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高三数学33个黄金考点总动员【考点剖析】1.最新考试说明：在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题会用数形结合思想、转化与化归思想解决数学问题.2.命题方向预测：从近二年的高考试题来看，主要考查图象的辨识以及利用图象研究函数的性质、方程及不等式的解，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，主要考查基本初等函数的图象及应用.高考对本节内容的考查仍将以函数图象识别与函数图象的应用为主，题型仍为选择题或填空题的形式备考时要求熟练掌握各种基本初等函数的图象及性质，加强函数性质的应用意识，另外还应熟练掌握各种图象变换的法则.3.课本结论总结：（1）画函数图象的一般方法描点法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出，其步骤为：先确定函数的定义域，化简给定的函数解析式，再根据化简后的函数解析式研究函数的值域、单调性、奇偶性、对称性、极值、最值，再根据函数的特点取值、列表，描点，连线，注意取点，一定要包括关键点，如极值点、与轴的交点等图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响（2）常见的图象变换 平移变换： 左右平移：函数的图象可由函数的图象向左（+）或向右（）平移个单位得到；上下平移：（）的图象可由函数的图象向上（+）或向下（）平移个单位得到；伸缩变换函数是将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的得到；函数是将函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍的得到；对称变换函数图象关于轴对称得到函数图象；函数图象关于轴对称得到函数图象；函数图象关于原点对称得到函数图象；函数图象关于直线对称得到函数为图象翻折变换函数的图象这样得到：函数在轴右侧的图象保持不变，左侧的图象去掉后，再将右侧的图象翻折到轴左侧（函数为偶函数，其图象关于轴对称）;函数的图象是这样得到的：函数在轴上方的图象保持不变，把下方的图象关于轴对称到上方（注意到函数的函数值都大于零）4.名师二级结论：（1）函数图象的几个应用判断函数的奇偶性、确定单调区间：图象关于原点对称是奇函数，图象关于y轴对称是偶函数.图象从左到右上升段对应的的取值范围是增区间，下降对应的的取值范围是减区间.方程的根就是函数与函数图象交点的横坐标.不等式的解集是函数的图象在函数图象上方的一段对应的的取值范围（交点坐标要通过解方程求得）（2）函数的图象的对称性若函数关于对称对定义域内任意都有=对定义域内任意都有=是偶函数；函数关于点（，0）对称对定义域内任意都有=是奇函数；若函数对定义域内任意都有,则函数的对称轴是；若函数对定义域内任意都有,则函数的对称轴中心为；函数关于对称.(3) 明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换函数解析式的等价变换研究函数的性质5.课本经典习题：(1)新课标A版第 23 页，练习第2 题下图中哪几个图象与下述三个事件分别吻合的最好？请你为剩下的那个图象写出一个事件.(1) 我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到作业本在上学；(2) 我骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽误了一些时间；(3) 我出发后，心情轻松，缓缓前进，后来为了赶时间开始加速.【经典理由】本题主要考查了图象识别，与高考题中的图象识别题很类似(2) 新课标A版第 25 页，习题1.2 B组第1 题函数的图象如图所示（图中曲线与直线无限接近，但永不相交）.函数的定义域是什么？函数的值域是什么？取何值时，只有唯一的与之对应？【经典理由】本题主要考查了图象应用，与高考题中的图象识应用很类似6.考点交汇展示：(1)与参数范围问题交汇例1【20xx高考安徽，理9】函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） （A）， （B）， （C）， （D），【答案】C【解析】由及图象可知，则；当时，所以；当，所以，所以.故，选C. (2)与函数性质交汇例2【山东菏泽3月模拟考】下列四个图中，函数的图象可能是（）OO A B C D【答案】C所以选C.(3)与函数零点问题交汇例3【20xx高考北京，理14】设函数若，则的最小值为；若恰有2个零点，则实数的取值范围是【答案】(1)1，(2)或.（4）与不等式交汇例4 【高考原创预测卷三（浙江版理科）】不等式在内恒成立，实数的取值范围为（ ）A. B. C(1，) D(，2)【答案】A【解析】设，要使当时，不等式恒成立，只需在上的图象在图象的下方即可当时，显然不成立；当时，如图，要使时的图象在的图象下方，只需，即，即.所以，即实数的取值范围是【考点分类】热点1 函数图象的识别1.【20xx高考福建卷第4题】若函数的图象如右图所示，则下列函数图象正确的是（ ）【答案】B2.【20xx浙江高考理第7题】在同意直角坐标系中，函数的图象可能是（ ）【答案】3.【20xx高考新课标2，理10】如图，长方形的边，是的中点，点沿着边，与运动，记将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图象大致为（ ）【答案】B【解析】由已知得，当点在边上运动时，即时，；当点在边上运动时，即时，当时，；当点在边上运动时，即时，从点的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B4.函数的图象大致是（ ）【答案】C【方法规律】1.识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.（4）利用函数本身的性能或特殊点（与、轴的交点，最高点、最低点等）进行排除验证.2.函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项【解题技巧】函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项【易错点睛】1.函数图象左右平移平移的长度单位是加在上，而不是加在上，处理左右平移问题要注意平移方向与平移的长度单位.2.在图象识别中忽视函数的定义域或有关性质分析不到位导致解题出错.