小学奥数重点方法归纳总结2.1

小学奥数重点方法归纳总结原作者：爱国者（QQ：1184477909）修订者：爱国者（QQ：1184477909）1糖水定理适合：计算问题内容：两个真分数分子分母差相同，分母或分子大的真分数大 两个假分数分子分母差相同，分母或分子小的假分数大.理解：如果（ba，且a、b均为正整数）（x为正整数），则可看作，真分数中“溶剂”一定，“溶质”大的真分数的分母大，“浓度”（即分数值）大.假分数则和真分数相反例题：【1】比较：、（） 答案：【2】比较：a，b，c.（） a与b比较，a和b同时除以，可看成是与比较，ab.其他同理.答案：cba2数字和定理适合：计算问题内容：a999999（n个9）M（M为正整数），当999999（n个9）M时，（a）（999999（n个9）注：（a）表示a的数字和.理解：举例：9999（100001），（9999）（）（9999）.其他同理.例题：【1】求（99991111）（） 9436 答案：36【2】若a151515（1004个15）333333（2008个3），则a所有位数上的数字和等于 .（） a505005（1003个50）999999（2008个9），（a）（999999（2008个9），2008918072 答案：180723消9查错法适合：计算问题内容：A和B是正整数，则有以下性质： e（e（A）e（B）e（AB）e（e（A）e（B）e（AB）e（e（A）e（A）e（A）（n个e（A）e（An）式中n为正整数.利用式、式、式可以核查你所做的加法、减法、乘法、乘方的运算是否存在错误，称为消9查错法其中，将正整数A的数码9或某几个和为9的数码消去，直到余下的数码的和是一位数，称为消九运算，记为e（A）注意：消9查错法只能用来查错，不能用来判断运算的结果是否正确理解：消九运算可以看作是求一个数除以9的余数，式、式、式可以靠同余的可加减性、可乘性、可乘方性推出，关于同余的知识请参见“10同余”，关于消九运算的知识请参见同余【3】例题：【1】用消九查错法判断下面的计算是否存在错误（） 2337245873123544 答案：存在错误4弃九法适合：计算问题内容：加法数字谜中，不同的汉字代表不同的数码，有一个数码没有用上，且和除以9余a12345678945，945，视为余9，9a为没有用上的数码理解：弃九法可以靠同余的可加性推出，关于同余的知识请参见“10同余”例题：【1】在下列式子中，不同的汉字代表不同的数码，数码 没有用上兔年十六届华杯初赛2011（）12345678945，945，视为余9，9（2011）5 答案：55进位与数字和的关系适合：计算问题内容：加法数字谜中，（式子中用上的数码的和所有数码的和）9此次加法运算中进位的次数“进位与数字和的关系”和“数字和定理”合称“数字和两大定理”在这里归纳一下数字谜高频考点弃九法和进位与数字和的关系一般加法数字谜都会牵扯到五位分析法：首位、末位、进位、不进位、位数除法数字谜特有：继承位，减法数字谜特有：不变位，109三角空位，借位，不借位总共就是十位分析法还有一些特殊的分析法：范围分析法、弃九分析法（弃九法）、质因子分析法等，用法视具体题目而定理解：加法数字谜中，进一次位，向下一位位进一，数字和10，被进一的那一位致使数字和1，进一次位，数字和9例题：【1】在下列式子中，不同的汉字代表不同的数码，5没有用上，进了 次位兔年十六届华杯初赛2011（）1234678940，40（2011） 94（次）答案：46余数三招适合：数论问题内容：N为正整数，a、b、c、d、n为自然数加同和：N除以a余b，N除以c余d，当abcd时，Na，cn（ab）减同差：N除以a余b，N除以c余d，当abcd时，Na，cn（ab）取同余：N除以a余b，N除以c余d，当bd时，Na，cnb加同和、减同差、取同余合称“余数三招”理解：例题：【1】不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈问最多有多少名同学（） 