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1 1 考 点考 情平面向量的概念及线性运算1.对平面向量的概念及线性运算主要考查线性运算法则及其几何意义以及两个向量共线的条件，或以向量为载体求参数的值，如辽宁T3等2.对平面向量的基本定理及坐标运算的考查主要侧重以下两点：(1)以平面向量的基本定理为基石，利用一组基底表示相关向量；(2)利用坐标运算解决平行、垂直问题，如山东T15等3.数量积的运算是每年必考的内容，主要涉及：(1)向量数量积的运算；(2)求向量的模；(3)求向量的夹角，如浙江T17等.平面向量基本定理及坐标表示平面向量的数量积平面向量的应用1(20xx辽宁高考)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A.B.C. D.解析：选A由已知，得(3，4)，所以|5，因此与同方向的单位向量是.2(20xx湖北高考)已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A. B.C D解析：选A(2,1)，(5,5)，向量(2,1)在(5,5)上的投影为|cos，|.3(20xx浙江高考)设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于_解析：因为2，当且仅当时取得等号，故的最大值为2.答案：24(20xx山东高考)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若 ，且，则实数的值为_解析：，由于，所以0，即()()(1)94(1)320，解得.答案：5(20xx江苏高考)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12 (1，2为实数)，则12的值为_解析：()，所以1，2，即12.答案：1平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底2两个非零向量平行、垂直的充要条件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：(1)abab(0)x1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.3平面向量的三个性质(1)若a(x，y)，则|a| .(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .热点一平面向量的概念及线性运算例1(1)(20xx广东高考)设a是已知的平面向量且a0.关于向量a的分解，有如下四个命题：给定向量b，总存在向量c，使abc；给定向量b和c，总存在实数和，使abc；给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc；给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A1B2C3D4(2)(20xx合肥模拟)在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若，则_.自主解答(1)显然正确；对于，当|a|sina，b时，不存在符合题意的单位向量c和实数，错；对于，当1，|a|2时，易知错(2)依题意得，；又，于是有；又与不共线，因此有由此解得，2，所以.答案(1)B(2)平面向量的线性运算应注意三点(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(3) (，为实数)，若A、B、C三点共线，则1.1在矩形ABCD中，AB1，AD，P为矩形内一点，且AP.若 (，R)，则的最大值为()A. B.C. D.解析：选B据已知|2()22232，整理变形可得()22，由均值不等式，可得()222，解得.2在ABC中，A60，A的平分线AD交边BC于D，已知AB3，且 (R)，则AD的长为()A1 B. C2D3解析：选C如图所示，因为B，D，C三点共线，所以1，即.在AB上取一点E使，在AC上取一点F使，由，可知四边形AEDF为平行四边形，又BADCAD30，所以AEDF为菱形因为，AB3，所以菱形的边长为2.在ADF中，所以ADsin 1202.热点二平面向量的数量积例2(1)(20xx济南模拟)ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3450，则的值为()A B. C D.(2)(20xx重庆高考)在平面上，|1，.若|，则|的取值范围是()A. B.C. D. (3)(20xx浙江高考)设ABC，P0是边AB上一定点，满足P0BAB，且对于边AB上任一点P，恒有，则()AABC90 BBAC90CABAC DACBC自主解答(1)由已知得435|4|2(35)2，即163430，解得；同理345，两边平方得，因此().(2)12，12(1)(2)121220，12122.12，12，12.|1|2|1，21122(1212)222(2)22.|，0|2|，022，22，即|.(3)设AB4，以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(2,0)又P0是边AB上一定点，P0BAB，所以P0(1,0)设C(a，b)，P(x,0)，(2x,0)，(ax，b)(1,0)，(a1，b)恒成立(2x)(ax)a1恒成立，即x2(2a)xa10恒成立(2a)24(a1)a20恒成立a0.即点C在线段AB的中垂线上，ACBC.答案(1)A(2)D(3)D在本例(1)中，若0，则BAC的大小是多少？解：由已知可得，由向量加法的平行四边形法则可知，四边形OACB是四条边均为外接圆半径R的平行四边形，故OAC为等边三角形，OAC2BAC60，所以BAC30. 解决数量积运算应注意三点(1)ab0未必有a0或b0.(2)|ab|a|b|.(3)a(bc)与(ab)c不一定相等3.如图所示，P为AOB所在平面内一点，向量a，b，且P在线段AB的垂直平分线上，向量c.若|a|3，|b|2，则c(ab)的值为()A5 B3C. D.解析：选C设AB中点为D，c，所以c(ab)()(ab)(ab)(|a|2|b|2).4设G为ABC的重心，若ABC所在平面内一点P满足220，则的值等于_解析：取BC的中点D，由已知220得2()4，说明P，A，D三点共线，即点P在BC边中线的延长线上，且|4|.如图所示，故|，|，因此2.答案：25向量a，b，c，d满足：|a|1，|b|，b在a方向上的投影为，(ac)(bc)0，|dc|1，则|d|的最大值为_解析：由投影公式可得ba，|ba|2|a|2|b|22ab4，|ba|2.由(ac)(bc)abc(ab)c20，整理得|c|2|c|ab|cos 2|c|(c，ab)，解不等式|c|22|c|0，得|c|1，即|c|的最大值为1.又|dc|1，即d终点的轨迹是以c的终点为圆心、1为半径的圆，故|d|的最大值为|c|max12.答案：2热点三平面向量的综合应用例3(1)(20xx安徽高考)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|2，则点集P|，|1，R所表示的区域的面积是()A2 B2C4 D4(2)已知点R(3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M(x，y)在直线PQ上，且230，0，则4x2y3的最小值为()A4 B3C3 D4自主解答(1)由|2，可得AOB，又A，B是两定点，可设A(，1)，B(0,2)，P(x，y)，由，可得因为|1，所以1，当，时，由可行域可得S02，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S4S04.(2)由230，得P，Q.由0，得0，即y24x，所以4x2y3y22y3(y1)24，因此，当y1时，4x2y3取得最小值，最小值为4.答案(1)D(2)A两类平面向量综合问题的解决方法(1)用向量解决平面几何问题，主要是通过建立平面直角坐标系将问题坐标化，然后利用平面向量的坐标运算求解有关问题(2)在平面向量与平面解析几何的综合问题中，应先根据平面向量知识把向量表述的解析几何问题的几何意义弄明白，再根据这个几何意义用代数的方法研究解决6对任意两个非零的平面向量和，定义.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角，且ab和ba都在集合中，则ab()A. B.C1D.解析：选D根据新定义，得abcos ，bacos .又因为ab和ba都在集合中，设ab，ba(n1，n2Z)，那么(ab)(ba)cos2，又，所以0n1n22，所以n1，n2的值均为1，故ab.7关于实数x的方程ax2bxc0，其中a，b，c都是非零平面向量，且a，b不共线，则该方程的解的情况是()A至多有一个解B至少有一个解C至多有两个解D可能有无数个解解析：选A由已知，关于x的方程ax2bxc0(其中a，b，c都是非零平面向量)可化为cx2axb，因为a，b不共线且为非零平面向量，由平面向量基本定理，可知存在唯一实数对(m，n)，使得cmanb，所以即，整理得mn2.显然，当n0且mn2时，方程组有唯一一组解，即原方程有一个解；当n0或mn2时，方程组无解，即原方程无解综上，该方程至多有一个解.
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