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新编高考数学复习资料第十三章概率、随机变量及其分布第 1 讲随机事件的概率一、填空题1电子钟一天显示的时间是从 0000 到 2359，每时刻由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为 23 的概率是_来源:解析一天中显示的时间共有 2460 种， 其中数字之和为 23 的有： 0959，1859，1958，1949 共 4 种情况，故所求事件的概率为424601360.答案13602某城市 2010 年的空气质量状况如下表所示：污染指数 T3060100110130140概率 P1101613730215130其中污染指数 T50 时，空气质量为优；50T100 时，空气质量为良；100bsin A，ba因为 A30，所以ba满足此条件的 a，b 的值有 b3，a2；b4，a3；b5，a3；b5，a4；b6，a4；b6，a5，共 6 种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是63616.答案：165某单位从 4 名应聘者 A，B，C，D 中招聘 2 人，如果这 4 名应聘者被录用的机会均等，则 A，B 两人中至少有 1 人被录用的概率是_解析四人中任选 2 人，所有可能方式共 6 种，分别为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，其中 A、B 中至少 1 人被录取的有 5 种方式，概率为56.答案566从 1,2,3,4,5,6 六个数中任取 2 个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是_解析取出的两个数是连续自然数有 5 种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率 P151523.答案237一只袋子中装有 7 个红玻璃球，3 个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次， 每次只取一个， 取得两个红球的概率为715， 取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为_；至少取得一个红球的概率为_解析(1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为 P715115815.(2)由于事件A“至少取得一个红球”与事件 B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为 P(A)1P(B)11151415.答案81514158甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为 0.8 和 0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为_解析由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为 1(10.8)(10.75)0.95.答案0.959把一个体积为 27 cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为 1 cm3的 27 个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为_解析由于“至少有一面涂有红漆”的对立事件是“每个面都没有红漆”，只有中心一块如此，故所求概率为 P11272627.答案262710. 某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组，3 个小组分别有 39、32、33 个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示现随机选取一个成员， 他属于至少 2 个小组的概率是_， 他属于不超过2个小组的概率是_解析“至少 2 个小组”包含“2 个小组”和“3 个小组”两种情况，故他属于至少 2 个小组的概率为P111078678810101135.“不超过 2 个小组”包含“1 个小组”和“2 个小组”，其对立事件是“3 个小组”故他属于不超过 2 个小组的概率是P1867881010111315.答案351315二、解答题11由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345 人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多 2 人排队的概率；(2)至少 2 人排队的概率解记“没有人排队”为事件 A，“1 人排队”为事件 B，“2 人排队”为事件 C，A、B、C 彼此互斥(1)记“至多 2 人排队”为事件 E，则 P(E)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)记“至少 2 人排队”为事件 D.“少于 2 人排队”为事件 AB， 那么事件 D与事件 AB 是对立事件，则 P(D)1P(AB)1P(A)P(B)1(0.10.16)0.74.12根据以往的经验，某工程施工期间的降水量 X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量 XX300300X700700X900X900工期延误天数Y02610历年气象资料表明， 该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数 Y 的均值与方差；(2)在降水量 X 至少是 300 的条件下，工期延误不超过 6 天的概率解(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X300)0.3，P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2，P(X900)1P(X900)10.90.1.所以 Y 的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)00.320.460.2100.13；D(Y)(03)20.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8.故工期延误天数 Y 的均值为 3，方差为 9.8.(2)由概率的加法公式，P(X300)1P(X300)0.7，又 P(300X900)P(X900)P(X300)0.90.30.6.由条件概率， 得P(Y6|X300)P(X900|X300)P300X900PX3000.60.767，故在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下，工期延误不超过 6 天的概率是67.13分期付款购买某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的概率分布为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元表示经销一件该商品的利润(1)求事件 A：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P(A)；(2)求的概率分布及数学期望 E()解(1)设购买该商品的3位顾客中采用1期付款的人数为X， 则P(X1)P(X2)P(X3)1P(X0)1C330.630.784.(2)的概率分布为200250300P0.40.40.2E()2000.42500.43000.2240.14班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3 个男生和 2 个女生来参与，把 5 个人分别编号为 1，2，3，4，5，其中 1，2，3 号是男生，4，5 号是女生，将每个人的号分别写在 5 张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目(1)为了选出 2 人来表演双人舞，连续抽取 2 张卡片，求取出的 2 人不全是男生的概率；(2)为了选出 2 人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率解(1)利用树形图我们可以列出连续抽取 2 张卡片的所有可能结果(如图所示)由上图可以看出，试验的所有可能结果数为 20，每次都随机抽取，这 20 种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型用 A1表示事件“连续抽取 2 人，一男一女”，A2表示事件“连续抽取 2 人，都是女生”，则 A1与 A2互斥，并且 A1A2表示事件“连续抽取 2 张卡片，取出的 2 人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A1的结果有12 种， A2的结果有 2 种， 由互斥事件的概率加法公式， 可得 P(A1A2)P(A1)P(A2)12202207100.7，即连续抽取 2 张卡片，取出的 2 人不全是男生的概率为 0.7.(2)有放回地连续抽取 2 张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出 2 号，第二次取出 4 号”就用(2，4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.第二次抽取12345第一次抽取1(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)2(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)3(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)4(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)试验的所有可能结果数为 25，并且这 25 种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型用 A 表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A 的结果共有 5 种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率是 P(A)525150.2
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