题目可以转化成：N除以5余8，N除以8余5，其中N为学生人数，本题符合加同和，根据加同和公式，N40n13n2时，N最大，4021393（人） 答案：93 【2】N除以3余2，N除以2余1，问N至少是几（） 2，3（32）5 答案：57排列组合三宝适合：计数问题内容：、插板法插板法就是在n个元素间的n1个空中插入b个板，可以把n个元素分成b1组的方法使用插板法必须满足三个条件：（1） 所要分组的元素必须互不相异（2） 所要分组的元素必须全部分完（3） 所分成的每一组至少分得一个元素m组分n个元素，每一组至少有一个元素：m组分n个元素，每一组至少有a个元素：m组分n个元素，每一组都可以没有元素：、捆绑法在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先考虑整体，将相邻元素视作一个大元素进行排序，然后再考虑大元素内各元素间顺序的解题策略就是捆绑法、插空法在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先排其他元素，然后将要求不相邻的元素插到其他元素的空位中（包括两端空位）的解题策略就是插空法插板法、捆绑法、插空法合称“排列组合三宝”理解：例题：【1】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由4个非0数码组成，且4个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试 次（）在9个数码1的8个空位中放入3块板，使9分成4个数，有56（种）分法，即要试56次 答案：56 【2】将10个球放入3个盒子内，有几种放法？（）本题属于插板法中“每一组都可以没有元素”类型，有66（种） 答案：66 【3】A，B，C，D去照相，排成一排若A，B必须相邻，有多少种排队方式？（） 12（种） 答案：12【4】一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种添加方法？（） 4520（种） 答案：20 【5】小悦买了10块相同的巧克力，每天最少吃一块，直到吃完，共有多少种吃法？（） 本题可运用插板法解 由插板法，10个元素9个板，易知答案应为：，有公式：2n，所以答案应为29，512 事实上，我们可以用整体法解释29因为每个板都有两种选择：插与不插，共有9个板的空位，根据乘法原理，29就是答案 答案：5128约数三定律适合：数论问题内容：下列算式中，S 、a、b、x、y为正整数，a、b、c为质数（1） 约数个数定律 Saxby，数S有（x1）（y1）个约数 （2） 约数和定律 Saxby，数S的约数和为（a0a1ax）（b0b1by） （3） 约数积定律 Saxby，数S的约数积为S的次方三定律简记：指数加一再连乘，每个质因子不同次幂相加再连乘，自身的约数除以二次方理解：a列b列意表省略axbya0B0a1B1axby（1） 约数个数定律依照上表，a列有x1个数，b列有y1个数，根据乘法原理，共可搭配出（x1）（y1）个约数 （2） 约数和定律 依照上表，记a列和为Sa，记b列和为Sb，则约数和a0Sba1SbaxSb，提取公因数Sb，则原式变为：SaSb（a0a1ax）（b0b1by） （3） 约数积定律 接下来将以72为例说明此定律 1 2 3 4 6 8 9 12 18 36 72把数72的约数全部找出来后，利用高斯配对法，发现必能找到有（约数个数2）对两个约数的乘积为72，依此可以推出约数积定律公式，完全平方数中（约数个数2）的计算结果视为小数计算，计算方法是：指数取整，计算后再乘上要计算的完全平方数的平方根例题：【1】恰有8个约数的两位数有 个（） 根据约数个数定律，符合条件的数a7a1b3abc经试验，符合条件的数有10个 答案：10 【2】1001的倍数中，共有几个数恰有1001个约数？