21414 用数学归纳法证明命题用数学归纳法证明命题： 1 12 22 22 23 32 24 42 2( (1)1)n n1 1n n2 2( (1)1)n n1 1n n（n n1 1）2 2( (n nN N) )，( (从从“第第k k步到步到k k1 1 步步”时时，两边应同时加上两边应同时加上_答案：答案：( (1)1)k k( (k k1)1)2 21515用数学归纳法证明用数学归纳法证明“当当n n是非负整数时是非负整数时，5 55 5n n1 14 45 5n n2 23 35 5n n能被能被 1111 整除整除”的第一步应的第一步应写成：当写成：当n n_时时，5 55 5n n1 14 45 5n n2 23 35 5n n_，能被能被 1111 整除整除解析：本题考查对运用数学归纳法证明整除问题的掌握情况解析：本题考查对运用数学归纳法证明整除问题的掌握情况，由于由于n n是非负整数是非负整数，所以所以第一步应考虑第一步应考虑n n0.0.答案：答案：0 05 51 14 42 23 30 022221616假设凸假设凸k k边形的对角线有边形的对角线有f f( (k k) )条条，则凸则凸( (k k1)1)边形的对角线的条数边形的对角线的条数f f( (k k1)1)为为_解析：凸解析：凸( (k k1)1)边形的对角线的条数等于凸边形的对角线的条数等于凸k k边形的对角线的条数边形的对角线的条数，加上多的那个点向加上多的那个点向其他点引的对角线的条数其他点引的对角线的条数k k2 2，再加再加上原来有一边成为对角线上原来有一边成为对角线， 共有共有 f f( (k k) )k k11条对角线条对角线答案：答案：f f( (k k) )k k1 1三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 6 6 小题小题，共共 7070 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤算步骤) )1717( (本小题满分本小题满分 1010 分分) )用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：1 12 24 41 14 46 61 16 68 81 12 2n n（2 2n n2 2）n n4 4（n n1 1）( (n nN N* *) )证明：证明：(1)(1)当当n n1 1 时时，左边左边1 12 21 1（2 22 2）1 18 8，右边右边1 14 4（1 11 1）1 18 8，左边右边左边右边所以当所以当n n1 1 时时，等式成立等式成立(2)(2)假设假设n nk k( (k kN N* *) )时等式成立时等式成立，即有即有1 12 24 41 14 46 61 16 68 81 12 2k k（2 2k k2 2）k k4 4（k k1 1），则当则当n nk k1 1 时时，1 12 24 41 14 46 61 16 68 81 12 2k k（2 2k k2 2）1 12 2（k k1 1）22（k k1 1）22k k4 4（k k1 1）1 14 4（k k1 1） （k k2 2）k k（k k2 2）1 14 4（k k1 1） （k k2 2）（k k1 1）2 24 4（k k1 1） （k k2 2）k k1 14 4（k k2 2）k k1 14 4（k k1 11 1）. .所以当所以当n nk k1 1 时时，等式也成立等式也成立由由(1)(2)(1)(2)可知可知，对于一切对于一切n nN N* *等式都成立等式都成立1818( (本小题满分本小题满分 1212 分分) )用用数学归纳法证明不等式：数学归纳法证明不等式：1 1n n1 1n n1 11 1n n2 21 1n n2 21(1(n nN N，且且n n1)1)证明：证明：(1)(1)当当n n2 2 时时，1 12 21 13 31 14 4131312121 1 成立；成立；(2)(2)设当设当n nk k( (k k2)2)时时，1 1k k1 1k k1 11 1k k2 21 1k k2 21 1；则当则当n nk k1 1 时时，1 1k k1 11 1k k2 21 1k k2 21 11 1（k k1 1）2 21 1k k1 1k k1 11 1k k2 21 1k k2 21 11 1k k2 22 2k k1 11 1k k1 12 2k k1 1（k k1 1）2 21 1k k1 1k k2 2k k1 1k k（k k1 1）2 21 1（k k1 1）2 2k k2 2k k（k k1 1）2 21 1，即当即当n nk k1 1 时也成立时也成立由由(1)(2)(1)(2)知对任意知对任意n n1(1(n nN N) )，原不等式成立原不等式成立1919( (本小题满分本小题满分 1212 分分) )求证：对于整数求证：对于整数n n0 0 时时，1111n n2 212122 2n n1 1能被能被 133133 整除整除证明：证明：(1)(1)n n0 0 时时，原式原式11112 21212133133 能被能被 133133 