新版高三数学复习 第9节　函数模型及其应用

1 1第9节函数模型及其应用 课时训练 练题感 提知能 【选题明细表】知识点、方法题号一次函数、二次函数模型1、4、5、9、11函数y=x+ax模型3、12指数函数模型2、8、13其他问题6、7、10、14、15A组一、选择题1.某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示,当通话150分钟时,这两种方式电话费相差(A) (A)10元(B)20元(C)30元(D)403元解析:依题意可设sA(t)=20+kt,sB(t)=mt,又sA(100)=sB(100),100k+20=100m,得k-m=-0.2,于是sA(150)-sB(150)=20+150k-150m=20+150(-0.2)=-10,即两种方式电话费相差10元,选A.2.在一次数学试验中,采集到如下一组数据:x-2-10123y0.240.5112.023.988.02则下列函数与x,y的函数关系最接近的是(其中a,b为待定系数)(B)(A)y=a+bx(B)y=a+bx(C)y=ax2+b(D)y=a+bx解析:由数据知x,y之间的函数关系近似为指数型,故选B.3.已知某矩形广场的面积为4万平方米,则其周长至少为(A)(A)800米 (B)900米(C)1000米(D)1200米解析:设这个广场的长为x米,则宽为40000x米,所以其周长为l=2(x+40000x)800,当且仅当x=200时取等号.4.(20xx汕头模拟)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(xN*)为二次函数关系(如图所示),则每辆客车营运多少年时,其营运的平均利润最大(C) (A)3(B)4(C)5(D)6解析:由题图可知,营运总利润y=-(x-6)2+11,则营运的年平均利润yx=-x-25x+12=-(x+25x)+12.xN*,yx-2x25x+12=2,当且仅当x=25x,即x=5时取“=”,故选C.5.国家规定某行业征税如下:年收入在280万元及以下的税率为p%,超过280万元的部分按(p+2)%征税,有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是(D)(A)560万元(B)420万元(C)350万元(D)320万元解析:设该公司的年收入为x,纳税额为y,则由题意,得y=280p%(万)(x280万),280p%+(x-280)(p+2)%(万)(x280万),依题意有,280p%+(x-280)(p+2)%x=(p+0.25)%.解之得x=320(万元).故选D.6.(20xx北京海淀区质检)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(B)(A)60件(B)80件(C)100件(D)120件解析:若每批生产x件产品,则每件产品的生产准备费用是800x,仓储费用是x8,总的费用是800x+x82800xx8=20,当且仅当800x=x8时取等号,即x=80.故选B.二、填空题7.某工厂采用高科技改革,在两年内产值的月增长率都是a,则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为.解析:不妨设第一年8月份的产值为b,则9月份的产值为b(1+a),10月份的产值为b(1+a)2,依次类推,第二年8月份的产值是b(1+a)12.又由增长率的概念知,这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为b(1+a)12-bb=(1+a)12-1.答案:(1+a)12-18.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析:依题意有ae-b8=12a,b=ln28,y=ae-ln28t若容器中只有开始时的八分之一,则有ae-ln28t=18a.解得t=24,所以再经过的时间为24-8=16 min.答案:169.(20xx济宁模拟)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2,x(0,240).若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是台.解析:依题意有25x3000+20x-0.1x2,即x2+50x-300000,解得x150或x-200(舍去).答案:15010.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,则x的最小值是.解析:七月份的销售额为500(1+x%),八月份的销售额为500(1+x%)2,则一月份到十月份的销售总额是3860+500+2500(1+x%)+500(1+x%)2,根据题意有3860+500+2500(1+x%)+500(1+x%)27000,即25(1+x%)+25(1+x%)266,令t=1+x%,则25t2+25t-660,解得t65或t-115(舍去),故1+x%65,解得x20.故x的最小值为20.答案:2011.(20xx银川模拟)某电脑公司的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为400万元,占全年经营总收入的40%.该公司预计经营总收入要达到1690万元,且计划从到,每年经营总收入的年增长率相同,预计经营总收入为万元.解析:设增长率为x,则有40040%(1+x)2=1690,1+x=1310,因此预计经营总收入为40040%1310=1300(万元).答案:1300三、解答题12.(20xx佛山一模)某工厂生产某种产品,每日的成本C(单位:万元)与日产量x(单位:吨)满足函数关系式C=3+x,每日的销售额S(单位:万元)与日产量x的函数关系式S=3x+kx-8+5(0x6),14(x6),已知每日的利润L=S-C,且当x=2时,L=3.(1)求k的值;(2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值.解:(1)由题意可得,L=2x+kx-8+2,0x6,11-x,x6,因为x=2时,L=3,所以3=22+k2-8+2.解得k=18.(2)当0x6时,L=2x+18x-8+2,所以L=2(x-8)+18x-8+18=-2(8-x)+188-x+18-22(8-x)188-x+18=6.当且仅当2(8-x)=188-x,即x=5时取得等号.当x6时,L=11-x5.所以当x=5时,L取得最大值6.所以当日产量为5吨时,每日的利润可以达到最大值6万元.13.一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14.(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)最多能砍伐多少年?解:(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0x1).则a(1-x)10=12a,即(1-x)10=12,解得x=1-(12)110.(2)设最多能砍伐n年.由题得a1-1-(12)110n14a.即(12)n1014.所以n20.即最多能砍伐20年.B组14.(20xx东莞调研)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(B)解析:由题知运输效率即Qt,即相当于图象上的点(t,Q)与原点连线的斜率,即连线斜率逐步提高.由题知选项A、C逐步减小,选项D先减小,再增大,选项B为逐步提高,故选B.15.(20xx佛山质检)某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响,环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱,1个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度f(x)与时间x(小时)的关系可近似地表示为f(x)=2-x6-6x+3,0x3,1-x6,3x6,只有当污染河道水中碱的浓度不低于13时,才能对污染产生有效的抑制作用.(1)如果只投放1个单位的固体碱,则能够维持有效的抑制作用的时间有多长?(2)第一次投放1个单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到13时,马上再投放1个单位的固体碱,设第二次投放后水中碱浓度为g(x),求g(x)的函数式及水中碱浓度的最大值(此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加).解:(1)由题意知0x3,2-x6-6x+313或3x6,1-x613,解得1x3或3x4,即1x4,能够维持有效的抑制作用的时间为4-1=3小时.(2)由(1)知,x=4时第二次投入1单位固体碱,显然g(x)的定义域为4x10.当4x6时,第一次投放1单位固体碱还有残留,故g(x)=(1-x6)+2-x-46-6(x-4)+3=113-x3-6x-1;当6x10时,第一次投放1单位固体碱已无残留,当6x7时,g(x)=2-(x-4)6-6(x-4)+3=83-x6-6x-1;当7x10时,g(x)=1-x-46=53-x6,所以g(x)=113-x3-6x-1,4x6,83-x6-6x-1,6x7,53-x6,7x10.当4x6时,g(x)=113-x3-6x-1=103-(x-13+6x-1)103-2x-136x-1=103-22,当且仅当x-13=6x-1时取“=”,即x=1+324,6;当6x10时,第一次投放1单位固体碱已无残留,当6x0,所以g(x)为增函数;当70,所以当x=1+32时,水中碱浓度的最大值为103-22.答:(1)第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时;(2)第一次投放1+32小时后,水中碱浓度达到的最大值为103-22.