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1 1第七节正弦定理和余弦定理A组基础题组1.(20xx兰州实战考试)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b2=ac,c=2a,则cosC=()A.24B.-24C.34D.-342.在ABC中,若a=18,b=24,A=45,则此三角形有()A.无解B.两解C.一解D.解的个数不确定3.(20xx河北武邑中学期中)ABC中,c=3,b=1,B=蟺6,则ABC的形状为()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形4.(20xx课标全国,8,5分)在ABC中,B=蟺4,BC边上的高等于13BC,则cosA=()A.31010B.1010C.-1010D.-310105.已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,且(b-c)(sinB+sinC)=(a-3c)sinA,则角B的大小为()A.30B.45C.60D.1206.在ABC中,A=2蟺3,a=3c,则bc=.7.(20xx天津,12,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=14a,2sinB=3sinC,则cosA的值为.8.(20xx福建,12,4分)若锐角ABC的面积为103,且AB=5,AC=8,则BC等于.9.(20xx武汉高三测试)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+1a=4cosC,b=1.(1)若A=90,求ABC的面积;(2)若ABC的面积为32,求a,c.10.(20xx浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若ABC的面积S=a24,求角A的大小.B组提升题组11.(20xx山东菏泽期中)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC的面积为S,若acosB+bcosA=csinC,S=14(b2+c2-a2),则B=()A.90B.60C.45D.3012.已知锐角A是ABC的一个内角,a,b,c是角A、B、C的对边,若sin2A-cos2A=12,则下列各式正确的是()A.b+c=2aB.b+c1,则ABC一定是钝角三角形;若sin2A+sin2B=sin2C,则ABC一定是直角三角形;若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则ABC一定是等边三角形.以上命题中正确命题的序号为.15.如图所示,在四边形ABCD中,D=2B,且AD=1,CD=3,cosB=33.(1)求ACD的面积;(2)若BC=23,求AB的长.16.(20xx东北育才五模)已知ABC是斜三角形,内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c.若csinA=3acosC.(1)求角C;(2)若c=21,且sinC+sin(B-A)=5sin2A,求ABC的面积.答案全解全析A组基础题组1.B由题意得,b2=ac=2a2,b=2a,cosC=a2+b2-c22ab=-24,故选B.2.BasinA=bsinB,sinB=basinA=2418sin45,sinB=223.又ab,B为三角形ABC的内角,45B180,B有两个值,即此三角形有两解.3.D根据余弦定理有1=a2+3-3a,解得a=1或a=2,当a=1时,三角形ABC为等腰三角形,当a=2时,三角形ABC为直角三角形,故选D.4.C解法一:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=13BC,则CD=23BC,AB=23BC,AC=53BC,在ABC中,由余弦定理的推论可知,cosBAC=-1010,故选C.解法二:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=13BC,则CD=23BC,在RtADC中,AC=53BC,sinDAC=255,cosDAC=55,又因为B=蟺4,所以cosBAC=cos=cosDACcos蟺4-sinDACsin蟺4=5522-25522=-1010,故选C.5.A由asinA=bsinB=csinC及(b-c)(sinB+sinC)=(a-3c)sinA得(b-c)(b+c)=(a-3c)a,即b2-c2=a2-3ac,所以a2+c2-b2=3ac,又因为cosB=a2+c2-b22ac,所以cosB=32,所以B=30.6.答案1解析在ABC中,A=2蟺3,a2=b2+c2-2bccos2蟺3,即a2=b2+c2+bc.a=3c,3c2=b2+c2+bc,b2+bc-2c2=0,(b+2c)(b-c)=0,b-c=0,b=c,bc=1.7.答案-14解析由2sinB=3sinC得2b=3c,即b=32c,代入b-c=14a,整理得a=2c,故cosA=b2+c2-a22bc=-14.8.答案7解析设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及12bcsinA=103得sinA=32,因为A为锐角,所以A=60,cosA=12.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=25+64-24012=49,故a=7,即BC=7.9.解析(1)b=1,a+1a=4cosC=4a2+b2-c22ab=2(a2+1-c2)a,2c2=a2+1.又A=90,a2=b2+c2=c2+1,2c2=a2+1=c2+2,c=2,SABC=12bcsinA=12bc=1212=22.(2)SABC=12absinC=12asinC=32,sinC=3a,a+1a=4cosC,sinC=3a,14a+1a2+3a2=1,化简得(a2-7)2=0,a=7,则cosC=27,利用余弦定理可得c=2.10.解析(1)证明:由正弦定理及已知条件得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)由S=a24得12absinC=a24,故有sinBsinC=12sin2B=sinBcosB,因sinB0,故sinC=cosB.又B,C(0,),所以C=蟺2B.当B+C=蟺2时,A=蟺2;当C-B=蟺2时,A=蟺4.综上,A=蟺2或A=蟺4.B组提升题组11.C由acosB+bcosA=csinC及正弦定理得2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin2C(R为ABC外接圆的半径),即sin(A+B)=sin2C,sinC=sin2C,又sinC0,sinC=1,又C(0,),C=蟺2,c2=b2+a2,S=12ab,又S=14(b2+c2-a2),a=b,B=45,故选C.12.Csin2A-cos2A=12,cos2A=-12.0A蟺2,02A1,且A,B为三角形内角,所以tanA0,tanB0,所以A,B均为锐角,又因为tan(A+B)=-tanC=0,所以C为锐角,所以ABC不是钝角三角形,错.由正弦定理及条件,得a2+b2=c2,所以ABC一定为直角三角形,对.由cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1及A、B、C为三角形内角,可得cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,所以A=B=C,对.15.解析(1)因为D=2B,cosB=33,所以cosD=cos2B=2cos2B-1=-13.因为D(0,),所以sinD=223.因为AD=1,CD=3,所以ACD的面积S=12ADCDsinD=1213223=2.(2)在ACD中,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosD=12,所以AC=23.因为BC=23=AC,=,所以=,所以AB=4.16.解析(1)根据asinA=csinC,可得csinA=asinC,又csinA=3acosC,asinC=3acosC,sinC=3cosC,tanC=sinCcosC=3,C(0,),C=蟺3.(2)sinC+sin(B-A)=5sin2A,sinC=sin(A+B),sin(A+B)+sin(B-A)=5sin2A,2sinBcosA=25sinAcosA.ABC为斜三角形,cosA0,sinB=5sinA.由正弦定理可知b=5a,c2=a2+b2-2abcosC,21=a2+b2-2ab12=a2+b2-ab,由解得a=1,b=5,SABC=12absinC=121532=534.
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