金融经济学：第7章 套利定价理论APT）

第第7章章 套利定价理论（Arbitrage Pricing Theory，APT）第一节第一节 套利交易行为套利交易行为一、套利一、套利（Arbitrage）的概念的概念 套利指的是利用同一种（或等价的）实物资产或证券的不同价格来赚取无风险利润的行为。1.特征：（1）买入、卖出同时完成；（2）交易者不承担任何风险；（3）不需要投资但有正的收益，或者交易利润率大于无风险利率。o 风险套利：实践中的套利行为 投资者在特定市场同时进行买入、卖出交易的行为。 先寻找具有不同价格的商品交易机会，当价差大到足以补偿交易成本以及所承担的可能风险时，套利者会迅速两边下单，完成交易。 套利与投机交易的区别o 盈利的理念不同。o 操作的方式不同。o 套利的风险较小。o 套利的成本较低。二、身边的套利交易o 1.50ETF上的套利交易o 可以在一级市场上用一篮子股票进行申购和赎回，又可以在二级市场上直接买卖。o 瞬时套利o 延时套利o 事件型套利o 2.金属市场期货市场上的套利o 上海期铜与伦敦期铜的正套：买伦敦铜卖上海铜。o 3.外汇套汇三、套利交易的基本方式（一）跨品种交易 利用两种不同的，但相互关联的品种的合约价格差异进行套利，即买入某一交割月份某种品种的合约，同时卖出另一相同交割月份、相互关联的品种的合约，以期在有利时机同时将两种合约对冲平仓获利。 在商品期货市场，分成两种情况：一是相关商品之间的套利；二是原料与成品之间的套利。o 如小麦合约与玉米合约o 如7.30买入小麦：3.75；卖玉米：2.45o 9.30，小麦：3.5；玉米：2.1（二）跨市场套利o 在某个交易所买入（或卖出）某一交割月份的某种商品合约的同时，在另一个交易所卖出（或买入）同一交割月份的同种商品合约，以期在有利时机分别在两个交易所对冲在手的期货合约，以期在有利时机分别在两个交易所对冲在手的合约获利。o 注意的因素：运输费用、交割品级的差异、交易单位与汇率波动、保证金和佣金成本。o 注意的因素：o 运输费用o 交割品种的差异o 交易单位与汇率波动o 保证金与佣金成本（三）期现套利o 某种期货合约，当期货市场与现货市场在价格上出现差距，交易者就会利用两个市场低买高卖，从而缩小现货市场与期货市场间的价差。o 如9月大豆合约价格2660，现货价格2560.卖出期货，实物交割。o 要注意的问题：交割整理成本、运输成本、发票、质检成本、入库成本、仓储成本。（四）跨期套利o在同一市场（主要是指同一交易所）上同时买入、卖出标的相同、不同交割月份的期货合约，以期在有利时机同时将两个交割月份不同的合约对冲平仓获利。o分类:1.牛市套利:买入近期月份合约的同时，卖出远期月份合约而进行牛市套利。2.熊市套利:卖出近期合约的同时，买入远期合约而进行熊市套利。3.蝶式套利：利用不同交割月份的价差进行套期获利，由两个方向相反、共享居中交割月份合约的跨期套利组成。（五）无风险套利o 套利定价理论中的套利是无风险套利。它的特点是完全没有风险。四、套利交易发生的条件及其对市场的作用o （一）资产定价出现了偏差o 相同资产在不同市场上的价格不同o 相同现金流量的价格不同o 用未来价格确定的资产，其目前的交易价格不等于未来价格的现值。o （二）不存在对套利的限制以及套利成本小于套利收益。CAPM的局限性的局限性（一）相关假设条件的局限性 1.市场无摩擦假设和卖空无限制假设与现实不符； 2.投资者同质预期与信息对称的假设意味着信息是无成本的，与现实不符； 3.投资者为风险厌恶的假设过于严格；（二）（二）CAPM的实证检验问题的实证检验问题1.市场组合的识别和计算问题市场组合的识别和计算问题 理论上，市场资产组合定义为所有资产的加权组合，每一种资产的权数等于该资产总市场价值占所有资产总价值的比重。但实际上，市场资产涵盖的范围非常广泛，因此，在CAPM的实际运用中要识别一个真正的市场组合几乎不可能。 一些经济学家采用一个容量较大的平均数（如标准普尔工业指数）作为市场资产组合的替代，对CAPM进行了检验，得出的结果却与现实相悖。2.单因素模型无法全面解释对现实中资产收益率决定的影响因单因素模型无法全面解释对现实中资产收益率决定的影响因素素o Rosenberg and Marashe（1977）的研究发现，如果将红利、交易量和企业规模加入计量模型，则系数会更有说服力。