大学物理一计算题1

1、均匀带电细线ABC成如图所示的形状,其线电荷密度为人,试求圆心。处的电势。aJ./aABOCD解：两段直线的电势为2ln240半圆的电势为O点电势V（2ln2）402、有一半径为a的半圆环，左半截均匀带有负电荷，电荷线密度为-入，右半截均匀带有正电荷，电线密度为入，如图。试求：环心处O点的电场强度。解：如图，在半圆周上取电荷元dqdqdladdEdf由对称性4oaEExdExdEcos22-cosd02oa20a3、一锥顶角为9的圆台，上下底面半径分别为R和R,在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为（T,求顶点。的电势。（以无穷远处为电势零点）解：以顶点O作坐标原点，圆锥轴线为X轴向下为正.在任意位置x处取高度为dx的小圆环，其面积为dx八tan,dS2r2xdxcoscos其上电量为_tgdqdS2xdxcos它在。点产生的电势为dU4dq0，r2tanxdxcos40x2tan2x2tandx20UdUtan总电势20x2dxxi(R2Ri)4、已知一带电细杆，杆长为l,其线电荷密度为人=cx,其中c为常数。试求距杆右端距离为a的P点电势。解：考虑杆上坐标为x的一小块dxdx在P点产生的电势为1dxcxdxdU40Iax40Iax求上式的积分，得P点上的电势为1xdxcIa乙(la)ln(1I5、有一半径为a的非均匀带电的半球面,电荷面密度为(Tcos0,0-0为恒量0试求：球心处O点的电势。解:上取一圆环,dqdsds22Rsin圆环的电势dU4RsinRdRddq0RUdU22RsinRd040R20Rcossind02206、有一半径为a的非均匀带电的半圆环,电荷线密度为入=入0cos0,入0为恒量。试求:圆心处。点的电势。解：在半圆上取电荷元dq,dUdqdq40adladOxdU20COsd24002-7、有宽度为a的直长均匀带电薄板，沿长度方向单位长度的带电量为入试求：与板的边缘距离为b的一点P处的电场强度(已知电荷线密度为入的无限长直线的电场强度为b解:如图，取宽为dx的窄条为研究对象,视为无限长带电直线，电荷线密度为一dxa由无限长带电直线电场公式，有dxdEa20(abx)娜踊侗娜P板IB1场强dl鹿窄条为对象，视为无限长PdE带电直线，电荷线密度为dxdEEx=0EydExaa020(abx)dlad,abIn20abdxdEcosdcos0220dEydEsind.sin0220ba有瓦状直长均匀带电薄板，面电荷密度为，瓦楞的圆半径为a,试求：轴线中部一点Por)处的电场强度。(已知电荷线密度为人的无限长直线的电场强度为E-2解:9、电荷以相同的面密度(T分布在半径分别为R1=10cm和R2=20cm两个同心球面上。设无限远处电势为零，球心处的电势为V0=300V。(1)求电荷面密度(T；(2)若要使球心处的电势也为零，外球面上的电荷面密度CT 应为多少(=X10-12 C2N1m2)解：(1)U10q4RiU20U0U10U20q14R1q24R2一(RR2)4r28.859,210 c/mU0(R1R2)(2)010、如图，长直圆柱面半径为R,单位长度带电为入，试用高斯定理计算圆柱面内外的电场强度qi斛：Eds0E-(Rr)11、电荷Q均匀分布在长为l的细杆AB上，P点位于解：1dE 4AB的延长线上，且与B相距为d,求P点的电场强度。dx-2XdxQx24l12、电荷Q均匀分布在长为l的细杆AB上，P点位于AB的延长线上，且与B相距为d,求P点的电势。解:dqQdx ldUH4 oxd l dqd 4 oxQdlln4old13、电荷Q均匀分布在半径为R的半圆周上，求曲率中心。处的电场强度。解：如图，在圆周上取电荷元dqdqdlQRdQ-ddEdq40R2由对称性,EyExdExdEcosdq40R2cos240R2cosd0R214、用细的绝缘棒弯成半径为R的圆弧,该圆弧对圆心所张的角为2a，总电荷q沿棒均匀分布，求圆心处的电场强度。解:如图,在圆弧上取电荷元dqdqdldE由对称性,R2四0R2EyqRdEExdExdEcos1dq2cos40Rq02R2cosd=-4q.