（） 100171113，1001有3个约数这些数是1001的倍数，这些数至少有3个约数；又这些数是1001的约数，这些数至多有3个约数综上所述，这些数有3个约数，形如axbycz，有（x1)（y1）（z1）个约数根据x、y、z的赋值情况，推断出有A（3，3）6（个）这样的数 答案：6 【3】求360的约数和和约数积（） 36023325答案：1170、360189十字交叉法适合：应用题内容：十字交叉法又名浓度三角有甲、乙两杯溶液，假设甲浓度值（X）比乙浓度值（Y）大甲乙混合后重量ABAB浓度XYZA X ZY Z B Y XZ注意：十字交叉法也可以用在除浓度问题外的题目，凡存在XX占XX的比例的分百应用题都可以考虑用十字交叉法来做理解：十字交叉法实质是三个浓度与一个比例关系的互求证明：依据上表，列出方程：AXBY（AB）Z，AXBYAZBZ，A（XZ）B（ZY），例题：【1】现有浓度为20%的盐水100克，加入相同质量的盐和水后，变成浓度为30%的盐水请问，加了多少克盐？（） 100 50% 10%30% 50 20% 20%50225（克） 答案：25 【2】两个杯子里分别装有浓度为40%与10%的盐水，将这两个杯子到在一起混合后，盐水浓度为30%，若再加入300克20%的盐水，浓度为25%请问：原有40%的盐水 克（） 200 40% 20%30% 100 10% 10% 300 30% 5% 25% 300 20% 5%答案：200 【3】甲种酒精4千克，乙种酒精6千克，混合成的酒精溶液含纯酒精62%；如果甲种酒精和乙种酒精一样多，混合成的酒精溶液含纯酒精61%甲乙两种酒精中含纯酒精的百分比各是多少（） “甲种酒精4千克与乙种酒精6千克混合”可以看成“甲种酒精和乙种酒精各4千克（浓度为61%）与乙种酒精2千克混合”2 66% 1% 62% 8 61% 4% 66% 5% 61% 56% 5% 答案：甲种酒精浓度为56%，乙种酒精浓度为66% 【4】甲乙两种酒精溶液纯酒精含量分别为72%与58%混合后，纯酒精的含量为62%如果每种酒精都比原来多取15升，混合后，酒精含量为6325%第一次混合是，甲乙两种酒精各取了多少升？（） 72% 4% 62% 58% 10% 72% 525% 6325% 58% 875%945（份）5份15，1份34312（升），10330（升） 答案：甲种酒精取了12升，乙种酒精取了30升10同余适合：数论问题内容：若两个正整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：ab（mod m），读作a同余于b，模m 例：15365（mod 7），原因是36515350750 5620（mod 9），原因是56203694 900（mod 10），原因是90090109如果除数是一个正整数m，用m除一个整数，余数是0，1，2，m1中的某个，整数就可以依照余数分为m类，余数是1的整数是第1类，余数是m1的整数是第m1类，余数是0的整数是第m类，共有m类这时，除数称为模数，余数相同的类就称为同余类而且，可以用1，2，m1，0作这m个同余类的代表例如：当模数m3时，可以将整数分为3k、3k1和3k2（k是正整数）3个同余类，分别用1、2和0作代表注意：3做除法是除数，在将整数分为3个同余类时，3是模数但是，作为整数，他们完全相同当除数m固定之后，在同一类中的整数称为同余数同余式有以下性质： 反身性：aa（mod m）对称性：如果ab（mod m），则ba（mod m）传递性：如果ab（mod m），bc（mod m），则ac（mod m）可加减性：如果ab（mod m），cd（mod m），则acbd（mod m）可乘性：如果ab（mod m），cd（mod m），则acbd（mod m）可乘方性：如果ab（mod m），则anbn（mod m）同约性：如果acbc（mod m），（c，m）1，则ab（mod