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精选优质文档-倾情为你奉上不等式专题复习知识回顾一不等式的主要性质:(1)对称性:(2)传递性:(3)加法法则: (同向可加)(4)乘法法则: (同向同正可乘)(5)倒数法则:(6)乘方法则: (7)开方法则: 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小: 作差法(作差变形判断符号结论)3、应用不等式性质证明不等式二解不等式1.一元二次不等式的解集:2、简单的一元高次不等式的解法:(穿根法)其步骤是:(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶不过;(3)根据曲线显现的符号变化规律,写出不等式的解集。3、分式不等式的解法(转化为常规不等式) 注意:右边不是零时,先移项再通分,化为上两种情况再处理4、不等式的恒成立问题: 应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上三、线性规划1、用二元一次不等式(组)表示平面区域2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法:定点法3、线性规划的有关概念:线性约束条件 线性目标函数 线性规划问题 可行解、可行域和最优解:4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤:(1)寻找线性约束条件,列出线性目标函数;(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;(3)依据线性目标函数作参照直线ax+by0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解四均值不等式1若a,bR,则a2+b22ab,当且仅当a=b时取等号.2如果a,b是正数,那么变形: a+b; ab, 当且仅当a=b时取等号.注:(1)当两个正数的积为定值时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定值时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”(2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等”3.常用不等式有:(1)(根据目标不等式左右的运算结构选用) ;(2)a、b、cR,(当且仅当时,取等号);(3)若,则(糖水的浓度问题)。典例剖析题型一:不等式的性质1. 对于实数中,给出下列命题: ; ; ; ; ; ; ; ,则。其中正确的命题是_题型二:比较大小(作差法、函数单调性、中间量比较,基本不等式)2. 设,试比较的大小3. 比较1+与的大小4. 若,则的大小关系是 .题型三:解不等式5. 解不等式 6. 解不等式。7. 解不等式8. 不等式的解集为x|-1x2,则=_, b=_9. 关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为_10. 解关于x的不等式题型四:恒成立问题11. 关于x的不等式a x2+ a x+10 恒成立,则a的取值范围是_ 12. 若不等式对的所有实数都成立,求的取值范围.13. 已知且,求使不等式恒成立的实数的取值范围。三基本不等式题型五:求最值14. (直接用注正数)求下列函数的值域(1)y3x 2 (2)yx15. (配凑项)(1)已知,求函数的最大值。(2)当时,求的最大值。16. 求的值域。注意:在应用均值不等式求最值时,若等号取不到,应结合函数的单调性。17. 求函数的值域。18. (条件不等式)(1) 若实数满足,则的最小值是 .(2) 已知,且,求的最小值。(3) 已知x,y为正实数,且x 21,求x的最大值.(4) 已知a,b为正实数,2baba30,求函数y的最小值.题型六:利用基本不等式证明不等式19、已知a, b都是正数,并且a b,求证:a5 + b5 a2b3 + a3b219. 正数a,b,c满足abc1,求证:(1a)(1b)(1c)8abc16(12分)设a0, b0,且a + b = 1,求证:题型七:均值定理实际应用问题:20. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池(平面图如图),如果池外圈周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建筑单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价。四.线性规划题型八:目标函数求最值21. 满足不等式组,求目标函数的最大值22、已知实系数一元二次方程的两个实根为、,并且,则的取值范围是 23、已知满足约束条件: ,则的最小值是24、已知变量(其中a0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a的取值范围为 。25、已知实数满足如果目标函数的最小值为,则实数等于( )题型九:实际应用22. 