新编高考数学复习 课时规范练36　空间点、直线、平面之间的位置关系

课时规范练36空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.如图,=l,A,B,C,且Cl,直线ABl=M,过A,B,C三点的平面记作,则与的交线必通过() A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M答案:D解析:AB,MAB,M.又=l,Ml,M.来源:根据公理3可知,M在与的交线上.来源:同理可知,点C也在与的交线上.2.已知a,b,c,d是空间四条直线,如果ac,bc,ad,bd,那么()A.ab且cdB.a,b,c,d中任意两条可能都不平行C.ab或cdD.a,b,c,d中至多有一对直线互相平行答案:C解析:若a与b不平行,则存在平面,使得a且b,由ac,bc,知c,同理d,所以cd.若ab,则c与d可能平行,也可能不平行.结合各选项知选C.3.若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:如果四个点中有三点在同一直线上,则一定有这四个点在同一个平面上;反之则不成立.例如平行四边形的四个顶点.4.给出命题:(1)在空间内,垂直于同一平面的两个平面平行;(2)设l,m是不同的直线,是一个平面,若l,lm,则m;(3)已知,表示两个不同的平面,m为平面内的一条直线,则“”是“m”的充要条件;(4)a,b是两条异面直线,P为空间内一点,过P总可以作一个平面与a,b之一垂直,与另一个平行.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案:B解析:(1)中有可能互相垂直;(2)正确;(3),m不一定有m.而m则一定成立,故“”是“m”的必要不充分条件;(4)只有两异面直线互相垂直时,才能有这样的平面.5.已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是()来源:A.若,=m,nm,则n或nB.若m不垂直于,则m不可能垂直于内的无数条直线C.若=m,nm,且n,n,则n且nD.若,mn,n,则m答案:C解析:nm,m,n,n,同理有n,故C正确.6.已知直线l平面,P,那么过点P且平行于直线l的直线()A.只有一条,不在平面内B.只有一条,且在平面内C.有无数条,不一定在平面内D.有无数条,一定在平面内答案:B解析:由直线l与点P可确定一个平面,则平面,有公共点,因此它们有一条公共直线,设该公共直线为m,因为l,所以lm,故过点P且平行于直线l的直线只有一条,且在平面内,选B.7.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的是() A.ACBEB.EF平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.AEF的面积与BEF的面积相等答案:D解析:由AC平面DBB1D1,可知ACBE,故A正确.由EFBD,EF平面ABCD,知EF平面ABCD,故B正确.A到平面BEF的距离即A到平面DBB1D1的距离为,且SBEF=BB1EF=定值,故VA-BEF为定值,即C正确.二、填空题8.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,将ABD沿对角线BD折起到ABD的位置,使点A在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上,则异面直线AB与CD所成角的大小为.答案:90解析:如题图所示,由AO平面ABCD,可得平面ABC平面ABCD,又由DCBC可得DC平面ABC,故DCAB,即得异面直线AB与CD所成的角的大小为90.9.已知a,b为不垂直的异面直线,是一个平面,则a,b在上的射影可能是:两条平行直线;两条互相垂直的直线;同一条直线;一条直线及其外一点.则在上面的结论中,正确结论的编号是(写出所有正确结论的编号).来源:答案:10.如图所示,在三棱锥C-ABD中,E,F分别是AC和BD的中点,若CD=2AB=4,EFAB,则EF与CD所成的角是.答案:30解析:取CB的中点G,连接EG,FG, 来源:EGAB,FGCD,EF与CD所成的角为EFG.又EFAB,EFEG.在RtEFG中,EG=AB=1,FG=CD=2,sinEFG=,EFG=30,EF与CD所成的角为30.11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱C1D1,C1C的中点.给出以下四个结论:直线AM与直线C1C相交;直线AM与直线BN平行;直线AM与直线DD1异面;直线BN与直线MB1异面.其中正确结论的序号为.(注:把你认为正确的结论序号都填上)答案:解析:AM与C1C异面,故错;AM与BN异面,故错;,正确.12.设,为两个不重合的平面,m,n是两条不重合的直线,给出下列四个命题:若mn,m,则n;若n,m,与相交但不垂直,则n与m不垂直;若,=m,nm,则n;若mn,n,则m.其中真命题的序号是.答案:解析:若mn,m,则n或n,是假命题;中n与m可以垂直,假命题;中n,或n,或n与相交,假命题.三、解答题13.如图,平面ABEF平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,BAD=FAB=90,BCAD且BC=AD,BEAF且BE=AF,G,H分别为FA,FD的中点. (1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?(1)证明:G,H分别为FA,FD的中点,GH􀰿AD.又BC􀰿AD,GH􀰿BC.四边形BCHG为平行四边形.(2)解:BEAF,BCAD,BCBE=B,平面BCE平面AFD,EC平面AFD.DF平面AFD,ECDF.C,D,E,F四点共面.14.如图所示,等腰直角三角形ABC中,A=90,BC=,DAAC,DAAB,若DA=1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.解:取AC的中点F,连接EF,BF, 在ACD中,E,F分别是AD,AC的中点,EFCD.BEF即为异面直线BE与CD所成的角或其补角.在RtEAB中,AB=AC=1,AE=AD=,BE=.在RtEAF中,AF=AC=,AE=,EF=.在RtBAF中,AB=1,AF=,BF=.在等腰三角形EBF中,cosFEB=,异面直线BE与CD所成角的余弦值为.15.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,DB的中点.(1)求证:EF平面ABC1D1;(2)求证:CFB1E;(3)求三棱锥B1-EFC的体积.(1)证明:如图,连接BD1,在DD1B中,E,F分别为D1D,DB的中点,EF为DD1B的中位线,EFD1B.而D1B平面ABC1D1,EF平面ABC1D1,EF平面ABC1D1.(2)证明:在等腰直角三角形BCD中,F为BD的中点,CFBD.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1平面ABCD,CF平面ABCD,DD1CF.综合,且DD1BD=D,DD1,BD平面BDD1B1,CF平面BDD1B1.而B1E平面BDD1B1,CFB1E.(3)解:连接B1D1,由(2)可知CF平面BDD1B1,CF平面EFB1,即CF为高,CF=BF=.EF=BD1=,B1F=,B1E=3,EF2+B1F2=B1E2,即EFB1=90,EFB1F=,CF=1.四、选做题1.正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点.那么,正方体的过P,Q,R的截面图形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形答案:D2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有条.答案:无数解析:在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面,因CD与平面不平行,所以它们相交,设CD=Q,连接PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直线与A1D1,EF,CD都相交.3.已知棱长为8的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别为AB,A1D1,BB1的中点. (1)画出过M,N,P三点的平面与平面ABCD的交线以及与平面BB1CC1的交线;(2)设过M,N,P三点的平面与B1C1交于Q,求PQ的长.解:(1)设M,N,P三点确定的平面为, 则与平面AB1交于MP.设MPA1B1=R,则RN是与平面A1B1C1D1的交线.设RNB1C1=Q,则PQ是与平面BB1C1C的交线,如图所示.(2)正方体的棱长为8 cm,B1R=BM=4 cm.在RA1N中,B1Q=4=(cm).在RtPB1Q中,PB1=4 cm,B1Q= cm,PQ=(cm).故所求PQ的长为 cm.