整除整除(2)(2)假设假设n nk k( (k k0 0，k kN)N)时时，1111k k2 212122 2k k1 1能被能被 133133 整除整除，n nk k1 1 时时， 原式原式1111k k3 312122 2k k3 311(1111(11k k2 212122 2k k1 1) )111112122 2k k1 112122 2k k3 311(1111(11k k2 212122 2k k1 1) )12122 2k k1 1133133 也能被也能被 133133 整除整除由由(1)(2)(1)(2)可知可知，对于整数对于整数n n0 0，1111n n2 212122 2n n1 1能被能被 133133 整除整除2020 ( (本小题满分本小题满分 1212 分分) )设设 x xn n 是由是由x x1 12 2，x xn n1 1x xn n2 21 1x xn n( (n nN N) )定义的数列定义的数列， 求证求证：x xn n 2 21 1n n. .证明：证明：(1)(1)当当n n1 1 时时，x x1 12 2 2 21 1，不等式成立不等式成立(2)(2)假设当假设当n nk k( (k k1)1)时时，不等式成立不等式成立，即即x xk k 2 21 1k k，那么那么，当当n nk k1 1 时时，x xk k1 1x xk k2 21 1x xk k. .由归纳假设由归纳假设，x xk k 2 21 1k k，则则x xk k2 22 22 21 12 2k k，1 1x xk k1 12 21 1k k. .因为因为x xk k 2 2，所以所以1 1x xk k2 22 2. .所以所以x xk k1 1x xk k2 21 1x xk k2 22 21 12 2k k2 22 2 2 21 12 2k k 2 21 1k k1 1. .即即x xk k1 1 2 21 1k k1 1. .所以当所以当n nk k1 1 时时，不等式不等式x xn n 2 21 1n n成立成立综上所述综上所述，得得x xn n 2 21 1n n( (n nN N) )2121( (本小题满分本小题满分 1212 分分) )数列数列1 1n n（n n1 1） 的前的前n n项和记为项和记为S Sn n. .(1)(1)求出求出S S1 1，S S2 2，S S3 3的值；的值；(2)(2)猜想出猜想出S Sn n的表达式；的表达式；(3)(3)用数学归纳法证明用数学归纳法证明你的猜想你的猜想(1)(1)解：解：a an n1 1n n（n n1 1），S S1 1a a1 11 12 2；S S2 2a a1 1a a2 21 12 21 16 62 23 3；S S3 3a a1 1a a2 2a a3 31 12 21 16 61 112123 34 4. .(2)(2)解：猜想：解：猜想：S Sn nn nn n1 1( (n nN N) )(3)(3)证明：证明：当当n n1 1 时时，S S1 1a a1 11 12 2，右边右边1 12 2. .等式成立等式成立假设当假设当n nk k时时，S Sk kk kk k1 1，则当则当n nk k1 1 时时，S Sk k1 1S Sk ka ak k1 1k kk k1 11 1（k k1 1） （k k2 2）（k k1 1）2 2（k k1 1） （k k2 2）k k1 1k k2 2k k1 1（k k1 1）1 1. .即当即当n nk k1 1 时时，等式成立等式成立由由可得可得S Sn nn nn n1 1( (n nN N) )2222( (本小题满分本小题满分 1212 分分) )已知数列已知数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，且且S Sn n，a an n的等差中项为的等差中项为 1.1.(1)(1)写出写出a a1 1，a a2 2，a a3 3；(2)(2)猜想猜想a an n的表达式的表达式，并用数学归纳法证明并用数学归纳法证明解：解：(1)(1)由题意由题意S Sn na an n2 2，可得可得a a1 11 1，a a2 21 12 2，a a3 31 14 4. .(2)(2)猜想猜想a an n1 12 2n n1 1. .下面用数学归纳法证明：下面用数学归纳法证明：当当n n1 1 时时，a a1 11 1，1 12 2n n1 11 12 20 01 1，等式成立等式成立假设当假设当n nk k时时，等式成立等式成立，即，即a ak k1 12 2k k1 1，则当则当n nk k1 1 时时，由由S Sk k1 1a ak k1 12 2，S Sk ka ak k2 2，得得( (S Sk k1 1S Sk k) )a ak k1 1a ak k0 0，即即 2 2a ak k1 1a ak k，所以所以a ak k1 11 12 2a ak k1 12 2 1 12 2k k1 11 12 2（k k1 1）1 1，即当即当n nk k1 1 时时，等式成立等式成立由由可知可知，对对n nN N，a an n1 12 2n n1 1. .最新精品资料