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新编高考数学复习资料学案8对数与对数函数导学目标： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，a1)，体会对数函数是一类重要的函数模型自主梳理1对数的定义如果_，那么数b叫做以a为底N的对数，记作_，其中_叫做对数的底数，_叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的性质(a0且a1)alogaN_；loga1_；logaaN_； logaa_.(2)对数的重要公式换底公式：logaN_(a，c均大于零且不等于1)；logab，推广logablogbclogcd_.(3)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)_；loga_；logaMn_(nR)；logamMnlogaM.3对数函数的图象与性质a10a1时，_；当0x1时，_；当0x1时，_(6)是(0，)上的_函数(7)是(0，)上的_函数4.反函数指数函数yax与对数函数_互为反函数，它们的图象关于直线_对称自我检测1(2010四川改编)2log510log50.25的值为_2(2010辽宁改编)设2a5bm，且2，则m的值为_3(2009辽宁改编)已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)x；当x0的x的取值范围是_5(2009台州期末)已知0ab10且a1)，如果对于任意的x，2都有|f(x)|1成立，试求a的取值范围变式迁移3(1)(2010全国改编)已知函数f(x)|lg x|，若0ab，且f(a)f(b)，则a2b的取值范围为_(2)已知函数f(x)loga|x|在(0，)上单调递增，则f(2)_f(a1)(填写“”)转化化归与分类讨论思想例(16分)已知函数f(x)loga(1ax)及g(x)loga(ax1)(a0，a1)(1)解关于x的不等式：loga(1ax)f(1)；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是f(x)图象上的两点，求证：直线AB的斜率小于0.【答题模板】(1)解f(x)loga(1ax)，f(1)loga(1a)1a0.0aloga(1a)4分，即0x1.不等式的解集为(0,1)8分(2)证明设x10，ax1时，f(x)的定义域为(，0)；0a1时，f(x)的定义域为(0，)12分当0ax10，ax21.loga0.f(x2)f(x1)，即y21时，也有y2y1.综上：y2y1，即y2y10.kAB1或0a0且a1.若a1，则logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0.若0alogag(x)0f(x)g(x)(2)同真数的对数值大小关系如图：图象在x轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0cd1a0，a1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别(2)明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1(2010北京市丰台区高三一调)设My|y()x，x0，)，Ny|ylog2x，x(0,1，则集合MN_.2(2010全国改编)设alog32，bln 2，c，则a，b，c大小关系为_32lg 5lg 8lg 5lg 20lg22_.4函数f(x)ln(a2)为奇函数，则实数a等于_5(2010青岛二模)已知函数f(x)axlogax(a0，a1)在1,2上的最大值与最小值之和为loga26，则a的值为_6(2010天津改编)若函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围为_7(2011宿迁模拟)已知f(3x)4xlog23233，则f(2)f(4)f(8)f(28)_.8下列命题：若函数ylg(x)为奇函数，则a1；若a0，则方程|lg x|a0有两个不相等的实根；方程lg xsin x有且只有三个实数根；对于函数f(x)lg x，若0x1x2，则f()0且a1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)若a1时，求使f(x)0的x的解集11(14分)已知函数f(x)lg(axbx)(a1b0)(1)求yf(x)的定义域；(2)在函数yf(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，)上恒取正值答案 自主梳理1abN(a0，且a1)blogaNaN2.(1)N0N1(2)logad(3)logaMlogaNlogaMlogaNnlogaM3.(1)(0，)(2)R(3)(1,0)10(4)y0y0(5)y0(6)增(7)减4.ylogaxyx自我检测122.3.4.