新版高考数学浙江专用总复习教师用书：第2章 第1讲　函数及其表示 Word版含解析

11第第 1 讲讲函数及其表示函数及其表示最新考纲1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).知 识 梳 理1.函数与映射的概念函数映射两个集合A，B设 A，B 是两个非空数集设 A，B 是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x， 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x， 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应名称称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射记法函数 yf(x)，xA映射：f：AB2.函数的定义域、值域(1)在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)函数 y1 与 yx0是同一个函数.()(2)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.()(3)函数 y x211 的值域是y|y1.()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()解析(1)函数 y1 的定义域为 R， 而 yx0的定义域为x|x0， 其定义域不同，故不是同一函数.(3)由于 x211， 故 y x2110， 故函数 y x211 的值域是y|y0.(4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修 1P25B2 改编)若函数 yf(x)的定义域为 Mx|2x2，值域为 Ny|0y2，则函数 yf(x)的图象可能是()解析A 中函数定义域不是2， 2， C 中图象不表示函数， D 中函数值域不是0，2.答案B3.(20 xx舟山一模)函数 y1x22x23x2的定义域为()A.(，1B.1，1C.1，2)(2，)D.1，12 12，1解析由题意，得1x20，2x23x20.解之得1x1 且 x12.答案D4.(20 xx陕西卷)设 f(x)1 x，x0，2x，x0，则 f(f(2)等于()A.1B.14C.12D.32解析因为20，所以 f(f(2)f14 11411212，故选 C.答案C5.(20 xx全国卷)已知函数 f(x)ax32x 的图象过点(1，4)，则 a_.解析由题意知点(1，4)在函数 f(x)ax32x 的图象上，所以 4a2，则a2.答案26.(20 xx 丽 水 调 研 ) 设 函 数 f(x) 2x21（x1） ，log2（1x）（x1） ，设 函 数 f(f(4) _.若 f(a)1，则 a_.解析f(x)2x21（x1） ，log2（1x）（x1） ，f(4)242131，f(f(4)f(31)log2325；当 a1 时，由 f(a)2a211，得 a1(a1 舍去)；当 a0，x0，解得 x1， 故函数 f(x)lnxx1x12的定义域为(1，).(2)yf(x)的定义域为1，2 017，g(x)有意义，应满足1x12 017，x10.0 x2 016，且 x1.因此 g(x)的定义域为x|0 x2 016，且 x1.答案(1)B(2)x|0 x2 016，且 x1规律方法求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)若已知 f(x)的定义域为a，b，则 f(g(x)的定义域可由 ag(x)b 求出；若已知 f(g(x)的定义域为a，b，则 f(x)的定义域为 g(x)在 xa，b时的值域.【训练 1】 (1)(20 xx湖北卷)函数 f(x) 4|x|lgx25x6x3的定义域为()A.(2，3)B.(2，4C.(2，3)(3，4D.(1，3)(3，6(2)若函数 f(x) 2x22axa1的定义域为 R，则 a 的取值范围为_.解析(1)要使函数 f(x)有意义，应满足4|x|0，x25x6x30，|x|4，x20 且 x3，则 21)，则 x2t1，f(t)lg2t1，即 f(x)lg2x1(x1).(2)设 f(x)ax2bxc(a0)，由 f(0)2，得 c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)2ax2bx2x1，则 2axabx1，2a1，ab1，即a12，b32.f(x)12x232x2.(3)在 f(x)2f1x x1 中，将 x 换成1x，则1x换成 x，得 f1x 2f(x)1x1，由f（x）2f1x x1，f1x 2f（x）1x1，解得 f(x)23x13.答案(1)lg2x1(x1)(2)12x232x2(3)23x13规律方法求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于 f(x)与 f1x 或 f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出 f(x).(4)配凑法：由已知条件 f(g(x)F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的表达式.【训练 2】 (1)已知 f( x1)x2 x，则 f(x)_.(2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x).