厂sin0R215、求均匀带电圆环轴线上任一点P处的电场强度(圆环半径为带电量为Q)解：在圆环上任取电荷元dq,则dEdq0R2由对称性知，dEEExdExdq40R2x2,r2x21Qx，22、3/240(Rx)(2) E=0Vq4 0R21、一平板电容器的电容为1X10-11F,充电到带电荷为X10-8C后，断开电源，求极板间的电压及电场能量。解：U=Q/C=1000VW=Q/2C=X10-6J2、点电荷带电q,位于一个内外半径分别为R、R2的金属球壳的球心,如图，P为金属球壳内的一点，求：(1)金属球壳内表面和外表面的感应电荷；(2)P点的电场强度大小和P点的电势。解：(1)内表面感应电荷-q,外表面感应电荷q(3)We 2C3、圆柱形电容器，长度为L,半径分别为R和R,二柱面间充满相对介电常数为一的均匀介质。设电容器充电后，两极板单位长度上带电量分别为+入和-入，求：(1)两极板间的电场强度；(2)圆柱形电容器的电容；(3)它储有的电能。解:(1西高斯定理，柱形电容器极板间电场强度为1E2r0r(2)极板间电势差VEdrlnR2,2r0R1r0L,R2lR2LlnR2R14r04、如图，半径为R的金属球，带电Q球外有一层均匀电介质的同心球壳，其内外半径分别为R和R2,相对介电常数为P为介质中(1)试用高斯定理求P点的电场强度 E;(2)由E求P点的电势V解:由高斯定理，作半径为D 4 r2 Qr的球形高斯面QP点的电场强度大小Q4 o rr2方向径向向外(2)由以上结论介质中Q4 J2真空中Q4 r2P点的电势R2U EdrrEdrR2R2r 4J14 o r rQ 2 dr0 rr1QR2 40r2dr0 R2球半径为R,带电qi外有一同心金属球壳,半径分别为R、R ,金属球壳带电q2 ,求金属球和球壳之间一点 P的电势。RRP解：由静电感应，球壳内表 面带电q1,外表面带电q1 q2利用迭加原理，P点的电势U 1 ( 曳曳空)4 0 1r R2 R3 R3j的一点，离球心为r6、如图所示,平板电容器(极板面积为 S,间距为d)中间有两层厚度各为di和d2、电 容率各为e i和 2的电解质，试计算其电容。d2解:D dS D dS D dS= DS S 上下EiVaVb= di d2i2si 2sVa Vbdi 2 d2 i7、如图球形电容器，内外半径分别为 R和R,二球面间充满相对介电常 数为的均匀介质，当该电容器充电量为Q时，求:(1)介质内D,E的大小；(2)内 外球壳之间的电势差 AU ;(3)球形电容器的电容C; (4)它储有的电能R解:由高斯定理，作半径为r的球形高斯面D 4 r2 Q(2) UR2EdrRi(3)C(4)WeQUQ22Cc QD A 2 4 rR2Q2 drRi 40 rr0 rRiR2R2 Ri- 2 Q (R2 R)80邓2w r RIR28、圆柱形电容器，长度为L,半径分别为弓和，二柱面间充满相对介电常数为er的均匀介质，当该电容器充电量为Q时，求:(1)圆柱形电容器的电容;(2)它储有的电能。1 QR2Edrln ，2 r 0 LRi解：由高斯定理，柱形电容器极板间电场强度为E-Q-极板间电势差U2r0r2r0rLr0LR2lnRi1 、 (2)WeQi Q，喑2C 4 r 0L(1),试写出通过闭合曲面s的电位移矢量D通量的高斯定理如图二，试写出磁场强度矢量H沿闭合曲线L的环流的安培环路定理。I4解：(2)(IlI2I3)2、如图所示，一根长为L ,均匀带电量为 Q的细棒，以速度V沿X轴正向运动，当细棒运动至与Y轴重合的位置时,细棒下端到坐标原点O的距离为a,求此时细棒在。点产生的磁感应弓虽度B。解：在细棒上距O点y取电荷元dq= dy ,由运动电荷的磁场公式0dqV0VQdB22dy方向垂直向里4y4LyBaLS理dy-VQLa4Ly4La(aL)3、在半彳5为a和b的两圆周之间，有一总匝数为N的均匀密绕平面螺线圈（即单位长度半径上的匝数为nL）,通以电流I,如图ba所示。求线圈中心O点处的磁感应强度。