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第03章 导数一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.已知函数，则（ ）,(A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】因为，所以，故选A.2.【20xx浙江模拟】已知直线是曲线的切线，则实数（ ）A. B. C. D.【答案】C.3.已知函数的导函数为，且满足，则（ ）A B C D【答案】B【解析】，令,得,解得，-1故选B4.【20xx四川资阳一诊】已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则（ ）A B CD 【答案】B【解析】试题分析：设函数，则，所以函数在为减函数，所以，即，所以，故选B5.已知在上非负可导，且满足，对于任意正数，若，则必有（ ）A BC D,【答案】D【解析】6.若曲线与曲线存在公共切线，则a的取值范围为（ ）A B C D【答案】D【解析】设公共切线与曲线切于点，与曲线切于点，则，将代入，可得，又由得，且，记，求导得，可得在上递增，在上递减，.7.曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）A B C和 D【答案】C.【解析】，令，或，或，经检验，点，均不在直线上，故选C8.已知函数，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是，则函数在处取得最值的概率是（ ）A B C D【答案】C【解析】9.已知直线是曲线：与曲线：的一条公切线，若直线与曲线的切点为，则点的横坐标满足（ ）,A BC D【答案】D【解析】记直线与曲线的切点为因为,则直线的方程为,又直线的方程为,从而且,消去得,即,设,则,令解得,则函数在上递增，又，无零点，得在上单调递减，可得，所以，故选D.10.【20xx山西孝义二模】已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）A B C. D【答案】C11.设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）, A、 B、 C、 D、 【答案】A【解析】设，则的导数为，当x0时总有成立，即当x0时，恒小于0，当x0时，函数为减函数，为奇函数，当时，当时，而，即在上，与同号，所以当时，当时，又由为奇函数，在上，时，当时，综上，的解集为故选A12.若点P是函数图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为，则的最小值是( ) ,A B C D【答案】B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.若曲线在点处的切线与直线平行，则_【答案】【解析】，故答案为.14.若函数有零点，则k的取值范围为_. 【答案】【解析】因为通过画图可知当时一定有一个交点，若直线与有交点，对函数求导代入这个函数可以求得再将代入直线，可求，所以当时也有交点.15.【20xx山西大学附中二模】已知是函数两个相邻的两个极值点，且在处的导数，则_【答案】16.已知函数的导数为，且函数的图像关于直线对称，.下列命题正确的有 （将所有正确命题的序号都填上）. 函数的单调增区间是，单调减区间是；函数的极大值是，极小值是；函数的零点有3个【答案】【解析】由已知，即所以，即.又，即得，正确，不正确.由上上知，令即解得或，由得函数的单调增区间是；由知单调减区间是，正确；进一步可知，函数的极大值，极小值是，正确；通过画函数图象的草图，可知正确.综上知，答案为.2、 解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.【20xx浙江五校】已知函数（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，且，证明： .【答案】（1）；（2）见解析试题解析：（1）当时， ， ， ，所以在处的切线方程为，化简得。6分（2）函数定义域为， 则是方程的两个根，所以，又，所以。，所以。令，则，又所以，则在内为增函数，所以，所以15分18.【20xx浙江模拟】设函数，.证明：（1）；（2）.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）构造函数，对求导，利用导数证明即可得证；（2）求导，判断出函数的单调性，求出函数的极值与最值后即可得证.试题解析：（1）记，则，在区间上单调递增，又，从而；（2），记，由，知存在，使得，在上是增函数，在区间19.已知函数在时取得极值.（1）求a的值；（2）若有唯一零点，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）依题意，得，所以.经检验，满足题意.（2）由（1）知，则.所以.令，因为，所以.方程有两个异号的实根，设为，因为x0，所以应舍去.所以即所以.令，则.所以在上单调递减.注意到，所以.所以.20.【20xx “超级全能生”浙江3月联考】设函数，其中，函数有两个极值点，且（1）求实数的取值范围；（2）设函数，当时，求证： 【答案】（1）;（2）见解析.【解析】，试题分析：（1）由题意得导函数有两个不同的零点，由韦达定理得实数与关系，消去得关于函数关系式，由取值范围，结合导数研究函数单调性，进而求出实数的取值范围；（2）先化简所证不等式，再利用放缩证明，利用韦达定理再次转化不等式为，最后根据的取值范围可证.试题解析：（1），由题可知： 为的两个根，且，得或.而则，即，即，综上， .（2）证明：由， ，知，由（1）可知，所以，所以.21.【20xx安徽淮北二模】已知函数.（I）讨论函数的单调性,并证明当时， ;（）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先求函数导数，确定导函数在定义区间上恒非负，故得函数单调区间；根试题解析：（1）由得故在上单调递增， 当时，由上知，即，即，得证. （2）对求导，得， 记， 由（）知，函数区间内单调递增， 又， ，所以存在唯一正实数，使得于是，当时， ， ，函数在区间内单调递减；当时， ， ，函数在区间内单调递增所以在内有最小值， 由题设即 又因为所以22.【20xx四川泸州四诊】设函数（为自然对数的底数）， .（1）若是的极值点，且直线分别与函数和的图象交于，求两点间的最短距离； （2）若时，函数的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围.【答案】（1）1（2）【解析】（）因为，所以，因为是的极值点，所以， .又当时，若， ，所以在上为增函数，所以，所以是的极小值点，所以符合题意，所以.令，即，因为，当时， ， ，所以，所以在上递增，所以，时， 的最小值为，所以.当时，因为在单调递增，所以总存在，使在区间上，导致在区间上单调递减，而，所以当时， ，这与对恒成立矛盾，所以不符合题意，故符合条件的的取值范围是.
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