高中数学必修5第一章解三角形检测题及答案

精品文档第一章解三角形一、选择题1已知 A，B 两地的距离为10 km ， B，C 两地的距离为20 km ，现测得 ABC120 ，则 A， C 两地的距离为 () A 10 kmB103 kmC105kmD 10 7 km2在 ABC 中，若abc，则 ABC 是 () cosAcosBcosC222A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形3三角形三边长为a， b， c，且满足关系式 ( a b c)( a b c) 3ab，则 c 边的对角等于 () A 15B45C60D1204在 ABC 中，三个内角 A， B， C 所对的边分别为a， b，c，且 a b c 13 2，则 sin A sin B sin C () A 3 21B2 3 1C1 2 3D1 3 25如果 A B C1的三个内角的余弦值分别等于A B C2的三个内角的正弦值，则1122() A A1B1 C1 和 A2B2C2 都是锐角三角形B A1B1 C1 和 A2 B2C2 都是钝角三角形C A1B1 C1 是钝角三角形，A2B2C2 是锐角三角形D A1B1 C1 是锐角三角形，A2B2C2 是钝角三角形6在 ABC 中， a 23 ， b22 ， B 45，则 A 为 () A 30或 150 B60C60或 120 D30.精品文档7在 ABC 中，关于 x 的方程 ( 1 x2 ) sin A 2xsin B ( 1 x2) sin C 0 有两个不等的实根，则 A 为() A锐角B 直角C钝角D 不存在8在 ABC 中， AB 3， BC 13， AC 4，则边 AC 上的高为 () A3 2B3 3C 3D 332229在 ABC 中，a3b3 c323，则 ABC 一定是 () a b c c ， sin A sin B4A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰三角形或直角三角形10根据下列条件解三角形： B 30，a 14，b 7； B 60，a 10，b 9那么，下面判断正确的是 () A只有一解，也只有一解B有两解，也有两解C有两解，只有一解D只有一解，有两解二、填空题11在 ABC 中， a， b 分别是 A 和 B 所对的边，若 a 3 ， b 1， B 30，则A 的值是12在 ABC 中，已知 sin Bsin C cos2 A ，则此三角形是 _三角形213已知 a， b， c 是 ABC 中 A， B， C 的对边， S 是 ABC 的面积若 a 4，b 5， S5 3，求 c 的长度14 ABC 中， a b10，而 cos C 是方程 2x2 3x 20 的一个根，求 ABC 周长的最小值15在 ABC 中， A， B， C 的对边分别为a， b， c，且满足 sin A sin B sin C 2 5 6若 ABC 的面积为 3 39 ，则 ABC 的周长为 _ 416在 ABC 中， A 最大， C 最小，且 A 2 C，a c 2b，求此三角形三边之比为.精品文档三、解答题17在 ABC 中，已知 A30， a， b 分别为 A， B 的对边，且 a 43b，解3此三角形18如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为 15，向山顶前进100 米后到达点B，又从点B 测得斜度为45，建筑物的高CD 为50 米求此山对于地平面的倾斜角(第 18 题).精品文档19在 ABC 中， A， B， C 的对边分别为a， b， c，若 bcos C ( 2ac) cos B，( ) 求 B 的大小；( ) 若 b7 ， a c4，求 ABC 的面积20在 ABC 中，角 A，B， C 的对边分别为a， b， c，求证： a 2b 2 sin( A B) c2sin C.精品文档参考答案一、选择题1D解析： AC2 AB2 BC2 2AB BCcos ABC 102 202 210 20cos 120 700AC 107 2 B解析：由abc及正弦定理，得sin A sin B sinC ，由2 倍角ABcosCABCcoscos222coscoscos222的正弦公式得 sin A sin B sin C ， A B C2223 C解析：由 ( a b c)( a b c) 3ab，得 a2 b2 c2 ab cos C a 2b2c2 1 2 ab2故 C 604D解析：由正弦定理可得a b c sin A sin B sin C 13 25D解析： A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则 A1B1C1 是锐角三角形(A1)A1 sin A2cos A1sin2A22若 A(B1)，得B1， 2B2C2 不是钝角三角形，由sin B2cos B1sin2B22(C1)C1 sin C2cosC1sin2C22那么， A2 B2C2 3 ( A1 B1 C1 ) ，与 A2 B2 C2 矛盾22所以 A2B2C2 是钝角三角形6 C.精品文档22ab，得 sin A asin B33 ，解析：由2 sin Asin Bb2 22而 ba， 有两解，即 A 60或 A1207A解析：由方程可得( sin A sin C) x2 2xsin B sin Asin C 0 方程有两个不等的实根， 4sin2 B4( sin2 A sin 2 C) 0由正弦定理abc，代入不等式中得b2 a2 c2 0，sin Asin Bsin C再由余弦定理，有2ac cos A b2 c2 a2 0 0 A908 B解析：由余弦定理得cos A 1，从而 sin A3，则 AC 边上的高 BD 3 3 2229A解析：由a 3 b3 c3 c2333 ( a b c) c2332a b ca b c ( ab) 0a b c( a b)( a2b2ab c2) 0 ab 0， a2b2c2 ab 0( 1)由余弦定理 ( 1) 式可化为a2 b2 ( a2 b2 2abcos C) ab 0，得 cos C 1 ， C 60 2由正弦定理abc，得 sin Aa sin 60， sin Bb sin 60，sin Asin Bccsin 60 sin A sin B ab( sin 60 ) 23，c24 ab 1， ab c2将 ab c2 代入 ( 1) 式得， a2 b2 2ab 0，即 ( a b) 2 0，a b c2 ABC 是等边三角形.