资源描述
新编高考数学复习资料学案36直接证明与间接证明导学目标： 1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程及特点.2.了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程及特点自主梳理1直接证明(1)综合法定义：从已知条件出发，以_为依据，逐步下推，直到推出所要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法框图表示：(其中P表示已知条件，Q表示要证的结论)(2)分析法定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使_和_为止这种证明方法叫做分析法框图表示：.2间接证明反证法：假设原命题_(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法自我检测1分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的_条件(填“充分”、“必要”或“充要”)2(2010揭阳高三统考)用反证法证明“如果ab，那么”的假设内容应是_3设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是_(填序号)|ac|ab|cb|；a2a；0，则与的大小关系为_5(2010东北三省四市联考)设x、y、zR，ax，by，cz，证明a，b，c中至少有一个不小于2.探究点一综合法例1已知a，b，c都是实数，求证：a2b2c2(abc)2abbcca.变式迁移1设a，b，c0，证明：abc.探究点二分析法例2若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg alg blg c.变式迁移2已知a0，求证： a2.探究点三反证法例3若x，y都是正实数，且xy2，求证：2与|a2bab22ab|成立证明时注意提取公因式及配方法的运用【答题模板】(1)解由题意得1，即x211或x211.2分由x211，得x22，即x或x；由x211，得x.综上可知x的取值范围为(，)(，)4分(2)证明由题意知即证成立8分ab，且a、b都为正数，(ab)2，ab()2(ab)2，10分即证(ab)2(ab)20，即证(abab)(abab)0，需证0，12分即证(ab)(ab)20，a、b都为正数且ab，上式成立故原命题成立14分【突破思维障碍】1准确理解题意，提炼出相应不等式是解决问题的关键2代数式|a3b32ab|与|a2bab22ab|中的绝对值符号去掉为后续等价变形提供了方便【易错点剖析】1推理论证能力较差，绝对值符号不会去2运用能力较差，不能有效地进行式子的等价变形或中间变形出错1综合法是从条件推导到结论的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证的结论即由因导果2分析法是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实即执果索因，用分析法寻找解题思路，再用综合法书写，这样比较有条理，叫分析综合法3用反证法证明问题的一般步骤：(1)反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；(否定结论)(2)归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(推导矛盾)(3)存真：由矛盾结果断定反设不真，从而肯定原结论成立(结论成立) (满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2bxc0 (a0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”假设内容应为_2(2010无锡模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：(1)ab1；(2)ab2；(3)ab2；(4)a2b22；(5)ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)3设a、b、c(0，)，Pabc，Qbca，Rcab，则“PQR0”是“P、Q、R同时大于零”的_条件4(2010安徽)若a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_(写出所有正确命题的序号)ab1；a2b22；a3b33；2.5如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则A2B2C2是_三角形(填“锐角”“钝角”或“直角”)6(2010江苏前黄高级中学模拟)某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在0,1上有意义，且f(0)f(1)，如果对于不同的x1，x20,1，都有|f(x1)f(x2)|x1x2|，求证：|f(x1)f(x2)|0，求证：a3b3c3(a2b2c2)(abc)11(14分)已知a、b、c(0,1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能同时大于.学案36直接证明与间接证明答案自主梳理1(1)已知的定义、公理、定理(2)结论成立的条件已知条件或已知事实吻合2.不成立矛盾自我检测1充分解析由分析法的定义可知2.解析的否定是.3解析选项成立时需得证ab0.中|ab|cb|(ab)(cb)|ac|，作差可证；移项平方可证4.解析(ab).ab0，(ab)20，0.5证明假设a，b，c均小于2，则abc0，根据基本不等式，有b2a，c2b，a2c.三式相加：abc2(abc)即abc.例2解题导引当所给的条件简单，而所证的结论复杂，一般采用分析法含有根号、对数符号、绝对值的不等式，若从题设不易推导时，可以考虑分析法证明要证lglglglg alg blg c，只需证lglg(abc)，只需证abc.(中间结果)因为a，b，c是不全相等的正数，则0，0，0.且上述三式中的等号不全成立，所以abc.(中间结果)所以lglglglg alg blg c.变式迁移2证明要证 a2，只要证 2a.a0，故只要证 22，即a24 4a2222，从而只要证2，只要证42，即a22，而该不等式显然成立，故原不等式成立例3解题导引(1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器(2)利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出现循环论证的错误证明假设2和0且y0，所以1x2y，且1y2x，两式相加，得2xy2x2y，所以xy2，这与已知条件xy2相矛盾，因此2与0，(x1)2(y1)2(z1)2(3)0.式与式矛盾，假设不成立，即a，b，c中至少有一个大于0.课后练习区1假设a、b、c都不是偶数2(3)解析若a，b，则ab1，但a1，b2，故(4)推不出；若a2，b3，则ab1，故(5)推不出；对于(3)，即ab2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.3充要解析必要性是显然成立的，当PQR0时，若P、Q、R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P0，Q0，R0，则QR2c0矛盾，即充分性也成立4解析ab()21，成立欲证，即证ab22，即20，显然不成立欲证a2b2(ab)22ab2，即证42ab2，即ab1，由知成立a3b3(ab)(a2abb2)3a2abb2(ab)23ab43abab，由知，ab不恒成立欲证2，即证2，即ab1，由知成立5钝角解析由条件知，A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则A1B1C1是锐角三角形，假设A2B2C2是锐角三角形，由得那么，A2B2C2，这与三角形内角和为相矛盾，所以假设不成立，所以A2B2C2是钝角三角形6“x1，x20,1，使得|f(x1)f(x2)|0，(a2b2)(ab)2ab(ab)，(3分)a3b3a2bab22ab(ab)2a2b2ab2，a3b3a2bab2.(7分)同理，b3c3b2cbc2，a3c3a2cac2，将三式相加得，2(a3b3c3)a2bab2b2cbc2a2cac2.(10分)3(a3b3c3)(a3a2ba2c)(b3b2ab2c)(c3c2ac2b)(abc)(a2b2c2)a3b3c3(a2b2c2)(abc)(14分)11证明方法一假设三式同时大于，即(1a)b，(1b)c，(1c)a，(3分)a、b、c(0,1)，三式同向相乘得(1a)b(1b)c(1c)a.(8分)又(1a)a2，(10分)同理(1b)b，(1c)c，(1a)a(1b)b(1c)c，(12分)这与假设矛盾，故原命题正确(14分)方法二假设三式同时大于，0a0，(2分) ，(8分)同理，(10分)三式相加得，这是矛盾的，故假设错误，原命题正确(14分)
展开阅读全文