若当 0 x1 时，f(x)x(1x)，则当1x0 时，f(x)_.(3)定义在(1， 1)内的函数 f(x)满足 2f(x)f(x)lg(x1)， 则 f(x)_.解析(1)令 x1t，则 x(t1)2(t1)，代入原式得f(t)(t1)22(t1)t21，所以 f(x)x21(x1).(2)当1x0 时，0 x11，由已知 f(x)12f(x1)12x(x1).(3)当 x(1，1)时，有 2f(x)f(x)lg(x1).将 x 换成x，则x 换成 x，得 2f(x)f(x)lg(x1).由消去 f(x)得，f(x)23lg(x1)13lg(1x)，x(1，1).答案(1)x21(x1)(2)12x(x1)(3)23lg(x1)13lg(1x)(1x1)考点三分段函数(多维探究)命题角度一求分段函数的函数值【例 31】 (20 xx全国卷)设函数 f(x)1log2（2x） ，x1f(log212)2(log2121)2log266，因此 f(2)f(log212)369.答案C命题角度二求参数的值或取值范围【例 32】 (1)(20 xx山东卷)设函数 f(x)3xb，x1，2x，x1.若 f f56 4，则 b()A.1B.78C.34D.12(2)(20 xx全国卷)设函数 f(x)ex1，x1，x13，x1，则使得 f(x)2 成立的 x 的取值范围是_.解析(1)f56 356b52b，若52b32时，则 f f56 f52b352bb4，解之得 b78，不合题意舍去.若52b1，即 b32，则 252b4，解得 b12.(2)当 x1 时，ex12，解得 x1ln 2，所以 x1，且 f(a)3，则 f(6a)()A.74B.54C.34D.14(2)(20 xx 南京、盐城模拟)已知函数 f(x)x21，x0，（x1）2，x0，则不等式 f(x)1 的解集是_.解析(1)当 a1 时，f(a)2a123，即 2a11，不成立，舍去；当 a1 时，f(a)log2(a1)3，即 log2(a1)3，解得 a7，此时 f(6a)f(1)22274.故选 A.(2)当 x0 时，由题意得x211，解之得4x0.当 x0 时，由题意得(x1)21，解之得 00，解得 x1 或 x0） ，则 f f19 ()A.2B.3C.9D.9解析f19 log3192，f f19 f(2)1329.答案C5.某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数 yx(x表示不大于 x 的最大整数)可以表示为()A.yx10B.yx310C.yx410D.yx510解析取特殊值法，若 x56，则 y5，排除 C，D；若 x57，则 y6，排除A，选 B.答案B6.(20 xx全国卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y10lg x的定义域和值域相同的是()A.yxB.ylg xC.y2xD.y1x解析函数 y10lg x的定义域、值域均为(0，)，而 yx，y2x的定义域均为 R，排除 A，C；ylg x 的值域为 R，排除 B，故选 D.答案D7.(20 xx江苏卷)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1，1)上，f(x)xa，1x0，|25x|，0 x0，有 y20 x20成立.答案C二、填空题9.(20 xx江苏卷)函数 y 32xx2的定义域是_.解析要使函数有意义，则 32xx20，x22x30，解之得3x1.答案3，110.(20 xx湖州调研)已知 f(x)x3，x9，f（f（x4） ） ，x0，所以 f1x log2x，则 f(x)log21xlog2x.答案f(x)log2x12.(20 xx温州调研)已知函数 f(x)log2x（x0） ，x2x（x0） ，则 f f12 _，方程f(x)2 的解为_.解析f(x)log2x（x0） ，x2x（x0） ，f12 log2121，f f12 f(1)(1)2(1)0.当 x0 时，由 log2x2 得 x4，当 x0 时，由 x2x2 得 x2(x1舍去).答案02 或 413.已知函数 f(x)x22x，x0，x22x，x0.若 f(a)f(a)0，则实数 a 的取值范围是_.解析依题意可知a0，（a）22（a）a22a0或a0，0，x0，1，x0 时，|x|x，sgn x1，则|x|xsgn x；当 x0 时，|x|x，sgn x1，则|x|xsgn x；当 x0 时，|x|x0，sgn x0，则|x|xsgn x.答案D15.设函数 f(x)3x1，x1，2x，x1，则满足 f(f(a)2f(a)的 a 的取值范围是()A.23，1B.0，1C.23，D.1，)解析由 f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当 a1 时，有 3a11，a23，23a0，x0，1x20 x0，x0，1x10 x1.f(x)的定义域为(0，1.答案(0，117.(20 xx浙江卷)已知函数 f(x)x2x3，x1，lg（x21） ，x1，则 f(f(3)_，f(x)的最小值是_.解析f(3)lg(3)21lg 101，f(f(3)f(1)0，当 x1 时，f(x)x2x32 23，当且仅当 x 2时，取等号，此时 f(x)min2 230；当 x0，g(x)2x1，则 f(g(2)_，fg(x)的值域为_.解析g(2)2213，f(g(2)f(3)2，g(x)的值域为(1，)，若10；fg(x)g(x)1(1，)，fg(x)的值域是1，).答案21，)