m）费马小定理：如果p是一个质数，那么apa（mod p），如果a不是p的倍数，则也可以写成：ap-11（mod p）注：费马小定理由皮埃尔德费马（PierredeFermat）发现，是数论中的一个重要定理同余你可能没有接触过，但是你一定明白那些性质的道理我们在整除性质已经接触过大部分同余性质的整除版本，但是有一些整除性质是不能推广成同余性质的，大家可以自己找一找在这里归纳一下数论高频考点 整除性质 整除问题 整除特征 整除技巧 约数三定律 约数倍数 完全平方数数论 短除模型 质数合数 质数明星 分解质因数 余数求解余数问题 带余除法 同余问题 剩余问题一 整除性质略二 整除特征 末位系列 数段和系列 3、9任意分段原则（无敌乱切法）整除特征 33、99偶数位任意分段原则（两位截断法）数段差系列 11奇和与偶和差（一位截断法） 7、11、13末三位与前面的差/三位截断法注意：数段差系列的余数判断一定要用奇和减偶和（不够减就补到够减为止）三 整除技巧除数分拆（互质分拆，要有特征）除数合并（结合试除，或有特征）试除技巧（末位未知，除数较大）同余划删（从前往后，剩得纯粹）断位技巧（两不得罪，最小公倍）四 约数三定律关于约数三定律的知识请参见“8约数三定律”五 完全平方数 末位 0、1、4、5、6、9特征 余数 3余0或14余0或1奇数个约数完全平方数偶指性六 短除模型关于短除模型的知识请参见“29短除模型”七 质数明星2唯一一个是偶数的质数、最小的质数5唯一一个末位是5的质数八 分解质因数质数：快速判断唯一分解定律见积就拆九 余数求解利用整除性质求余数利用余数性质求余数利用除数分拆求余数注：余数性质有三个：可加性、可减性、可乘性十 带余除式略十一 同余问题关于同余的知识请参见“10同余”十二 剩余问题关于剩余问题的知识请参见“17去同余、补同缺、和谐法、逐级满足法及中国剩余定理”在这里再补充两点（1）数论两宝：代数思想、枚举验证（2）数论方程解法约倍分析法（）尾数分析法（）余数分析（）同余分析法（）数论综合法（）大系数试值（）赋值讨论法（）注：在数论方程解法中，标记“”号的是要求精通的，标记“”号的是要求了解的说到了数论，顺便扩充一下“数学思想”的知识：数学思想不仅用于解决数论问题，在解决其他问题也有广泛的应用，能够灵活运用数学思想，就能解决很多题目如下代数思想（例：方程（组）数形结合（例：矩形图示法）分类讨论（例：枚举树）简化问题（例：短除模型）猜蒙试凑（例：一元二次方程）抵消思想（例：约分）逻辑推理（例：赛况分析）等量代换（例：换元法）集散思想（例：整体法）类比思想（例：行程）目标倒推（例：应用题）注：小学阶段还没有学到一元二次方程的解法，如果出现，一般用“赋值讨论法”（也就是猜蒙试凑）解决理解：同余是研究自然数性质的基本概念，是可除性的符号语言例题：【1】判定288和214对于模37是否同余（） 28821474372，288214（mod 37） 答案：288和214对于模37同余 【2】求14389除以7的余数（） 1433（mod 7），14389389（mod 7） 89641681，而33（mod 7），38162（mod 7），3164（mod 7），3644（mod 7），又38936431638344235（mod 7）143895（mod 7） 答案：14389除以7的余数是5 【3】设自然数N，其中，n、a、b、c分别是个位、十位、上的数码，再设Mabcn，求证：NM（mod m）（） Nn10nc102b101a1001001（mod 9）1011（mod 9）1021（mod 9）10n1（mod 9）式a，式b，式c，式n，然后全部加起来，得到NM（mod 9） 上式式，式，式，式均被称为同余式解同余式，中国有著名的中国剩余定理（也称“孙子定理”），关于中国剩余定理的知识请参见“17去同余、补同缺、和谐法、逐级满足法及中国剩余定理”答案： 【4】1993年的6月1日是星期二，问这一年的10月1日是星期几？