(0，)(2，)5.mn课堂活动区例1解题导引在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化解(1)方法一利用对数定义求值：设log(2)(2)x，则(2)x2(2)1，x1.方法二利用对数的运算性质求解：log(2)(2)log(2)log(2)(2)11.(2)原式(lg 32lg 49)lg 245(5lg 22lg 7)lg 2(2lg 7lg 5)lg 2lg 72lg 2lg 7lg 5lg 2lg 5lg (25)lg 10.(3)由已知得lg()2lg xy，()2xy，即x26xyy20.()26()10.32.1，32，log(32)log(32)(32)log1.变式迁移1解(1)原式log2log212log2log22log2log2.(2)原式lg 2(lg 2lg 50)lg 2521g 2lg 25lg 1002.例2解题导引比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较解(1)log3log510，log3log5.(2)方法一00.71,1.1log0.71.1log0.71.2.，由换底公式可得log1.10.7log1.20.7.方法二作出ylog1.1x与ylog1.2x的图象，如图所示，两图象与x0.7相交可知log1.10.7ac.而y2x是增函数，2b2a2c.变式迁移2(1)abc解析alog31，blog23，则b1，clog32bc.(2)ab1，()b(0,1)，log2c()c(0,1)0a，b1,1c2.故ab1时，得a1a，即a3；当0a1时，得a1a，得0a.综上所述，a的取值范围是(0，3，)变式迁移3(1)(3，)(2)解析(1)画出函数f(x)|lg x|的图象如图所示0ab，f(a)f(b)，0a1，lg a0.又f(a)f(b)，lg alg b ，ab1.a2ba，易证a在(0,1)上单调递减，3.即a2b3.(2)f(x)loga|x|在(0，)上单调递增，a1.a12.f(x)是偶函数，f(2)f(2)f(a1)课后练习区1(，1解析x0，y()x(0,1，M(0,1当0x1时，ylog2x(，0，即N(，0MN(，12ca1，log2e1，log23log2e.1，0ablog3，a.bln 2ln ，b.c5，ca0时，函数ax，logax的单调性相同，因此函数f(x)axlogax是(0，)上的单调函数，f(x)在1,2上的最大值与最小值之和为f(1)f(2)a2aloga2，由题意得a2aloga26loga2.即a2a60，解得a2或a3(舍去)6(1,0)(1，)解析当a0时，f(a)log2a，f(a)，f(a)f(a)，即log2alog2，a，解得a1.当af(a)，即log2(a)，a，解得1a0，由得1a1.72 008解析令3xt，f(t)4log2t233，f(2)f(4)f(8)f(28)4(128)82334361 8642 008.8解析f(x)为奇函数，f(x)f(x)0.lg(x)lg(x)lg(x2a)x2lg a0，a1.|lg x|a0，|lg x|a.作出y|lg x|，ya的图象可知，当a0时有两个交点方程有两个不等实根作出ylg x，ysin x的图象，可知在y轴右侧有三个交点故方程有三个实根对于f(x)lg x，如图，当0x1yB，即f().9解f(x)2log3x，yf(x)2f(x2)(2log3x)22log3x2logx6log3x6(log3x3)23.(5分)函数f(x)的定义域为1,9，要使函数yf(x)2f(x2)有意义，必须1x3，0log3x1，(10分)6(log3x3)2313.当log3x1，即x3时，ymax13.当x3时，函数yf(x)2f(x2)取最大值13.(14分)10解(1)f(x)loga(x1)loga(1x)，则解得1x1.故所求函数f(x)的定义域为x|1x1(4分)(2)由(1)知f(x)的定义域为x|1x1时，f(x)在定义域x|1x01.解得0x0的x的解集是x|0x0，得()x1，且a1b0，得1，所以x0，即f(x)的定义域为(0，)(4分)(2)任取x1x20，a1b0，则ax1ax20，bx1ax2bx20，即lg(ax1bx1)lg(ax2bx2)故f(x1)f(x2)所以f(x)在(0，)上为增函数(8分)假设函数yf(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直线平行于x轴，则x1x2，y1y2，这与f(x)是增函数矛盾故函数yf(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴(10分)(3)因为f(x)是增函数，所以当x(1，)时，f(x)f(1)这样只需f(1)lg(ab)0，即当ab1时，f(x)在(1，)上恒取正值(14分)
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