考研高数第四、五、六章总结

元函数积分学(一)不定积分1原函数的存在性泄dxj 丄 dx,e*dx 等。 Hj II.xxIn x被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。设f(x)在区间I连续，则f(x)在区间I上原函数一定存在，但 初等函数的原函数 不一定是初等函数 eg : sin(x2)dx, cos(x2 )dx, sinxdx,2、基本积分公式xx aC(a 0,a = 1)In aU书1xudx = C(u 一 ： -1,实常数);dx = In | x | C; adx = arcs inC(a 0);a - xa11a x2dx InH a - x 2aa - xdx 二 u +1、xsec2 xdx 二1 cos xFor pers onal use only in study and research; not for commercial use2dx = tan x C; csc xdx =12 dx - - cot x C sin xtanxsecxdx 二 secx C; cotxcscxdx 二-cscx C;tanxdx 二 -In | cosx | C; cotxdx = In | sin x | C;secxdx = In | secx tan x | C; cscxdx = In | cscx - cotx | Cfy22补充公式:| C(a 0); I 一1一 dx = In |xx2 _a | C(a 0)Jx2 土 a211丄x2 arctan C(a 0);a x a a要求：会推导，会背！ !I3、换元积分法和分部积分法(1)第一类换元积分法(凑微分法-整体代换-复合函数求导数的逆运算)设f (u)dF(u) C，又(x)可导，则把x的一个函数看成一个新 变量).f (x) (x)dx = . f (x)d (x)令 u V：(x). f (u)du =F(u) C = F ：(x) C要求积分公式能够倒背如流，可以顺利的凑出中间变量！ 常用的几种凑微分形式：见练习本1f (axn b)xn4dxf (axnb)d(axn b)(a = 0, n = 0)na1f (arcta n_)11二- f (arctan-)d(arctan-) 1 xxxln( x， 2 亠 2 ) ; :x 2 adx = J f In( x + 可x2 a2 )d(In( x +、；x2 士 a2 )(a 0) x上af (x) 帀取小|f(x)| C(f(x)第二类换元积分法(把X看成一个新变量函数)设x = (t)单调、可导，且(t) = 0,若 f- (t)- (t)dt 二 G(t) C, 则 f(x)dx令x (t) f- (t)- (t)dt 二 G(t) C 二 G-(x) C 其中t= A(x)为x=(t)的反函数。注意：第二类换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过换元把根式去掉。 常见的变量替换分为两大类：+ b第一类：被积函数是 x与ax + b或x与寸 或由ex构成的代数式的根式,V ex +d例如aex b等。只要令根式n g(x) =t，解出x= (t)已经不再有根式，那么就作这种 变量替换x (t)即可。被积函数含有.Ax2 Bx C(A0),如果仍令 Ax2 Bx C = t解出第二类：x(t)仍是根号，那么这样变 量替换不行，要作特殊 处理，将A .0时 先化为. A(x x。)2 _I2,A ：0时，先化为.(-A)l -(x-x。)2然后再作 三角替换。(三角替换见练习本)注意：如果既能用上述第二类换元积分法，又可以用第一类换元积分法，那么一般用 第一类换元积分法比较简单。(3)分部积分法(两个函数相乘的求导数的逆运算)分部积分法的目的：化难为易。设u(x)v(x)均有连续的导数，贝yu(x)v (x)dx 二 u(x)dv(x) =u(x)v(x)- v(x)du(x)二u(x)v(x) - . v(x)u (x)dx使用分部积分法时被积 函数中谁看作u(x)谁看作v (x) 有一定规律。丄宀(1)Pn(x)eax,Pn(x)sin ax, Pn(x) cosax情形,Pn(x)为n次多项式，a为常数，要规律：进行n次分部积分法，每次均 取eax,sinax,cosax为v(x);多项式部分为u(x)。(2) Pn x lnx,Pn x arcsinx,巳 x arctanx情形，Pn x 为n次多项式取 Pn x 为v (x), 而In x,arcsinx,arctanx为u(x)，用分部积分法一次，被积函数的形式发生变 化, 再考虑其它方法。eaxsirbx,eaxcobx情形，进行二次分部积 分法后要移项，合并。(4)比较复杂的被积函数使用分部积分法，要用凑微分法， 使尽量多的因子dx和凑成dv(x)例题：1、直接积分法所谓直接积分法就是用代数或三角恒等式，并用积分的性质和基本积分公式能直接求出不定积分，它要求初等数学有关公式很熟练。三角函数中的倍角公式 cos2x 二 cos -In x i、 dx) xsin2 x = 12sin2 x = 2coS x-1在不定积分的计算中常可起到简化计算的作用。