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第四节第四节二次函数与幂函数二次函数与幂函数考纲传真(教师用书独具)1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数yx，yx2，yx3，yx12，y1x的图像，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题(对应学生用书第 16 页)基础知识填充1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数的图像与性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图像定义域R R值域4acb24a，4acb24a单调性在，b2a上减，在b2a，上增在，b2a上增，在b2a，上减对称性函数的图像关于xb2a对称2.幂函数(1)定义：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量，即yx，这样的函数称为幂函数(2)五种常见幂函数的图像与性质yxyx2yx3yx12yx1函数特征性质图像定义域R RR RR Rx|x0 x|x0值域R Ry|y0R Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(， 0)减，(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)知识拓展若f(x)ax2bxc(a0)，则当a0，0时，恒有f(x)0；当a0，0时，恒有f(x)0.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)二次函数yax2bxc，xR R 不可能是偶函数()(2)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是4acb24a.()(3)幂函数的图像一定经过点(1,1)和点(0,0)()(4)当n0 时，幂函数yxn在(0，)上是增函数()答案(1)(2)(3)(4)2yx2，y12x，y4x2，yx51，y(x1)2，yx，yax(a1)，上述函数是幂函数的有()A0 个B1 个C2 个D3 个C C只有yx2，yx是幂函数，故选 C.3已知函数f(x)ax2x5 的图像在x轴上方，则a的取值范围是()A.0，120B.，120C.120，D.120，0C C由题意知a0，0，即a0，120a0，得a120.4若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_.4f(x)x2(a4)x4a，由f(x)是偶函数知a40，所以a4.5(教材改编)已知幂函数yf(x)的图像过点2，22 ，则此函数的解析式为_；在区间_上递减yx12(0，)设f(x)x，则 222，所以12，即幂函数的解析式为yx12，单调减区间为(0，)(对应学生用书第 17 页)幂函数的图像与性质(1)幂函数yf(x)的图像过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图像是()(2)(20 xx全国卷)已知a243，b323，c2513，则()AbacBabcCbcaDcab(1 1)C C(2 2)A A(1)令f(x)x，由 42，12，f(x)x12.故选 C.(2)a243423，b323，c2513523.yx23在第一象限内为增函数，又 543，cab.规律方法(1)幂函数的形式是yx(R R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)若幂函数yx(R R)是偶函数，则必为偶数.当是分数时，一般先将其化为根式，再判断.(3)若幂函数yx在(0，)上单调递增，则0，若在(0，)上单调递减，则0.)跟踪训练(1)已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ Z)在(0，)上是减函数，则n的值为()A3B1C2D1 或 2(2)若(a1)12(32a)12，则实数a的取值范围是_(1 1)B B(2 2)1，23(1)由于f(x)为幂函数， 所以n22n21， 解得n1 或n3.当n1 时，f(x)x21x2在(0，)上是减函数；当n3 时，f(x)x18在(0，)上是增函数故n1 符合题意，应选 B.(2)易知函数yx12的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以a10，32a0，a132a，解得1a23.求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式.【导学号：79140037】解法一(利用一般式)：设f(x)ax2bxc(a0)由题意得4a2bc1，abc1，4acb24a8，解得a4，b4，c7.所求二次函数为f(x)4x24x7.法二(利用顶点式)：设f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线的图像的对称轴为x2(1)212.m12.又根据题意函数有最大值 8，n8.yf(x)ax1228.f(2)1，a212281，解得a4，f(x)4x12284x24x7.法三(利用零点式)：由已知f(x)10 的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数的最大值是 8，即4a(2a1)(a)24a8，解得a4，所求函数的解析式为f(x)4x24x7.规律方法用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下：跟踪训练已知二次函数f(x)的图像经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为 2，并且对任意xR R，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式解f(2x)f(2x)对xR R 恒成立，f(x)的对称轴为x2.又f(x)的图像被x轴截得的线段长为 2，f(x)0 的两根为 1 和 3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的图像过点(4,3)，3a3，a1.所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.二次函数的图像与性质角度 1二次函数图像的识别及应用设abc0，则二次函数f(x)ax2bxc的图像可能是()D D由 A，C，D 知，f(0)c0.abc0，ab0，对称轴xb2a0，知 A，C 错误，D 符合要求由 B 知f(0)c0，ab0，xb2a0，B 错误角度 2二次函数的最值问题(20 xx广州十六中月考)若函数f(x)x22x1 在区间a，a2上的最小值为4，则a的取值集合为()A3,3B1,3C3,3D1，3,3C Cf(x)x22x1(x1)2，图像的对称轴是x1.因为f(x)在区间a，a2上的最小值为 4，所以当 1a时，yminf(a)(a1)24，解得a1(舍去)或a3；当a21，即a1 时，yminf(a2)(a1)24，解得a1(舍去)或a3；当a1a2，即1a1 时，yminf(1)04，不符合题意，故a的取值集合为3,3角度 3二次函数中的恒成立问题已知函数f(x)x2bxc(b，cR R)，对任意的xR R，恒有f(x)f(x)(1)证明：当x0 时，f(x)(xc)2；(2)若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)f(b)M(c2b2)恒成立，求M的最小值解(1)证明：易知f(x)2xb.由题设，对任意的xR,R,2xbx2bxc，即x2(b2)xcb0 恒成立，所以(b2)24(cb)0，从而cb241.于是c1，且c2b241|b|，当且仅当b2 时等号成立因此 2cbc(cb)0.当x0 时，有(xc)2f(x)(2cb)xc(c1)0.故当x0 时，f(x)(xc)2.(2)由(1)知，c|b|，则当c|b|时，有Mf(c)f(b)c2b2c2b2bcb2c2b2c2bbc.令tbc，则1t1，c2bbc211t.而函数g(t)211t(1t1)的值域为，32 ，因此，当c|b|时，M的取值范围为32，.当c|b|时，由(1)知，b2，c2.此时f(c)f(b)8 或 0，且c2b20，从而f(c)f(b)M(c2b2)恒成立综上所述，M的最小值为32.规律方法1.二次函数的最值问题的类型及求解方法1类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动.2求解方法：抓住“三点一轴”进行数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，具体方法是利用配方法、函数的单调性及分类讨论的思想求解.2.二次函数中恒成立问题的求解思路由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是afxafxmax，afxafxmin.跟踪训练(1)已知函数f(x)ax22x2，若对一切x12，2，f(x)0 都成立，则实数a的取值范围为()【导学号：79140038】A12，B12，C4，)D(4，)(2)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0 成立，则实数m的取值范围是_(1 1)B B(2 2)2 22 2，0 0(1)因为对一切x12，2，f(x)0 都成立，所以当x12，2时，a2x2x22x22x21x12212，又21x1221212，则实数a的取值范围为12，.(2)因为函数f(x)x2mx1 的图像是开口向上的抛物线，要使对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有f(m)0，f(m1)0，即m2m210，(m1)2m(m1)10，解得22m0.所以实数m的取值范围是22，0.
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