（） 303131301123（天） 1234（mod 7） 415 答案：星期五 【5】111（1993个1）除以13余 （） 13111111（6个1），19931（mod 6）111（1993个1）111111000（1987个0）111111000（1981个0）111111000（6个0）1上式中仅有1不能被13整除，求111除以13的余数就等于求1除以13的余数11（mod 13） 答案：13附加1一元二次方程适合：应用题内容：之前提到了一元二次方程，说小学解决一元二次方程要猜蒙试凑，但是数学要求我们要有一个成熟的方法解一类题，实际上初中会学到一元二次方程的解法，我们在这里拓展一下为了方便大家记忆，我们说一个公式一般过于简单的一元二次方程我们不需要用来这条公式，可以直接开根号或提取公因数来解所有一元二次方程均可写ax2bxc0（a0），则x根式称为一元二次方程的判别式，用希腊字母“”表示一元二次方程的解也称为一元二次方程的根若0，则这条方程有两个不等的实数根（公式中出现了“”）；若0，则这条方程有两个相等的实数根；若0，则这条方程没有实数根，但有虚数根，简单说一下虚数，虚数用字母i表示i21，为什么要用到虚数呢？原因是负数的平方根无法借助实数表示，224，224，引入了虚数后，2i理解：例题：11二分图的匹配适合：杂题内容：逻辑问题，抽象起来可以归属于图论中的“二分图的匹配”问题二分图，就是顶点集合可以划分成两个部分，VV1V2，如V1有p个点 ，记为V1v1，v2，vp，V2有q个点，记为V2vp+1，vp+2，vp+q，而V1中任意一点，不会与V1中其他点联结，而只能与V2中某些点联结；V2也如此一般的图记为GV，E，V是顶点集合，E是边（也可称为线）的集合V1中的点与V2中某一个点有肯定关系的，就画一条实线，否定关系的两点之间画一条虚线二分图遵循的原则有以下4条：（1） 肯定关系具有排他性（2） 肯定关系具有传递性（3） 任意两个类别的点之间要建立一个合理的完全匹配（4） 如果某一点与另一类中除一点外都是否定关系，那么与这一点只能是肯定关系理解：例题：【1】有A、B、C三位大学生，一位北京人，一位上海人，一位广州人，每人的业余爱好都是足球、围棋和歌舞三种中的一种，且只是一种，三人的爱好没有重复已知：A不喜欢足球，B不喜欢歌舞，喜欢足球的不是上海人，喜欢歌舞的是北京人，B不是广州人请判断三人的爱好和籍贯（） 北京 上海 广州足球 A围棋 B 歌舞 C答案A北京歌舞B上海围棋C广州足球12换元法适合：计算问题内容：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法理解：换元法实质就是等量代换思想例题：【1】（）（）（）（） （） 假设X 原式（X）（X）（X）X发现此时算式还是有重复的部分，可以再次使用换元法 假设XY原式Y（X）X（Y） XYYXYX （XY） 做完此题，我们可以归纳出：（a1X）(Xa2)X（a1Xa2）a1a2（关于归纳的知识请参见“22归纳与递推”） 简记为：有头无尾的小龙无头有尾的小龙有头有尾的小龙无头无尾的小龙小龙的头尾 答案：13皮克定理适合：求格点多边形面积内容：皮克定理也称毕克定理、皮克公式皮克定理由乔治皮克（GeorgPick）发现如果取一个格点做原点O，取通过这个格点的横向和纵向两直线分别做横坐标轴OX和纵坐标轴OY，并取原来方格边长做单位长，建立一个坐标系格点就是纵横两坐标都是整数的那些点一个多边形的顶点如果全是格点，这多边形就叫做格点多边形（1） 正方形格点阵中多边形面积公式（图形内部格点数图形周界格点数21）单位正方形面积（2） 正三角形格点阵中多边形面积公式（图形内部格点数2图形周界格点数2）单位正三角形面积理解：将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆，所以周界上圆在图内的面积为：图形周界格点数21所以格点多边形面积为：（图形内部格点数图形周界格点数21）单位正方形面积例题：【1】求出下图（1）、（2）、（3）的面积（）答案：（1）9，（2）7，（3）814几何七大模型适合：几何问题内容：1、 共边模型（等积变形）两个三角形等底等高则面积相等两个三角形底相等，它们面积的比等于它们高的比；两个三角形高相等，它们面积的比等于它们底的比共边模型是“模型之母”，考察比例在七大模型中占的比例最重2、 一半模型一半模型没有太大技术含量，不细说.