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第06节 数学归纳法【考纲解读】考 点考纲内容五年统计分析预测数学归纳法了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题.20xx浙江22利用数学归纳法证明数列问题.备考重点：1.数学归纳法原理；2.数学归纳法的简单应用.【知识清单】数学归纳法1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立2.数学归纳法的框图表示对点练习【浙江省温州市高三9月一模】已知数列an中，a1=12，an+1=1+anan+12（nN*）（1）求证：12an1；（2）求证：1an-1是等差数列；（3）设bn=n(1+a1)(1+a2)(1+an)，记数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn9415 【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.试题解析：（1）证明：当n=1时，a1=12，满足12an1，假设当n=k（k1）时，12an1，则当n=k+1时，ak+1=12-ak 23,1)，即n=k+1时，满足12an1；所以，当nN*时，都有12an0，只需证明n3，Sn9415即可当n3时，Sn=b1+b2+b3+bn23+b2+67b2+(67)2b2+(67)n-2b2 =23+45(1-(67)n-1)1-67 =23+285(1-(67)n-1) 23+285=9415【考点深度剖析】数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等浙江对数学归纳法的考查主要是与数列相结合.【重点难点突破】考点1利用数学归纳法证明等式【1-1】用数学归纳法证明“12222n22n31”，验证n1时，左边计算所得的式子为()A. 1 B. 12 C. 1222 D. 122223【答案】D【解析】左边的指数从0开始，依次加1，直到n2，所以当n1时，应加到23，故选D.【1-2】观察下列等式：；（1）照此规律，归纳猜想出第个等式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【答案】（1） （）；（2）见解析.试题解析：（1）第个等式为 （）；（2）用数学归纳法证明：当时，等式显然成立；假设当（）时，等式成立，即 则当时， 所以当时，等式成立.由知， （）【领悟技法】数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少(2)注意点：由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法【触类旁通】【变式一】观察下列等式：； ； ； ；，(1)猜想第个等式；(2)用数学归纳法证明你的猜想.【答案】(1) .(2)答案见解析.试题解析：(1) .(2)证明：(i)当时，等式显然成立.(ii)假设时等式成立，即，即.那么当时，左边，右边.所以当时，等式也成立.综上所述，等式对任意都成立.【变式二】已知数列中， ，（）求；（）猜想的表达式，并用数学归纳法证明【答案】(I）；（II）见解析.【解析】试题分析：（1）由已知直接求出的值；（2）猜想，注意数学归纳法的步骤。试题解析：(1）； （2）猜想： 证明：当n=1时， ，猜想成立. 假设n=k时成立，即， 则当n=k+1时，由得 所以n=k+1时，等式成立. 所以由知猜想成立. 考点2 利用数学归纳法证明不等式【2-1】【用数学归纳法证明（， ）成立时，第二步归纳假设的正确写法为（ ）A. 假设时，命题成立 B. 假设（）时，命题成立C. 假设（）时，命题成立 D. 假设（）时，命题成立【答案】C【2-2】【20xx浙江卷22】已知数列满足： 证明：当时（I）;（II）；(III) 【答案】（I）见解析；（II）见解析；（）见解析.【解析】试题分析：（）用数学归纳法可证明；（）由（）可得， 构造函数，利用函数的单调性可证； （）由及，递推可得那么n=k+1时，若，则，矛盾，故 因此所以，因此（）由得，记函数，函数f(x)在0，+）上单调递增，所以=0，因此，故（）因为，所以，由，得，所以，故综上， 【领悟技法】数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法(2)关键：由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化【触类旁通】【变式一】设正项数列an的前n项和Sn，且满足Sn=12an2+n2(nN*).