o Basu（1977）发现，低市盈率股票的期望收益率高于资本资产定价模型的估计；Banz(1981)的实证研究表明，股票收益率存在“规模效应”，即小公司股票有较高的超常收益率；Kleim（1983）发现股票收益呈季节性变动，即存在季节效应。o 两方面的局限性都削弱了CAPM对现实经济的解释能力。（三）关于（三）关于CAPM检验的罗尔批评（检验的罗尔批评（Rolls Critique） Roll（1977）对CAPM提出了如下批评意见： 1.对于CAPM唯一合适的检验形式应当是：检验包括所有风险资产在内的市场资产组合是否具有均值-方差效率。 2.如果检验是基于某种作为市场资产组合代表的股票指数，那么如果该指数具有均值-方差效率，则任何单个风险资产都会落在证券市场线上，而这是由于恒等变形引起的，没有实际意义。 3.如果检验是基于某种无效率的指数，则风险资产收益的任何情形都有可能出现，它取决于无效指数的选择。 该结论断言，即便市场组合是均值-方差效率的，CAPM也是成立的，但使用前述方法得到的SML，也不能够证明单一风险资产均衡收益同风险、市场组合之间存在某种有意义的关系。 因此，罗尔认为，由于技术上的原因和原理上的模因此，罗尔认为，由于技术上的原因和原理上的模糊，糊，CAPM是无法检验的。是无法检验的。罗斯（Ross，1976）给出了一个以无套利定价为基础的多因素资产定价模型，也称套利定价理论模（Arbitrage Pricing Theory，APT）。该模型由一个多因素收益生成函数推导而出，其理论基础为一价定律（一价定律（The Law of One Price），），即两种风险收益性质相同的资产不能按不同价格出售。该模型推导出的资产收益率决定于一系列影响资产收益的因素，而不完全依赖于市场资产组合，而套利活动则保证了市场均衡的实现。同时，APT对CAPM中的投资者风险厌恶的假设条件作了放松，从而较CAPM具有更强的现实解释能力。第二节单因子模型第二节单因子模型 定义定义1 因子模型（或者指标模型）是一种假设证券的回报率只与不同的因子或者指标的运动有关的经济模型。o 因素模型中的因素常以指数形式出现（如GNP指数、股价指数、物价指数等）,所以又称为指数模型。o 单因素模型相对CAPM是为了解决两个问题：一是提供一种简化地应用CAPM的方式；二是细分影响总体市场环境变化的宏观因素，如国民收入、通胀率、利率、能源价格等具体带来风险因素的模型。o 以回归分析得单因素模型。一、因子模型的特点一、因子模型的特点 第一，因子模型中的因子应该是系统影响所有证券价格的经济因子； 第二，在构造的因子模型中，我们假设两个证券的回报率相关（一起运动仅仅是因为它们对因子运动的共同反应导致的）； 第三，证券回报率中不能由因子模型解释的部分是该证券所独有的，从而与别的证券回报率的特有部分无关。下表反映了公司i的股票收益率和国内生产总值（）的增长率（简记为因子）和通货膨胀率（简记为因子I）年的统计情况。ir年度5.7% 1.1% 14.3% 2 6.4 4.4 19.2 3 7.9 4.4 23.4 4 7.0 4.6 15.6 5 5.1 6.1 9.2 6 2.9 3.1 13.0ir假设证券的回报率生成过程仅包含一个因素，例如认为证券的回报率与预期国内生产总值的增长率有关。o 这一关系也可用下面的图形表示 24201612844826o 为了阐明图中所反映的数量关系，我们使用一元回归分析的统计技术做一条直线来拟合图中的点。那么，图中这条直线的回归方程则为R Ri i=4%+2GDP=4%+2GDPo 回归方程和直线都表示较高预期的GDP与较高的证券收益率相关联。o 任一给定证券的实际回报率由于含有非因素回报率的缘故而位于拟合直线的上方或下方。因此对例中的单因素模型多反映的关系的完整描述为：4%2iirGDPo 从方程中我们可以看出，任何一个证券的收益由三部分构成：o i：宏观因素期望变化为零时的收益，是投资者对证券的期初收益；o iG：系统性风险收益，即随整个市场运动变化不确定性（非预期的）的收益，且变化的敏感度是i；o i是与国内生产总值无关因素的作用，是非系统性风险收益，即只与单个证券相关的非预期事件形成的非预期收益。 