如图 一半模型被认为是共边模型的变形，是个小模型，所以有老师说是“几何五大模型”的话就是没有算到一半模型（或是勾股定理）3、 共角模型（鸟头模型）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角两夹边的乘积比下图为共角模型最常见的4种 A D D E E D A A A D E CB C B C B C B 企鹅 麻雀 鸵鸟 老鹰上图均有：.注：“老鹰”一图EAB和DAC均为直角. D4、 蝴蝶模型（风筝模型） A任意四边形中的蝴蝶模型 S1；S1S3S2S4 S2 O S4 S3 B C梯形中的蝴蝶模型. A a D；S1S3S2S4 S1 S2 O S3 S4S2S4 B b CS1S2S3S4a2abb2ab整个梯形的对应份数为（ab）25、 燕尾模型从三角形一个顶点向对边上任意一个点画的线段，在线段上任取一点组成的图形会有如下关系.右下图为单燕尾模型，左下图为3燕尾模型，下述公式仅用于说明单燕尾模型. A O B D C6、 相似模型（金字塔模型、沙漏模型）在这里说一下相似模型的原理（证明）两个三角形，三个对应的内角的角度都一样的两个三角形，称为“相似三角形”，用符号表示两个相似三角形的相似关系.相似三角形对应边、高、中线、角平分线成比例，称为“相似比”（也称为“相似系数”），如果相似比为1，则称这两个三角形全等，用符号表示两个全等三角形的全等关系.（关于全等三角形的知识请参见“附加2全等三角形与相似三角形的判定”）相似三角形的面积比等于相似比的平方.如果DEBC，则有 A E F D F A D EB G C 金字塔 B G C 沙漏7、 勾股定理（商高定理）在直角三角形中，两条直角边长的平方加起来等于斜边的平方，用代数语言表达为：a2b2c2勾股定理自发现以来就有许多种证明，其中最为世人所熟知的就是赵爽的“弦图”关于弦图的知识请参见“15弦图及三垂直全等模型”. 朱实 a b 朱实 朱实 黄实 c 朱实 弦图理解：例题：【1】下图并列排放有三个正方形，其中正方形GBEF的边长为10厘米，求四边形DEGK的面积（） D C G F P O Q H K A B E连接BD、EG、FK作辅助线，则BDEGFK，根据蝴蝶模型，SDGQSBEQ，SEKOSFGOS四边形DEGKS正方形BEFG1010100（平方厘米） 本题亦可用“特解法”来求解因为题目中未提及关于正方形ABCD和正方形FKOP的任何条件，故可知DEGK的面积与这两个正方形无关既然对题目没有影响，我们可以把这两个正方形的面积视为“0”我们让正方形ABCD往B点缩小、让正方形FKOP往F点缩小，发现S四边形DEGKS正方形BEFG1010100（平方厘米）在这里归纳一下特解法本题所用的第二种方法“特解法”通常可以分为两类：1面积归0法（本题所用方法）2特殊点法（当题目有类似“某边上任意一点”的表述时，可以把那个点移动使其为中点、等分点或移动后与题目中已给出的某点重合），特解法一般只是做选择题或填空题时抢时间的简便“耍赖”方法，最好不在解答题上用到这种方法 答案：100 【2】下图对角线BD将长方形分割成两个三角形，AE和CF分别是两个三角形上的高，长度都等于6厘米，EF的长度为5厘米，求长方形ABCD的面积（） A D A D P E E F F B C B