例 已知定义域为0,1上的函数图象如下图左图所示，则函数的图象可能是（ ）【错解】先将的图象沿y轴对折得到的图象，再将所得图象向左平移1个长度单位就得到函数的图象，故选A.【错因分析】没有掌握图象变换，图象平移长度单位是加在上，而不是加在上，本例因=，故先做对称变换后，应向右平移1长度单位.【预防措施】先将所给函数化为形式，若先做伸缩变换，再作平移变换，注意平移方向和平移单位.【正解】因=,先将的图象沿y轴对折得到的图象，再将所得图象向右平移1个长度单位就得到函数的图象，故选B.热点2 函数图象的应用1. 【20xx高考山东理8】已知函数，若有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（A） （B） （C） （D）【答案】B.2.对任意实数，定义运算“”：设，若函数的图象与轴恰有三个交点，则的取值范围是( )（A） （B） （C） （D）【答案】D3.【20xx高考湖北卷理第10题】已知函数是定义在上的奇函数，当时，若，则实数的取值范围为（ ）A B C D 【答案】B【解析】试题分析：当时，由是奇函数，可作出的图像，如下图所示又因为，所以的图像恒在图像的下方，即将的图像往右平移一个单位后恒在图像的下方，所以，解得故选B4. 【20xx高考江苏卷第13题】已知是定义在上且周期为3的函数，当时，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 .【答案】【方法规律】1研究函数的性质时一般要借助函数图象，体现了数形结合思想2有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解3方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来求解【解题技巧】1.为了更好的利用函数图象解题，准确的作出函数的图象是解题关键，要准确的作出图象必须做到以下两点：(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数 函数、对数函数、幂函数、形如的函数；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程.2利用函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等3利用函数的图象研究方程根的分布或求根的近似解对所给的方程进行变形，转化为两个熟悉的函数的交点问题，作出这两个函数的图象，观察出交点个数即为方程解的个数，或找出解所在的区间或结合图象由解的个数找出参数满足的条件，从而求出参数的范围或参数的值【易错点睛】一个函数的图象关于原点(y轴)对称与两个函数的图象关于原点(y轴)对称不同，前者是自身对称，且为奇(偶)函数，后者是两个不同的函数对称例 已知函数的定义域为R，则函数与函数的图象关于（ ）A直线=0对称 B.直线=0对称 C.直线对称 D.直线=2对称【错解】函数定义在实数集上，且，函数的图象关于直线=0对称，故选B.【错因分析】错用函数自身对称的结论处理两个函数对称问题.【预防措施】首先分析要解决的对称问题是自身的对称问题还是两个函数的对称问题，其次要掌握判断函数自身对称的方法和判断两个函数对称的方法.【正解】函数的图象是将函数的图象向右平移2个单位得到，而函数=的图象是先将的图象关于=0对称变换得到的图象，再将的图象向右平移2个单位得到，因此函数与函数关于=2对称，故选D.【热点预测】1.若实数x，y满足|x1|ln0，则y关于x的函数图象的大致形状是()【答案】B2.已知函数的图象大致为（ ）【答案】A【解析】，的图象始终位于的图象的上方，所以函数值为正数，排除当取时，排除，选.3.偶函数满足,且在时，则关于的方程在上的根的个数是A3 B4 C5 D6【答案】【解析】由题意可得，.即函数为周期为的周期函数，又是偶函数，所以，在同一坐标系内，画出函数，的图象，观察它们在区间的交点个数，就是方程在上根的个数，结合函数图象的对称性，共有个交点，故选.4.已知函数，的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是A.B.C.D. 【答案】A5.若函数yf(x)(xR)满足f(x1)f(x)，且x1,1时f(x)1x2.函数g(x)则函数h(x)f(x)g(x)在区间5,4内的零点的个数()A7 B8) C9 D10【答案】A【解析】由f(x1)f(x)，可得f(x2)f(x1)f(x)，所以函数f(x)的周期为2，求h(x)f(x)g(x)在区间5,4内的零点，即求f(x)g(x)在区间5,4上图象交点的个数画出函数f(x)与g(x)的图象，如图，由图可知两图象在5,4之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.6.函数，则此函数的所有零点之和等于（ ）A.4 B.8 C.6 D.10【答案】B【解析】由和=图象如图，交点的横坐标是零点的值，由图象可知，那些零点关于对称，所以所有零点的值为8.7.已知函数是周期为2的周期函数，且当时，则函数的零点个数是（ ）A9 B10 C11 D18【答案】B8.已知函数其中表示不超过的最大整数，（如,）.若直线与函数的图象恰有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A B C D 【答案】B【解析】由题意，函数是周期为1的周期函数，在时，其图象如图所示，直线过点，由于，符合题意的直线必定在点正方，在点上方（可过点），故有9.若函数满足，当x0，1时，若在区间(-1，1上， 方程有两个实数解，则实数m的取值范围是（ ）A0m B0m Cml Dm1【答案】10.已知定义在R上的函数 对任意的x满足 ，当-lxl时，函数 若函数在 上有6个零点，则实数a的取值范围是（ ）A B C D【答案】11.已知函数，.若存在使得，则实数的取值范围是 【答案】【解析】方程变形为，记函数的值域为，函数的值域为，设的取值范围为，则，作出函数和的图象，可见在上是增函数，在上是减函数，且，而函数的值域是，因此，因此.12.已知函数，设，若，则的取值范围是 .【答案】13.已知函数，则方程恰有两个不同实数根时，实数的取值范围是 .【答案】【解析】方程恰有两个不同实数根，与有2个交点，14.已知函数，下列关于函数(其中a为常数)的叙述中:对aR，函数g(x)至少有一个零点;当a0时，函数g(x)有两个不同零点;aR，使得函数g(x)有三个不同零点;函数g(x)有四个不同零点的充要条件是a0.其中真命题有_.(把你认为的真命题的序号都填上)【答案】【解析】因为其图象如图所示：y101 2x1
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