然后再用基本积分公式积分。 加项减项法、积化差(因式分解再裂项)、三角函数中平方关系的巧妙应用。2、第一类换元积分法n n.ndx(n 1, n e N )=x(x 1)+, 1 + X X ,|x | 丄cEg1、n dx = In | Cx x 1n xn 1Eg2、6x2 -26x2632dxx -6x 11x -6根据分子建立方程，令6x2 -26x 26A Bdx = J+(x -1)(x -2)(x -3)x -1 x -2x =1= A =3;令 x = 2= B =2;令 x =3二 C =1;Cx-3dx原式=1 n |(x-1)3(x-2)2(x-3) | CEg3、(1 ex)2ex 1 - edx=芳 dx=(1+ex)2M + edx-= d(1 1 ex先化简，再凑微分。x 1 1x 一厂齐d(1 e，xn(1 + C1 ex1 -ln x , dxd(1 虫)x2Eg4、(x 咖(1 .虫)2x1 C 一 x c In xx In x2 cos x eg5: sin x2sin x(cos xsinx)esin x、cosx(1 cosxe )血=co；xesinx(1 co；xesinx)dxsin x、d (cosxe )sin xcosxesin x 2sin x、 (cosxe )=(cosx-sinx)e duu(1 u)二丄一丄du = I n| 丄 | C=l n| cosxen u “s阪 | + C1 cosxe注：被积函数中最复杂的因子，可能就是中间变量,d()=()凑微分，这种方法常用。c dxeg6:1x2ex1斗1、厂d() = ex ex把分母的指数函数挪到分子上变成负指数。性质sin xEg7：1 sinxd cosx2cos x, si nx(1_si nx) , dxdx =(1+s in x)(1-si nx)d cosxsecx-tanx x Ccos xsin x2 cos.2.sin Xjdx2 dxx cos x注：两个根号相加减的因子，乘以另外一个因子，构成平方差,化简常用。2Eg8、(dxp*(x-1)2(x-1)1dx100(X-1)3、第二类换元积分法Eg1：a x ,dx2 2-xdx(a 0)= Va2厶.x1 d(a -x )=a arcsina2 adx=a I 22a2 - x2xdxa2 _ x2x 22a arcsin a - x C -x2a令x =acos2t则原式=1 cos2t(_2asin 2t)dt =-2a J - cos2tcost2sin t costdt sin t解法二、-2a (1 cos2t)dt二-a(2t sin 2t) C = -a arccos- -ax2 C a(注:a arcsin x arccosx aa.x 二 a arcsina兀xarccos2a4、分部积分法ax e sin(有时还用了换元积分法)a 式 01axbx( ) sin bxdeb = 0 a11e sin bx - aaeaxd sinbx1 axbax1 axbaxe sinbx e cosbxdx e sinbx 2 cosbxde aaaaEg1:e sinbx e cosbx 2 e sinbxdx找关系式aaa L(1 禺)eax sin bxdx = 1 eax sin bx - 2 eax cosbx Ca Laaaxeax sinbxdx =22(asin bx-bcosbx) Ca +b(二)定积分和反常积分的概念与计算方法1定积分的几何意义曲边梯形面积的代数和。2、定积分的性质ab(1) b f(X)dX a f(X)dXa(2) a f (x)dx =0bbb(3) k1 t(x) +k2 f2(x)dx =k订 f1(x)dx 秋2 f2(x)dxbcb(4) f(x)dx = j f (x)dx 亠 i f (x)dx(c也可以在a,b之外)aLaC(5) 如果在区间a,b上f (x)三 1,则 fldx= fdx = b-a“a abb(6) 设b, f (x) g(x)(i x b),贝U f(x)dxg(x)dx;LaL abb设a : b,则| f(x)dx|乞| f (x) |d(绝对可积一常用)aLa(7) 设a ： b, m 込 f (x)辽 M (a 辽 x 辽 b),贝Um(ba)空f (x)dx込M (b-a)二 积分估值定理a设f(x)在a,b上连续，则至少存在一 个点 a,b,使bf (x)dx = f ( )(b - a)二定积分中值定理a1 b定义：我们称f(x)dx为f (x)在a,b上的积分平均值b _a a(9) 奇偶函数的积分性质a.f (x)dx =0(f为连续、奇函数)aaaqf(x)dx=2 o f (x)dx(f为连续、偶函数)(10) 周期函数的积分性质a+iTT设f(x)以T为周期的连续函数，a为常数，则.f(x)dx = n. f(x)dxa03、变上限积分的函数x定义：设f(x)在a,b上可积，贝X：(x)f(t)dt,x a,b称为变上限积分的函数ax(1) 若f(x)在a,b上可积，贝U ：J(x)f(t)dt,x在a,b上连续a定理：x(2) 若f (x)在a,b上连续，贝U ：(x)二.f (t)dt在f(x)上可导，且(x)二 f (x)a推广形式：: 2( X)设 F(X)=1(x)f(t)dt,1(X)2(X)可导，f(x)连续，则F(X)二 f2(x) ：2(x) - f1(x)1(x)4、牛顿-莱布尼茨公式设f (x)在a,b上可积，F (x)为f (x)在a, b上任意一个原函数，bb则有f(x)dx=F(x) |a = F(b)F(a)(注：若f(x)在a,b上连续，可以很容易地 用上面变上限积分的方 法来证明； 若f (x)在a,b上可积，牛顿-莱布尼茨公式仍成立，但证明方法就很复杂)5、 定积分的换兀积分法和分部积分法：式子和上下限都变！ ！6、反常积分(1 )无穷区间上的反常积分:bbb1定义： f (x)dx lim f(x)dx和 f (x)dx lim f (x)dxab)：】aa .：a反常积分不能向定积分那样把一个区间去分割，取点，求和，取极限；而是把反常积分定义为定积分取极限状态这么考虑， 所以有极限存在(收敛，有值得概念)或不存在(发散, 没有值的概念)两大类。:c: ：cbf(x)dx f(x)dx亠 I f(x)dx lim f(x)dx limf(x)dxca j：. ab c:Rc判断f (x)dx的收敛性不能用lim f (x)dx的极限存在性，必须要 求 f (x)dxR )- - R和f(x)dx两个反常积分都收敛，才能知道f (x)dx是收敛的。但如果已经知道cf (x)dx是收敛的，而求它的值230R，那么计算limf(x)dx是可以的R )： -2常用公式:-：dxp xp1收敛P -1:p- 1 发散咼 dx! x(l nx)p:duup1p -1p 1收敛p - 1发散 - 0,收敛，空0,发散,(k -0)(2)无界函数的反常积分(瑕积分)1设在f (x)在a,b上除点c(a : c :： b)外连续，且lim f(x)=:，则称点c为f (x)的瑕点XTbcbtb定义 f (x)dx f(x)dx亠 I f(x)dx=lim f (x)dx lim f (x)dxaactTcat十丫b(注:若上面两个极限都存在 时才称反常积分.f(x)dx是收敛的，ab否则反常积分(f(x)dx发散)。常用公式:idx 收敛(q : 1 时).0 xq 发散(q _1时).类似考虑1亠匚和乜0（x_1）q -1 xq最后指出：由于反常积分是变限积分的极限, 法则就可以得到反常积分运算法则。例题：1、用常规方法计算定积分因此原则上由定积分的运算法则和极限的运算arcsin_x dx(收敛的反常积分).x(1 - x)Eg1:令 arcs in仮=t, dt = , 1J1 xdx2、xjr兀于是，原式=2 f2 tdt = t $ | 2 =00dx（b - a）（收敛的反常积分）解：令 x = a c o St bs i n t,0 乞 t J ,则原式二 2 (b a) S i r2t dt = :2“(bajcoSsin2 - Eg3 ： u sin 2xdx(分段函数)2 応 I2解：原式 =0(sin x -cosx)2dx 二 o |sin x- cosx |dx = 2 |sinx - cosx | dx丑兀r=2 (cosx - sinx)dx- (sin x - cosx)dx = 4 24(三)定积分的应用1平面图形的面积2、平面曲线的弧长3、特殊的空间图形的体积(一般体积要用二重积分)(1 )已知平行截面面积的立体体积dV S(z)d 乙(cEzEd)(2 )绕坐标轴旋转的旋转体的体积平面图形由曲线 y = y(x)_O与直线x = a, x=b和x轴围成绕x轴旋转一周的b 2b体积为Vx -y2(x)dx ；绕y轴旋转一周的体积为 Vy =2二xy(x)dx竹a平面图形由曲线 y二y(x) _ 0与直线y二c, y二d和y轴围成绕y轴 旋转一周的d 2d体积为Vy =兀x (y) dy ；绕x轴旋转一周的体积为 Vx = 2兀 yx(y)dy4、绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积设平面曲线C-AB位于x轴上方，它绕x轴一周所得旋转曲面的 面积为S.Cb|(1) 设 AB 的方程为 y 二 y(x)(a 乞 x b),则 S = 2二 y(x). 1 y (x)2dx_acR,(2) 设 AB 的极坐标方程为 r 二r(,(： _二_ ：)则 S = 2 二 _r(sir(R2 r G)2drcp i(3) 设 AB的参数方程为 x = x(t),y 二 y(t),(：r t 空：)S = 2二 y(t). x (t)2 y (t)2d=仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to员bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymoiflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMucno 员 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxqe 员 ex.以下无正文