iiiiRG二、单因素模型的一般形式二、单因素模型的一般形式 一般地，单因素模型认为有一个因素F对证券收益产生广泛影响，这种影响力通过对每种证券i在任意时期t的建立如下方程来反映：itiititRFo 是证券i在t时期的收益率， 是宏观因素在t期的值， 是证券i对宏观因素的敏感度， 是一个均值为零的随机变量， 是当宏观因素均值为零时证券收益率。 itRitFiti单因素模型有如下假设()0itE(,)0ijCov (,)0ittCovF 期望收益率：期望收益率：根据单因素模型，证券i的期望收益率可以表示为：()( )iiiE RE F方差方差：在单因素模型中，同样可以证明任意证券i的方差等于： 在这里，2F是因素的方差，2(i)是随机误差项的方差协方差协方差：在单因素模型中，计算证券间的协方差变得十分简单。2222()iiFi 2ijijF方程中证券i的期望收益、方差、协方差分别为： 先考虑一个宏观经济指标（）对公司i的股票收益率的影响，即研究与公司i的股票收益率 的关系。由一元线性回归可得如下方程：iriiiirGe( )( )iiiE rE G其中是随机变量，是由回归确定的系数。且 ， ， ，并有iieGr,2%,4ii0)(ieE0),cov(Geijieeji , 0),cov(现在我们来看公司i的股票的收益率的方差。因为 ，所以可以导出0),cov(Gei2222ieGii如果经统计测算出G增长率的方差是 ，非系统风险的方差是，则可算出股票收益率的方差为0003. 02G00152. 02ie00272. 02i 定义定义2 我们称上式中的我们称上式中的 为因子风险；为因子风险； 为非因为非因子风险子风险22iG 2ie再来看协方差。如果另外有一家公司j的股票，根据其业绩表现统计测算出它的。股票i和股票j的收益率的协方差可以容易地算出4j2Gjiij所以有0024. 00003. 042ij 结论：大大地减少了计算的工作量。因为如果组合大大地减少了计算的工作量。因为如果组合里里n项资产，计算组合的方差协方差矩阵需要进行项资产，计算组合的方差协方差矩阵需要进行 次方差协方差的测算，但现在只需要次方差协方差的测算，但现在只需要n个个 和个就可以了。（和个就可以了。（第一个性质第一个性质）2/ ) 1( nn,iieia 2Go 充分分散风险的投资组合充分分散风险的投资组合 假如一个投资组合是充分分散风险的，那它的厂商特定风险或非系统风险可以被分散掉，保留下来的只有因素（系统）风险，即收益与风险为： 1()pppppFnpiiirE rFw 这里：o 我们把充分分散的投资组合定义为：满足按比例分散持有足够大数量的证券组合，而每种证券i的数量又小到可以使非系统方差被忽略掉。 o 既然非系统风险因素可以被分散掉，那么只有系统风险在市场均衡中控制证券的风险溢价。在充分分散的投资组合中，各个厂商之间的非系统风险相互抵偿，因此，在一个证券组合中，与其期望收益相关的就只有系统风险了。 （第二个性质第二个性质） 第三节第三节 市场模型市场模型(Market Model) 在实际应用过程中常用证券市场指数来作为影响证券价格的单因素，此时的单因素模型被称为市场模型。 市场模型实际上是单因素模型的一个特例。iIiIi IiIrr 式中：r i代表某一给定时期证券i的收益率 I代表市场指数 ri代表相同时期市场指数I的收益率 iI是随机误差项假设一种股票在某一特定时期内的收益率与同一时期证券市场指数（如标准普尔500指数）的收益率相联系，即如果行情上扬，则很可能该股票价格会上升，市场行情下降，则该股票很可能下跌。因此，可以用市场模型的方程表示这一关系： 例子：考虑股票A，有Ii =2%，Ii=1.2，这意味着股票A的市场模型为： 2% 1.2AiIAIrr因此，如果市场指数回报率为10%，则证券A的回报率预期为14%（=2%+1.2*10%）。同样，如果市场预期的回报率为-5%，则证券A的预期回报率为-4%。注意：由于随机误差项的存在（表示证券回报率中没有被市场模型所完全解释的部分），当市场指数上升10%或下降5%时，证券A的回报率将不会准确地为14%或-4%。即，实际回报率和所给定市场指数回报率之间的差额将归结于随机误差项的影响。CAPM模型与单因素模型的关系模型与单因素模型的关系 CAPM可视为一个特殊的单因素模型，在那里的市场组合收益率rM实质上就是一个单因素。