一，一NI解：取半径为r范为dr的圆环，dIdrbadBodl2rBdB0NIdr2r(ba)R0NIdrr2r(ba)JLlnb2(ba)a3 .r dr4、一半径R的圆盘，其上均匀带有面密度为（7的电荷,圆盘以角速度绕通过盘心垂直于盘面的轴转动，试证其磁矩的大小为C1d4pmW（TK04解：取半径为r宽为dr的圆环,22dpmdIr2rdrr2R3.14Pmrdr-R04解：I 17 I , I 23 IIBBi2RBB1 B2 0Bli 0,Bl2Ii 33 I,B2 2R 432R(sin 2 sin 1 )I21322R 432R5、用两根彼此平行的半无限长直导线Li、L2把半径为R的均匀导体圆环联到电源上，如图所示。已知直导线上的电流为I。求圆环中心。处的磁感应强度的大小。6、内外半径分别为a、b的圆环，其上均匀带有面密度为6的电荷，圆环以角速度绕通过圆环中心垂直于环面的轴转动,求：圆环中心处的磁感强度大小解:dqB2RdIndqbdBa2 rdr dB 2bdr (ba 22包dr2r 2a)7、如图，两段共心圆弧与半径构成一闭合载流回路， 对应的圆心角为0 (rad)电流强度为I。求圆心。处的磁感应强度B的大小和方向。B 解： 2RBa22a 2BbI2b 2B BaaBbr(b1) ads2rdr8、将通有电流I的导线弯成如图所示的形状,求O 点处的磁感强度矢量的大小和方向。解：由圆电流公式BaB上2RI4aBbBaBbI4b(ba)ab9、如图所示，电荷Q均匀分布在长为b的细杆上，杆o以角速度绕垂直于纸面过O点的轴转动。点在杆的延长线上，与杆的一端距离为a,求O点处的磁感应强度B的大小。解:dqQ . dx ba b odIa 2x adI ndqa b0 Q . dxa 2x2 b aQ .dx2 bo Q, a bIn4 b bx10、将通有电流I的导线弯成如图所示的形状。点解:dB4RIdlR20I11、04R2（方向向里）在半径为2a的无限长金属圆柱体内挖去一半径为a无限长圆柱体，两圆柱体的轴线平行，相距为a，如图所示。今有电流沿空心柱体的的轴线方向流动，电流均匀分布在空心柱体的横截面上,设电流密度为62aaa求P点及。点的磁感应强度。解:半径为2a的圆柱体在p点的磁感应强度B1为:B?dlBB12oI2a2Bi2r0半径为a的小圆柱体在p点的磁感应强度B22aoIoa2B2B2为:oa2空心圆柱体p点的磁感应强度B为:B,B；一B2fB1为:(2)半径为2a的圆柱体在o点的磁感应强度Bi2aoIoa2Bi半径为a的小圆柱体在o点的磁感应强度B20空心圆柱体o点的磁感应强度:B= B112、将通有电流I的导线弯成如图所示的形状，B o a22求O点处的磁感强度B。解:dB 4dBABBCDIdl-2 roIdl4 b2Bbco2 a oIo 4 b2Babo14 b2dlo1BBabBcd8aoI(3a b)8ab(方向向内)正方形中心处的磁感应强度的大小和方向。13、如图，有一边长为a的正方形导线回路，载有电流I,求解:14、螺绕环通有电流I,总匝数为N。如图所示，求螺绕环内的磁感强度。解：BdloNIB2roNIBoNI12r0NIdBdS0hdr2rR2d4n比电2R115、一根很长的铜导线载由电流10A,在导线内部作一平面S,如图现沿导线长度方向取长为计算通过平面S的磁通量铜的磁导率l的一段，试S解:0Ix2R2iBdliBd1cos0B2x至R216、RBldx00II2R2Rxdx0oil-1.010461=1m半径R的圆盘，其上均匀带有面密度为(T的电荷，圆盘以角速度绕通过盘心垂直于盘面的轴转动,磁感强度。求：圆盘中心处的,一ndi斛：dq2rdr,dIn2rdr,dB,B2rondrUoq/2R与圆心的距离为a的P点的磁感应强度。17、半径R的一个载流圆线圈，通有电流I,求：轴线上0IdlsinaId10.解：dB20丁，a900,BdBxdBsinI0IR23(a2 4r4r18、如图，一无限长薄平板导体，宽为a,通有电流I,求和导体共面的距导体一边距离为d的P点的磁感应强度。