新版高三数学复习 第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用

1 1第3节平面向量的数量积及平面向量的应用课时训练 练题感 提知能【选题明细表】知识点、方法题号向量的数量积2、4、10长度及夹角、垂直问题1、3、7、9、12、15平面向量的应用5、6、8、13、16与向量有关的新情境问题11、14A组一、选择题1.(高考大纲全国卷)已知向量m=(+1,1),n=(+2,2),若(m+n)(m-n),则等于(B)(A)-4(B)-3(C)-2(D)-1解析:m+n=(2+3,3),m-n=(-1,-1),由题意知(m+n)(m-n)=0,即-(2+3)-3=0,因此=-3.故选B.2.(高考湖北卷)已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量AB在CD方向上的投影为(A)(A)322(B)3152(C)-322(D)-3152解析:AB=(2,1),CD=(5,5),设AB,CD的夹角为,则AB在CD方向上的投影为|AB|cos =ABCD|CD|=1552=322.故选A.3.若向量a、b满足|a|=|b|=2,a与b的夹角为60,则|a+b|等于(B)(A)22+3(B)23(C)4 (D)12解析:|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a|b|cos 60=4+4+22212=12,|a+b|=23.故选B.4.(20xx广东高三综合测试)对于任意向量a、b、c,下列命题中正确的是(D)(A)|ab|=|a|b| (B)|a+b|=|a|+|b|(C)(ab)c=a(bc)(D)aa=|a|2解析:aa=|a|a|cos 0=|a|2.故选D.5.(20xx潮州市高三期末质检)平面四边形ABCD中,AB+CD=0,(AB-AD)AC=0,则四边形ABCD是(B)(A)矩形(B)菱形(C)正方形(D)梯形解析:由AB+CD=0,得AB=-CD=DC,故平面四边形ABCD是平行四边形,又(AB-AD)AC=0,故DBAC=0,所以DBAC,即对角线互相垂直,所以四边形ABCD是菱形.6.(20xx浙江金丽衢十二校联考)在ABC中,AB=(cos 18,cos 72),BC=(2cos 63,2cos 27),则角B等于(B)(A)4(B)34(C)3(D)23解析:ABBC=2cos 18cos 63+2cos 72cos 27=2sin 27cos 18+2cos 27sin 18=2sin(27+18)=2sin 45=2.而|AB|=1,|BC|=2,cos B=-ABBC|AB|BC|=-22,又B(0,),故B=34.故选B.7.(20xx河北唐山一模)已知向量a,b满足(a+2b)(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为(C)(A)4(B)6(C)3(D)2解析:设a与b的夹角为,由|a|=1,|b|=2,得(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2=1+12cos -24=-6,解得cos =12.再由0可得=3.故选C.二、填空题8.一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1、F2成60角,且F1、F2的大小分别为2和4,则F3的大小为.解析:由题意知F3=-(F1+F2),|F3|=|F1+F2|,|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1|F2|cos 60=28,|F3|=27.答案:279.(20xx佛山质检(二)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,(a-b)a,向量a与b的夹角为.解析:(a-b)a,(a-b)a=a2-ab=0,ab=1,设a与b夹角则cos =112=22,又0,所以=4.答案:410.(20xx广东六校联考)如图所示,等边ABC中,AB=2AD=4AE=4,则BECD=.解析:BE=BA+AE=-AB+14AC,CD=CA+AD=-AC+12AB,BECD=(-AB+14AC)(-AC+12AB)=98ABAC-12AB2-14AC2=9844cos A-1242-1442=9-8-4=-3.答案:-311.(20xx清远市调研)定义:对于向量a,b的运算ab的结果是一个向量,它的方向与a,b都平行的平面垂直,ab的长度(即模)为|ab|=|a|b|sin ,其中为a与b的夹角,若a=(1,2),b=(2,1),计算|abab|=.解析:由已知可得cos =ab|a|b|=45,故sin =35,据已知定义可得|abab|=55354=34.答案:34三、解答题12.已知a=(1,2),b=(-2,n)(n1),a与b的夹角是45.(1)求b;(2)若c与b同向,且a与c-a垂直,求c.解:(1)ab=2n-2,|a|=5,|b|=n2+4,cos 45=ab|a|b|=2n-25n2+4=22,3n2-16n-12=0(n1).n=6或n=-23(舍).b=(-2,6).(2)由(1)知,ab=10,|a|2=5.又c与b同向,可设c=b(0).(c-a)a=0,ba-|a|2=0.=|a|2ba=510=12.c=12b=(-1,3).13.设a=(1+cos x,1+sin x),b=(1,0),c=(1,2).(1)求证:(a-b)(a-c);(2)求|a|的最大值,并求此时x的值.(1)证明:由已知得a-b=(cos x,1+sin x),a-c=(cos x,sin x-1),则(a-b)(a-c)=(cos x,1+sin x)(cos x,sin x-1)=cos2x+sin2x-1=0.故(a-b)(a-c).(2)解:|a|=(1+cosx)2+(1+sinx)2=3+2(sinx+cosx)=3+22sinx+43+22=2+1.当sinx+4=1,即x=4+2k(kZ)时,|a|有最大值2+1.B组14.(20xx肇庆中小学质量评估检测)定义空间两个向量的一种运算ab=|a|b|sin ,则关于空间向量上述运算的以下结论中,ab=ba;(ab)=(a)b;(a+b)c=(ac)+(bc);若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=|x1y2-x2y1|.恒成立的个数是(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:显然恒成立;(ab)=|a|b|sin,(a)b=|a|b|sin,当0时,(ab)=(a)b不成立.当a,b,c不共面时,(a+b)c=(ac)+(bc)不成立,例如取a,b,c为两两垂直的单位向量,易知(a+b)c=2,(ac)+(bc)=2.由ab=|a|b|sin ,ab=|a|b|cos ,可知(ab)2+(ab)2=|a|2|b|2,(ab)2=|a|2|b|2-(ab)2=(x12+y12)(x22+y22)-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2,故ab=|x1y2-x2y1|恒成立,故恒成立的个数是2.故选B.15.(高考天津卷)在平行四边形ABCD中,AD=1,BAD=60,E为CD的中点.若ACBE=1,则AB的长为.解析:如图ACBE=(AB+BC)(BC+CE)=(AB+BC)(BC-12AB)=ABBC-12ABAB+BCBC-12ABBC=12|AB|BC|12-12|AB|2+1=1.得|AB|=12|BC|=12,则AB的长为12.答案:1216.(高考陕西卷)已知向量a=(cos x,-12),b=(3sin x,cos 2x),xR,设函数f(x)=ab.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在0,2上的最大值和最小值.解:f(x)=(cos x,-12)(3sin x,cos 2x)=3cos xsin x-12cos 2x=32sin 2x-12cos 2x=cos6sin 2x-sin6cos 2x=sin2x-6.(1)f(x)的最小正周期为T=2=22=,即函数f(x)的最小正周期为.(2)0x2,-62x-656.由正弦函数的性质,知当2x-6=2,即x=3时,f(x)取得最大值1.当2x-6=-6,即x=0时,f(x)取得最小值-12,因此,f(x)在0,2上的最大值是1,最小值是-12.