某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元,售价50元;凤梨月饼每个成本20元,售价30元。现在要将这两种月饼装成一盒,个数不超过10个,售价不超过350元,问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个,可使利润最大?又利润最大为多少?易错点剖析1、抓住两边结构进行合理转化 抓住两边结构进行转化是不等式应用的重要一环,根据结论与条件,要想促使结论与条件的“沟通”,必须仔细分析结构特点,选用恰当的不等式或变式;例1、正数、 满足 =1, 的最大值 。分析(1)本题是求“积”的最大值,常规是向“和”或“平方和”转化,并根据“和”或“平方和”是否是定值,做出选择。 (2)要利用=1,就必须去掉根号,因此要向“平方和”转化,那么应用变式也就顺理成章了。解: , 当且仅当 即时取得“=”。 的最大值是 例2、已知正数、 满足 =1, 求 最小值;分析:将条件与结论放在一起,可以看出,要想从条件式推出结论式,必须完成从“和”向“平方和”的转化;若从结论入手转化,再利用条件,就必须完成从“平方和”向“和”的转化。显然,不管是由条件推出结论还是由结论转化再利用条件,都离不开变式。 解:, , 当且仅当时取得“=。 最小值是 。注:转化中必要的“技术处理” 对均值不等式的应用,除了要会从结构入手分析外,必要的“技术处理”还必须掌握如: “配系数”(将“”写成“”或“”); “拆项”(将“”写成“”); “加、减凑项”(将“”写成“ ” ); “升降幂” () 等都是常用的“技术处理”方法。例3、 已知 ,求证:分析:从结构特点和字母的次数看与变式吻合,可从此式入手。解: 若b0,则, 由 + 。例4、已知 求 的最小值。分析:本题求“和”的最小值,但“积”并不是定值,故需要进行“拆项”变形等“技术处理”,注意到 ,容易找到解题的突破口解:由 ,于是=,当且仅当 即时取“=”的最小值是16。另外也可由 = = 来求得此最小值。二、 使用均值定理的注意事项(易错提醒)1、 应用均值不等式求最值方便、快捷,但必须注意条件 “一正、二定、三相等”, 即涉及的变量都是正数, 其次是和(平方和)为定值或积为定值, 然后必须注意等号可以成立。 如的最小值是5 ; 但使用均值不等式容易误解为是4,因为不成立(不能取“=”)。2、 在使用均值不等式时,要注意它们多次使用再相加相乘的时候,等号成立的条件是否一致。如例4,要保证两次均值不等式的取等条件相同(同时满足)。3、 在使用均值定理求最值的时候,如果等号成立的条件不具备,应考虑用函数的单调性来解决。如求 的最小值,可利用函数的单调性来解决。三、 应用举例:循序渐进,学会变型(配套训练)1.求的最小值。 ( 2 )2.求的最大值。 ( )3.求函数 的值域。 ( - 1 , ) 不等式专题检测一、选择题: 1若,且,则下列不等式一定成立的是( )A BC . D2、若,则下列不等关系中不能成立的是 ( )A B C D3若关于的不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是 ( )A B CD4已知实数x,y满足x2y21,则(1xy)(1xy)有 ( )A最小值和最大值1 B最小值和最大值1C最小值和最大值 D最小值15设x 0, y 0, , a 与b的大小关系( ) Aa b Ba b Ca b Da b6若关于的不等式内有解,则实数的取值范围是( ) A B CD7若时总有则实数的取值范围是( )ABCD8甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度m行走,另一半时间以速度n行走;有一半路程乙以速度m行走,另一半路程以速度n行走,如果m n,甲、 乙两人谁先到达指定地点( )A甲 B乙 C甲乙同时到达 D无法判断9设变量、满足约束条件,则目标函数的最小值为( )A B C D10.设f(x)是奇函数,对任意的实数x、y,有则f(x)在区间a,b上( )A有最大值f (a) B有最小值f (a) C有最大值 D有最小值第卷(非选择题,共100分)二、填空题: 11已知,求的取值范围 12若 13函数的值域为 14要挖一个面积为432m2的矩形鱼池,周围两侧分别留出宽分别为3m,4m的堤堰,要想使占地总面积最小,此时鱼池的长 、宽 15、下列四个命题中:a+b2 sin2x+4 设x,y都是正数,若=1,则x+y的最小值是12 若|x2|,|y2|,则|xy|2,其中所有真命题的序号是_.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)16 、已知的三边长满足,求的取值范围17. 设集合若 ,求实数a的取值范围18一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有 的面积,问应如何设计十字型宽及长,才能使其外接圆的周长最短,这样可使绕在铁芯上的铜线最节省专心-专注-专业
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