I1dkP解：如图，在薄板上取窄条，视为无限长直线电流,dI-dxadBodloldx2(adx)2a(adx)dBaoldx011adIn02a(adx)2ad方向垂直纸面向里1、一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为，当它绕其轴线以角速度转动时，磁矩为多少若圆盘置于均匀磁场B中，B的方向平行盘面，如图所示，圆盘所受磁力矩大小为多少解：取半径为r,宽为dr的圆环为研究对象dPmSdISr2didqT2rdr2dPm34rdrR4PmBsinR4B(2)要维持线圈在图示位置所需的外力矩。I30o df Idlf1f3IBlIBl sin 3002、正方形线圈可绕Y轴转动，边长为l,通有电流I。今将线圈放置在方向平行于X轴的均匀磁场B中，如图所示。求：(1)线圈各边所受的作用力;MPmM ISBsin1200 IBl 2 sin12003、如图所示,在XOY平面内有四分之一圆弧形状的导线半径为R,通以电流I ,处于磁感应强度为B的均匀磁场中，磁场方向垂直向里。求圆弧状导线所受的安培力。解:dfIdl BdfIBdlfx2 IB cos0RdIBR同理fyIBRf fxfy2IBR方向：与x轴正向成45度XdXxY9xX X4、如图所示,在XOY平面内有四分之一圆弧形状的导线半径为R,通以电流I,处于磁感应强度为B ak的均匀磁场中，a为正常数，求圆弧状导线所受的安培力。解:YOdF Idl B IBdl dFx 旧c0s dl dFy IBsin dl解:FxIB cos dl IBRoFy IBRFFx2Fy2、.2IBR解：dF IdlF dFB I (dxiRI 0 (bdxdyj ) (ai bj ) I (bdx ady) kady) k IR(b a) k5、如图所示，在XOYf面内有四分之一圆弧形状的导线，半径为R通以电流I,处于磁感应强度为Baibj的均匀磁场中，a、b均为正常数，求圆弧状导线所受的安培力。6、半径为R的平面圆形线圈中载有电流I2,另一无限长直导线AB中载有电流Ii,设AB通过圆心，并和圆形线圈在同一平面内（如图），求圆形线圈所受的磁力。解:dFBLdlBioI1dFdldlRd2rdFxdFcoso2Rcosd2rdFx1也d22FFx0-yd0I1I2rRcos2（方向向右）B7、如图所示，一平面半圆形线圈放在一无限长直导线旁，且两者共面。长直导线中通有电流I,半圆形线圈中也通有电流I,半圆形线圈的半径为R,中心到直导线的距离为R,求（1）AB边受的磁场力的大小和方向；（2）BCA圆受的磁场力的大小和方向。cosxx（dxxtg）1cosx20I 1解:FabBiIlBiFABoI（方向向左）dFB1Idl2oI2-dlrdldFdFcosoI2cos2rRd8、在同一rRRcosFFx120Icos22(1cos)平面（方向向右）上有一条无限长载流直导线和一有限长载流直导线，它们分别通有电流I1及I2。尺寸及位置如图所示。求有限长oI22导线所受的安培力解：dF=I2dxBsin90 =I 2dx2(axcos)F=0I1I2b20dx0I1I2axcos2cos方向：垂直I2指向左上9、如图所示,一等腰直角三角形线圈放在一无限长直导线旁，且两者共面.长直导线中通有电流11,角形线圈中通有电流I2,求线圈各边受力的大小和方向。解：FAB01112aFac2d0I1方向向左FBC0ad0I10I1I2adI2dxsin9012dxInd2x2d方向向下方向垂直斜边向上10、如图所示，一矩形线圈放在一无限长直导线旁,且两者共面。长直导线中通有电流11,线圈中通有电流I2,求线圈各边受力的大小和方向解:FabFcdBI2dlsin90dau0110-L12dld2l2aI101必ln(2)向上和向下2dF ADuI1,.一-I2b向左2dFBC0l2b2(da)向右X X X X X11、如图，半径为R的半圆形导线载有电流I,放在磁感强度为B的匀强磁场中，B的方向垂直向里，求该半圆形导线所受的磁场力的大小和方向。XXXXX解：dfIdlBdfIBdlfxIBcosRd0x0ffvIBsinRdIB2Ry0