人教版 小学8年级 数学上册 小专题(十)　运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题

精品资料人教版初中数学小专题(十)运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题类型1针对腰长和底边长进行分类方法归纳：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目中的条件没有指明已知的这条边是腰长还是底边长时，就要分类讨论，按腰和底边两种情况分类若涉及边的长度，应运用三角形的三边关系进行辨别取舍1(武汉中考)平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)若在坐标轴上取点C，使ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(A)A5 B6 C7 D82如图，在RtABC中，ACB90，AB2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有(B)A7个B6个C5个D4个3若实数x，y满足|x5|0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为25类型2针对顶角和底角进行分类方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论在分类时要注意：三角形的内角和等于180；等腰三角形中至少有两个角相等4等腰三角形有一个角为52，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？解：若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(18052)264，故一腰上的高与底边的夹角为26；若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38.故所求的一腰上的高与底边的夹角为26或38.5如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数解：设A，B，C是该等腰三角形的三个内角，且AB.设Ax，则B2x.若B是顶角，则A，C是底角，于是有CAx.ABC180，x2xx180.解得x45，故AC45，B90；若B是底角，AB，A是顶角，CB2x.ABC180，x2x2x180.解得x36，故A36，BC72.综上所述，等腰三角形的各内角分别为45、45、90或36、72、72.类型3针对锐角、直角和钝角三角形进行分类方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角或钝角三角形不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高的交点在这个三角形的内部；直角三角形腰上的高的交点为两直角边的交点；钝角三角形腰上的高的交点在这个三角形的外部，因此在解答时需要分类讨论6已知ABC中，ABAC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交成50的角，求底角的度数解：由题意可判断该三角形不可能是直角三角形，可能是锐角三角形或钝角三角形，故分两种情况讨论：如图1，垂直平分线DE与腰AC相交，且AED50，则A40，所以BC70；如图2，垂直平分线DE与腰AC的反向延长线相交，且AED50，则EAD40，BAC140，所以BC20.综上可知，等腰三角形的底角为70或20.7一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半，则等腰三角形底角的度数是多少？解：设A为顶角，则ABC、ACB为底角(1)若A为锐角，如图1，作BDAC于点D，根据题意有BDAB，BDA90，A30，ABCACB75；(2)若A为直角，根据题意“等腰三角形一边上的高等于另一边的一半”，这种情况无解；(3)若A为钝角，有三种情况：如图2，作ADBC于点D，根据题意有ADAB，ADB90，ABCACB30；如图3，作BDCA的延长线于点D，根据题意有BDBC，ADB90，ABCACB30；如图4，作BDCA的延长线于点D，根据题意有BDAB，ADB90，BAD30，ABCACB15.综上所述，等腰三角形底角的度数是75、30或15.8AC为等腰ABD的腰BD上的高，且CAB60.求这个三角形各内角的度数解：如图1，高AC在ABD的内部，因为CAB60，ACB90，所以B30.因为BABD，所以BADD75；如图2，高AC在ABD的外部，因为CAB60，ACB90，所以ABC30.所以ABD150.因为BABD，所以BADD15；如图3，高AC在ABD的外部，因为CAB60，ACB90，所以B30.因为DADB，所以BADB30.所以ADB120.综上所述，这个三角形各内角的度数分别为30，75，75或150，15，15或120，30，30.