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第二节不等式的证明考纲传真(教师用书独具)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法(对应学生用书第206页)基础知识填充1基本不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a，b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立定理3：如果a，b，c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立定理4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立2柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2(当且仅当adbc时，等号成立)(2)柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立(3)柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3R，则.(4)柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立3不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等(1)比较法：比差法的依据是：ab0ab步骤是：“作差变形判断差的符号”变形是手段，变形的目的是判断差的符号比商法：若B0，欲证AB，只需证1.(2)综合法与分析法：综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法即“由因导果”的方法分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法即“执果索因”的方法基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论()(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论()(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实()(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)若ab1，xa，yb，则x与y的大小关系是()AxyBxyCxyDxyAxyaab.由ab1得ab1，ab0，所以0，即xy0，所以xy.3若a，b，c，则a，b，c的大小关系为()AabcBacbCbcaDcabA“分子”有理化得a，b，c，所以abc.4已知a0，b0且ln(ab)0，则的最小值是_. 【导学号：79140398】4由题意得，ab1，a0，b0，所以(ab)2224，当且仅当ab时等号成立5已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.证明因为x0，y0，所以1xy230,1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.(对应学生用书第207页)比较法证明不等式已知a0，b0，求证：.证明法一：()0，.法二：由于111.又a0，b0，0，.规律方法作差比较法证明不等式的步骤：(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论.其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负.注：作商比较法也有类似的步骤，但注意其比较的是两个正数的大小，且第(3)步要判断商与“1”的大小.跟踪训练(20xx临川一中)设ab，求证：a46a2b2b44ab(a2b2)证明因为a46a2b2b44ab(a2b2)(a2b2)24ab(a2b2)4a2b2(a2b22ab)2(ab)4.又ab，所以(ab)40，所以a46a2b2b44ab(a2b2)综合法证明不等式(20xx全国卷)已知a0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.规律方法1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：AB1B2BnB(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达式是“，”或“”.2.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.跟踪训练已知a0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9.证明(1)ab1，a0，b0，2224448(当且仅当ab时，等号成立)，8.(2)1，由(1)知8.9.用分析法证明不等式(1)设a，b，c0且abbcca1，求证：abc；(2)设x1，y1，求证xyxy. 【导学号：79140399】证明(1)因为a，b，c0，所以要证abc，只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)成立所以原不等式成立(2)由于x1，y1，要证xyxy，只需证xy(xy)1yx(xy)2.因为yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)，因为x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0，从而所要证明的不等式成立规律方法分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”.跟踪训练(20xx广州综合测试(二)(1)已知abc1，证明：(a1)2(b1)2(c1)2；(2)若对任意实数x，不等式|xa|2x1|2恒成立，求实数a的取值范围证明(1)法一：因为abc1，所以(a1)2(b1)2(c1)2a2b2c22(abc)3a2b2c25.所以要证(a1)2(b1)2(c1)2，只需证a2b2c2.因为a2b2c2(abc)22(abbcca)(abc)22(a2b2c2)，所以3(a2b2c2)(abc)2.因为abc1，所以a2b2c2.所以(a1)2(b1)2(c1)2.法二：因为abc1，所以(a1)2(b1)2(c1)2a2b2c22(abc)3a2b2c25.所以要证(a1)2(b1)2(c1)2，只需证a2b2c2.因为a2a，b2b，c2c，所以a2b2c2(abc)因为abc1，所以a2b2c2.所以(a1)2(b1)2(c1)2.法三：因为(a1)2(a1)，(b1)2(b1)，(c1)2(c1)，所以(a1)2(b1)2(c1)2(a1)(b1)(c1)因为abc1，所以(a1)2(b1)2(c1)2.(2)设f(x)|xa|2x1|，则“对任意实数x，不等式|xa|2x1|2恒成立”等价于“f(x)min2”当a时，f(x)此时f(x)minfa，要使|xa|2x1|2恒成立，必须a2，解得a.综上所述，实数a的取值范围为. 柯西不等式的应用已知x，y，z均为实数(1)若xyz1，求证：3；(2)若x2y3z6，求x2y2z2的最小值解(1)证明：因为()2(121212)(3x13y23z3)27.所以3.当且仅当x，y，z0时取等号(2)因为6x2y3z，所以x2y2z2，当且仅当x，即x，y，z时，x2y2z2有最小值.规律方法1.使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.2.利用柯西不等式求最值的一般结构为：(aaa(111)2n2.在使用柯西不等式时，要注意右边常数且应注意等号成立的条件.跟踪训练(20xx江苏高考)已知a，b，c，d为实数，且a2b24，c2d216，证明：acbd8.证明由柯西不等式，得(acbd)2(a2b2)(c2d2)因为a2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此acbd8.
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