C连接AC，并作AP，APCF的延长线于点P，APEF5，CPAECF6612AC2AP2PC25212216913（平方厘米），ACBD13ABCD1362278（平方厘米）在这里归纳一下几何高频考点，有七大块，记为：6543211平面六个模型：边半角蝶燕似（共边、一半、共角、蝴蝶、燕尾、相似）平面五个技巧：割补旋移称（分割、补齐、旋转、平移、对称）立体四大题型：表体染还（求表面积、求体积、染色问题、三视图还原）平面三大方法：差不变法、特值法、容斥法平面二个定理：勾股定理、皮克定理平面一个难题：动点问题平面立体一个重要：方程1平面六大模型近几年杯赛考试淡化了六大模型中五大模型（一半模型、共角模型、蝴蝶模型、燕尾模型、相似模型）的考察，这四大模型能学会就最好，不能学会也没有太大问题共边模型依旧是考试热点，大家务必要掌握好2平面五个技巧略3立体四大题型“求表面积、求体积”这两种题型，求规则立体图形的题目难度较小，求堆积体的题目难度较大，一般可以用三视图法和切片法解决三视图还原是三视图法的逆运，一般给是你三视图，让你回答这个图形的形状，体积，表面积等4平面三大方法略5平面二个定理勾股定理近年来考的比例有上升，通常是结合弦图考6平面一个难题研究整个图形或图形若干点的运动轨迹的题目叫动点问题动点问题难度较大，考题形式多变7平面立体一个重要略附加2全等三角形与相似三角形的判定适合：几何问题内容：两个三角形，三个对应的内角的角度都一样的两个三角形，称为“相似三角形”，用符号表示两个相似三角形的相似关系.相似三角形对应边、高、中线、角平分线成比例，称为“相似比”（也称为“相似系数”），如果相似比为1，则称这两个三角形全等，用符号表示两个全等三角形的全等关系.相似三角形的面积比等于相似比的平方.能够经过平移、旋转、翻折完全重合的三角形称为全等三角形用符号“”来表示两个三角形的全等关系全等三角形判定有五个定理1三边对应相等的两个三角形全等【边边边】（SSS）2两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等【边角边】（SAS）3两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等【角边角】（ASA）4两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等【角角边】（AAS）5斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等【斜边直角边】（HL）注：SSide（边），AAngle（角），HHypotenuse（斜边），LLeg（直角边）注意：没有【边边角】（SSA）有同学可能会有疑问了：为什么没有边边角呢？【斜边直角边】HL不是边边角吗（斜边、直角边、90）？但是其实实际上HL的依据是【边边边】SSS因为根据勾股定理，确定了一条斜边和一条直角边就可求出另一条直角边补充一下相似三角形的判定.1.两角对应相等两三角形相似（AA）.2.两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似（SAS）.3.三边对应成比例,两个三角形相似（SSS）.4.斜边和一条直角边对应成比例，两个直角三角形相似（HL）.理解：例题：15弦图及三垂直全等模型适合：几何问题内容：勾股定理（关于勾股定理的知识请参见“14几何定理，6、勾股定理”）自发现以来就有许多种证明，例如：青朱出入图、梅鼎文证明、项明达图、欧几里德证明、伽菲尔德总统证法、火柴盒拼图其中最为世人所熟知的就是赵爽的“弦图”（也称“勾股圆方图”），见左下图周髀算经中提到：故折矩，以为句广三，股修四，径修五.既方之.外半卿一矩，环而共盘，得成三、四、五.