（）计算a1,a2,a3的值，猜想an的通项公式，并证明你的结论；（）设Tn是数列1an2的前n项和，证明：Tn0，解得ak+1=k+1于是对于一切的自然数nN*，都有an=n（）证法一：因为1n21n2-14=2(12n-1-12n+1)，Tn=112+122+1n22(1-13+13-15+12n-1-12n+1)=2(1-12n+1)=4n2n+1证法二：数学归纳法证明：（）当n=1时，T1=112=1，4121+1=43，143（）假设当n=k时，Tk4k2k+1则当n=k+1时，Tk+1=Tk+1(k+1)24k2k+1+1(k+1)2要证：Tk+14(k+1)2(k+1)+1只需证：4k2k+1+1(k+1)21(k+1)2所以4k2k+1+1(k+1)24(k+1)2(k+1)+1于是对于一切的自然数nN*，都有Tn12，1+12+131，1+12+13+14+15+16+1732，1+12+13+1152，1+12+13+13152，（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1）1+12+13+14+12n-1n2nN+；（2）详见解析.试题解析：（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点：1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1，猜想不等式左边最后一个数分母2n-1，对应各式右端为n2，所以，不等式的一般结论为：1+12+13+14+12n-1n2nN+.（2）证明：当n=1,2时显然成立；假设n=k时结论成立，即：1+12+13+14+12k-1k2成立1+12+13+14+12k-1+12k+12k+1-2+12k+1-1当n=k+1时，k2+12k+12k+1+12k+1-2+12k+1-1k2+2k12k+1-1=k2+12-12kk2+12=k+12即当n=k+1时结论也成立.由可知对任意nN+，结论都成立.【3-2】【浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等五校联考】已知数列中，满足记为前n项和（I）证明： ；（）证明： （）证明： .【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，化简可得。再由数列的前n项和及等比数列前n项和公式可得结论。试题解析：证明：（I）因 故只需要证明即可 3分下用数学归纳法证明：当时， 成立假设时， 成立，那么当时， ，所以综上所述，对任意， 6分（）用数学归纳法证明当时， 成立假设时， 那么当时， 所以综上所述，对任意， 10分（）得 12分故 15分【领悟技法】(1)“归纳猜想证明”的一般步骤计算(根据条件，计算若干项)归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)证明(用数学归纳法证明)(2)与“归纳猜想证明”相关的常用题型的处理策略与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法【触类旁通】【变式一】设等差数列an的公差d0，且a10，记Tn=1a1a2+1a2a3+1anan+1. （1）用a1,d分别表示T1,T2,T3，并猜想Tn； （2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1）Tn=na1(a1+nd).；（2）见解析.试题解析：（1）T1；T2；T3由此可猜想Tn. （2）证明：当n1时，T1，结论成立 假设当nk时(kN*)时结论成立， 即Tk. 则当nk1时，Tk1Tk. 即nk1时，结论成立 由可知，Tn对于一切nN*恒成立【变式二】【浙江省“超级全能生”3月联考来】已知每一项都是正数的数列满足， （1）用数学归纳法证明： ；（2）证明： ；（3）记为数列的前项和，证明： 【答案】（1）见解析;（2）见解析;（3）见解析. ，（2）奇数项隔项递减，且最大值为，所以研究偶数项单调性：隔项递增，且最小值为，（同（1）的方法给予证明），最后需证明，根据归纳可借助第三量，作差给予证明；（3）先探求数列递推关系： ，再利用等比数列求和公式得.试题解析：（1）由题知， ， 当时， ， ， 成立；假设时，结论成立，即，因为所以 即时也成立，由可知对于，都有成立.（2）由（1）知， ，所以，同理由数学归纳法可证，.猜测： ，下证这个结论.因为，所以与异号.注意到，知， ，即.所以有，从而可知.（3） 所以 所以【易错试题常警惕】易错典例：【山西省孝义市5月模拟】数列满足，且.（1）写出的前3项，并猜想其通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.易错分析：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点.一是归纳结论不正确；二是应用数学归纳法，确认n的初始值n0不准确；三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设.题成立.（2）当时， 成立；假设时，猜想成立，即有，由，及，得，即当时猜想成立，由可知， 对一切正整数均成立.温馨提示：1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.2.推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法.3.解“归纳猜想证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础，否则将会做大量无用功.
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