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第二节两条直线的位置关系考纲传真1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离(对应学生用书第112页) 基础知识填充1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.2两条直线的交点的求法直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组无解，则两条直线平行；若方程组有无数个解，则两条直线重合3距离P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|P1P2|点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d平行线AxByC10与AxByC20间的距离d知识拓展1直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC)(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAyn0(nR)2两直线平行或重合的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20平行或重合的充要条件是A1B2A2B10.3两直线垂直的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B20.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(4)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(5)若点P，Q分别是两条平行线l1，l2上的任意一点，则P，Q两点的最小距离就是两条平行线的距离()答案(1)(2)(3)(4)(5)2(教材改编)已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()AB2C1D1C由题意得1，即|a1|，又a0，a1.3直线l：(a2)x(a1)y60，则直线l恒过定点_(2，2)直线l的方程变形为a(xy)2xy60，由解得x2，y2，所以直线l恒过定点(2，2)4已知直线l1：ax(3a)y10，l2：x2y0.若l1l2，则实数a的值为_. 【导学号：00090269】2由2，得a2.5已知直线3x4y30与直线6xmy140平行，则它们之间的距离是_2，m8，直线6xmy140可化为3x4y70，两平行线之间的距离d2.(对应学生用书第113页)两条直线的平行与垂直(1)设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)(20xx潍坊模拟)过点(1,3)且垂直于直线x2y30的直线方程为()A2xy10B2xy50Cx2y50Dx2y70(1)A(2)A(1)当a1时，显然l1l2，若l1l2，则a(a1)210，所以a1或a2.所以a1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件(2)直线x2y30的斜率为，从而所求直线的斜率为2.又直线过点(1,3)，所以所求直线的方程为y32(x1)，即2xy10.规律方法1.判断直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件2在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论另外当A2B2C20时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便变式训练1已知过点A(2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2xy10为l2，直线xny10为l3.若l1l2，l2l3，则实数mn的值为()A10B2C0D8Al1l2，kAB2，解得m8.又l2l3，(2)1，解得n2，mn10.两直线的交点与距离问题(1)直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为_(2)过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2xy20和l2：xy30所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程(1)x3y50或x1法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意法二：当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB中点时，AB的中点为(1,4)，直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.(2)设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，则直线l与l2的交点B(6x0，y0)，2分由题意知解得6分即A，从而直线l的斜率k8，10分直线l的方程为y8(x3)，即8xy240.12分规律方法1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数2利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等变式训练2(1)已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_. 【导学号：00090270】(2)(20xx石家庄模拟)若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2间的距离为_(1)(2)法一：由方程组解得(若2k10，即k，则两直线平行)交点坐标为.又交点位于第一象限，解得k.法二：如图，已知直线yx2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2)而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示这是一条过定点P(2,1)，斜率为k的动直线两直线的交点在第一象限，两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，动直线的斜率k需满足kPAkkPBkPA，kPB.k.(2)由a(a2)3得a3或a1，经检验a3时两直线重合，因此a1，此时l1的方程为xy60，l2的方程为xy0，两条直线间的距离为d.对称问题(1)平面直角坐标系中直线y2x1关于点(1,1)对称的直线l方程是_(2)光线从A(4，2)点射出，到直线yx上的B点后被直线yx反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(1,6)，则BC所在的直线方程是_(1)y2x3(2)10x3y80(1)法一：在直线l上任取一点P(x，y)，其关于点(1,1)的对称点P(2x,2y)必在直线y2x1上，2y2(2x)1，即2xy30.因此，直线l的方程为y2x3.法二：由题意，l与直线y2x1平行，设l的方程为2xyc0(c1)，则点(1,1)到两平行线的距离相等，解得c3.因此所求直线l的方程为y2x3.法三：在直线y2x1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于点(1,1)对称的点M(2,1)，点B关于点(1,1)对称的点N(1，1)由两点式求出对称直线MN的方程为，即y2x3.(2)作出草图，如图所示，设A关于直线yx的对称点为A，D关于y轴的对称点为D，则易得A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直线经过点B与C故BC所在的直线方程为，即10x3y80.母题探究1在题(1)中“将结论”改为“求点A(1,1)关于直线y2x1的对称点”，则结果如何？解设点A(1,1)关于直线y2x1的对称点为A(a，b)，2分则AA的中点为，4分所以解得10分故点A(1,1)关于直线y2x1的对称点为.12分母题探究2在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线xy0对称”，则结果如何？解在直线y2x1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于直线xy0的对称点为M(1,0)，点B关于直线xy0的对称点为N(3,1)，6分根据两点式，得所求直线的方程为，即x2y10.12分规律方法1.第(1)题求解的关键是利用中点坐标公式，将直线关于点的中心对称转化为点关于点的对称2解决轴对称问题，一般是转化为求对称点问题，关键是要抓住两点，一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上变式训练3(1)(20xx广州模拟)直线x2y10关于直线xy20对称的直线方程是()Ax2y10B2xy10C2xy30Dx2y30(2)直线l1：3xy10与直线l2：3xy70关于直线l对称，则直线l的方程为_ 【导学号：00090271】(1)B(2)3xy40(1)由题意得直线x2y10与直线xy20的交点坐标为(1,1)在直线x2y10上取点A(1,0)，设A点关于直线xy20的对称点为B(m，n)，则解得故所求直线的方程为，即2xy10.(2)由题意知l1l2，设直线l的方程为3xym0，则，即|m1|m7|解得m4，故直线l的方程为3xy40
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