弦图的本质是向内构造一半模型基本上勾股定理的所有证明方法都可以提炼出一个相同的图形三垂直全等模型，见右下图，图为3个常见的三垂直全等模型，这些三垂直全等模型每个都构成了3个直角（有些倾斜的直角并未在图中标记出直角符号）三垂直全等模型其实是从弦图中衍生出来的一个模型，当我们解直角三角形或正方形的试题时，在很多情况下可以考虑构造弦图来解决，有时候是完整的弦图，有时候只需一半弦图三垂直全等模型附加一个弦图三个正方形面积的性质（图见左上）：（外表的大正方形的面积内部的小正方形的面积）2中间的斜着的正方形的面积在这里归纳一下平面几何面积、立体几何体积的高频考点立体几何体积：柱体体积：底面积高锥体体积：底面积高台体体积：高（上底下底）球体体积：半径3平面几何面积：三角形：底高 矩形：长宽 正方形：边长2 平行四边形：底高 梯形：（上底下底）高 筝形：（对角线A对角线B） 圆：半径2理解：例题：【1】如图，正方形ABCD面积为16，DEFG也是正方形，AG长3，三角形CDE的面积是 （） E E C C D D H I F J K F B A G B A G如右上图作出弦图，AD4DA2AG2DG2，DG5HGDA4HG2DH2DG2，DH3同理，EI3SCDECDEI24326答案：616柳卡图适合：行程问题内容：本次介绍解决多次相遇行程问题的必备工具柳卡图柳卡施斗姆生于瑞士，曾任法国科学院院士，提出了柳卡问题（关于柳卡问题的知识请参见16柳卡图【4】），最后，一位数学家首先使用柳卡图解决了柳卡问题，柳卡问题得以彻底解决柳卡图，也称为折线图，可以很好的解决复杂的行程问题快速的解法是直接画距离-时间图（S-T图），再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成柳卡图 1能够区分相遇与追及；2能够通过相似（关于相似模型的知识请参见14几何模型，6、相似模型）求路程 3能够利用路程求时间使用柳卡图一般需要知道每个物体走完一个全程时所用的时间或物体之间走完全程的时间比 其中“相遇”两字广义上讲，只要两人在同一地点就算相遇，因此分为两种情况，一种叫做迎面相遇（即我们平时说的相遇），一种叫做追及相遇（即我们平时说的追及），一般题目说的相遇，我们默认指的是迎面相遇，若题目说只要两人在同一地点算做一次相遇，那么这时两种情况都要计算我们做行程题都要画图，柳卡图是线段图的简化版，一般用来解多次相遇问题，线段图则什么行程题都能用在这里归纳一下行程高频考点一、画图“行程不画图，越做越糊涂”在做行程题之前希望大家先画图行程图有三类：线段图、柳卡图、份数图（1）柳卡图柳卡图三个能够1能够区分相遇与追及；2能够通过相似（关于相似模型的知识请参见14几何模型，6、相似模型）求路程3能够利用路程求时间柳卡图两步1准备工作：时间比2开始画图：标时间三种情况柳卡图有奇效1追遇不分2流水相遇3上下坡遇（2）份数图知道速度比画份数图，讲究量份对应（3）线段图线段图画图三技巧1有上有下，有里有外（例：甲画在路程上，乙画在路程下）2不同人物，不同颜色（例：甲走的路程用黑色标注，乙走的路程用红色标注）3不同速度，不同线型（例：甲原速度用实线，加速后用双实线，减速后用虚线）线段图看图两原则1看同一段时间里的路程关系2看同一段路程里的时间关系二、常考题型有固定解题思路和模式的 没有固定解题思路和模式的猎狗追兔 环形行程火车过桥 变速问题多次相遇 多人行程间隔发车 变道问题扶梯问题 走走停停钟表行程 多节点行程 接送问题 多过程行程一个特殊的流水行船1猎狗追兔猎狗追兔不用愁，谷式思维两步走（1）求比例（2）设速度算路程比求速度比设数求解注意：最后要确保：狗走狗步，兔走兔步2火车过桥核心公式路程（和或差）速度（和或差）相应时间注一般情况下：一个时间一个过程一个草图一个算式考点总结（1）火车过静态物有长度无长度（2）火车过动态物超车问题追人问题错车问题遇人问题注：、为结合追及问题，区别在于有无长度、为结合相遇问题，区别在于有无长度3多次相遇略4间隔发车间隔发车问题，一个模式套到死核心公式：发车间隔一般解题思路画草图，找路程（和或差），列方程方程依据（1）车间距相遇时间速度和（2）车间距追及时间速度差5扶梯问题核心公式（1）顺梯而行：可见级数人走级数梯走级数（2）逆梯而行：可见级数