精品文档10D解析：由正弦定理得sin A a sin B ，中 sin A 1，中 sin A 53 分析后可知b9有一解， A 90；有两解，A 可为锐角或钝角二、填空题11 60或 120 解析：由正弦定理ab计算可得 sin A3 ， A 60或 120sin Asin B212等腰解析：由已知得2sin Bsin C 1 cos A 1 cos( BC) ，即 2sin Bsin C 1 ( cos Bcos Csin Bsin C) ， cos( B C) 1，得 B C， 此三角形是等腰三角形13 21 或61 解： S 1absin C， sin C3 ，于是 C 60或 C12022又 c2 a2 b2 2abcos C，当 C 60时， c2 a2 b2 ab，c21 ；当 C 120时， c2 a2 b2 ab， c61 c 的长度为 21 或 61 141053 解析：由余弦定理可得c2a2b2 2abcos C，然后运用函数思想加以处理 2x23x 2 0， x1 2， x2 1 2又 cos C 是方程 2x2 3x 20 的一个根， cos C 1 2由余弦定理可得c2 a2 b2 2ab ( 1 ) ( a b) 2 ab，2.精品文档则 c2 100 a( 10a) ( a5) 2 75，当 a5 时， c 最小，且 c75 53 ，此时 a b c 5 5 53 10 53 ， ABC 周长的最小值为10 53 15 13解析：由正弦定理及sin A sin B sin C2 5 6，可得 ab c 25 6，于是可设 a 2k ， b 5k ，c 6k ( k 0) ，由余弦定理可得a2 b2 c24k236k225k25，cos B2ab(k)(6k)82 2 sin B1 cos2B 39 8由面积公式 S ABC1ac sin B，得21 ( 2k ) ( 6k) 393 39，284 k 1， ABC 的周长为2k 5k 6k 13k 13本题也可由三角形面积(海伦公式 )得13k(13k 2 k)(13k5 k)(13k 6 k) 339 ，22224即 3 39 k 2 3 39 ， k 144 ab c 13k 1316 6 5 4解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用由正弦定理得a sin A sin 2C 2cos C，即 cos C a，c sin Csin C2c由余弦定理 cos C a222(a )()2bcca cb2ab2ab ac 2b，2 ( )a c2( ) a cb a cbac cos C22，2ab2a.精品文档2() a ca a c2 2c2a整理得2a2 5ac3c20解得 a c 或 a 3 c23 A 2C， a c 不成立， ac3 cc b a c 22 2 5 c ，4 ab c 3 c 5 c c 6 5 424故此三角形三边之比为6 5 4三、解答题17 b 4 3 ， c 8， C 90， B 60或 b 43， c 4， C 30， B120 解：由正弦定理知ab44 33， b4 3sin Asin Bsin 30sin Bsin B2 B 60或 B 120 C 90或 C 30 c 8或 c 418分析：设山对于地平面的倾斜角EAD ，这样可在 ABC 中利用正弦定理求出BC ；再在 BCD 中，利用正弦定理得到关于的三角函数等式，进而解出角解：在 ABC 中， BAC15， AB 100 米， ACB 45 15 30根据正弦定理有100 BC，sin 30sin15 BC 100 sin15 (第 18题)sin 30又在 BCD 中， CD 50， BC 100 sin 15， CBD 45， CDB 90，sin 30100 sin15根据正弦定理有50sin 30sin 45sin( 90 )解得 cos 31， 42.94 山对于地平面的倾斜角约为42.94 19解： ( ) 由已知及正弦定理可得sin Bcos C 2sin Acos Bcos Bsin C， 2sin Acos B sin Bcos C cos Bsin C sin( B C) .精品文档又在三角形ABC 中， sin( B C) sin A0， 2sin Acos B sin A，即 cos B 1 ， B23( ) b2 7 a2 c2 2accos B，7 a2 c2 ac，又 ( a c) 2 16a2 c2 2ac， ac 3， S ABC 1 acsin B，2即 SABC 1 33 33 22420分析：由于所证明的是三角形的边角关系，很自然联想到应用正余弦定理解：由余弦定理a2 b2 c2 2bccos A； b2 a2 c2 2accos B 得a2 b2 b2 a22bccos A 2accos B， 2( a2 b2) 2bccos A 2accos B，a2b2 b cos Aa cos B c 2c由正弦定理得a 2R sin A， b 2R sin B， c 2R sin C， a 2 b 2 b cos A a cos Bc2c sin Acos B sin Bcos Asin C sin( A B) sin C故命题成立.