以市场组合的收益率的风险补偿来作为宏观经济指数，于是有：o rirf ii（rmrf ）i ，o 或者Ri =i+iRm+i （实际上这是证券i对市场组合收益的回归方程，其回归直线就是证券i的特征线）若用有风险资产的市场组合的收益率的风险补偿来作为宏观经济指数。于是ifMiifierrrr)(0,1,0MMMe因为上述关系对于证券组合也一样成立，如果就代表有风险市场组合本身，那么回归结果一定会有，i任何证券i的风险补偿和有风险市场组合的风险补偿之间协方差就应该是22MiMMiiM从而2/MiMi于是我们得到)()(fMiifirrErrE多出的一个是证券的收益超出由资本资产定价模型给出的市场均衡收益率的部分。显然，如果处于均衡状显然，如果处于均衡状态，对所有的资产来说，都应该有态，对所有的资产来说，都应该有i0i ）点和有风险市场组合点生成的双曲线不会在点与资本市场线相切。因为如果相切的话，将会导出点会落在证券市场线上的结论。 ）点也一定不会落在有效组合边界上。否则，由两基金分离定理知点和点生成的连线就是有效组合边界，这就与第点不符。0A%1A 如果在市场上有一个共同基金，它的运作水平使 将会出现什么情况呢？例如，现在市场的无风险利率是6%，有风险市场组合的风险补偿是8%，基金组合的值是0.5，。这时点会落在证券市场线的上面。可断言： pprMfr资本市场线AB资本市场线新资本市场线此时，优化地组合点和点得到的新组合就会落到资本市场线的上面。将这个新的组合再与无风险证券组合，就能得到比市场的均衡更好的效益。因此，如果能找到具有正的 的投资组合，就能够击败市场。A0A 事实上，如果对组合容许卖空的话，只要就可以设计出击败市场的投资策略。此类投资策略要成立，意味着市场在某些方面存在着缺陷而导致失衡。在市场实践中，表示有风险市场组合的宏观经济指数就是证券市场的价格指数。采用指数来代替有风险市场组合，通过统计方法测算出指数的统计特征，就可以大大简化计算工作量。 因此，指数化的投资策略提供了实际可行的途径。并且，证券市场的价格指数也就成为有风险资产估值和定价的基础，同时也是设计投资策略的强有力的工具。 但资本资产定价模是一个资产定价的均衡模型，而因素模型却不是。例如，比较分别由资本资产定价模型和因素模型得到的证券的预期收益率：()( )iiiE RE F()()ifMfiE RrE rr前者不是一个均衡模型，而后者是均衡模型既然单因素模型不是一个均衡模型，那单因素模型中参数i和i与资本资产定价模型中单因素i之间存在怎样的关系呢？例如，如果实际收益率可以看作是由单因素模型产生，其中因素F是市场组合的收益率rM，那么预期收益率将等于：()()iiiME RE r()(1)()iifMiE RrE r根据资本资产定价模型，如果均衡存在，则 这意味着，单因素模型和资本资产定价模型的参数之间必然存在下列关系：(1)iifiir我们可以再从以下角度看两个贝塔两个贝塔的关系：证券i的风险补偿与市场组合的风险补偿的协方差是： 这里：ii和资本资产定价模型（证券市场线）里的和资本资产定价模型（证券市场线）里的系数是完全一样的，这也就是我们为什么把指数模系数是完全一样的，这也就是我们为什么把指数模模型里对宏观经济变量的敏感度也定义为模型里对宏观经济变量的敏感度也定义为的原因的原因。21imimmm 2imim从而在资本资产定价模型和市场模型中都有一个被称为值的斜率，并且这两个模型或多或少地包含了市场，但是它们之间却有明显的区别明显的区别：首先首先，资本资产定价模型是一个均衡模型，它描述证券的价格如何确定；市场模型是一个因素模型。其次其次，资本资产定价模型是相对于整个市场组合而言的，即相对于市场中所有证券的集合。而市场模型是相对于某个市场指数而言，即基于市场中的一个样本。q虽然从严格意义上讲，资本资产定价模型中的值和市场模型中的值是有区别的，但是在实际操作中，由于我们不能确切知道市场组合的构成，所以一般用市场指数来代替，因此我们可以用市场因此我们可以用市场模型中测算的模型中测算的 值来代替资本资产定价模值来代替资本资产定价模型中的型中的 值值。 第四节多因素模型第四节多因素模型一、多因素模型的经验基础二、多因素模型一、多因素模型的经验基础一、多因素模型的经验基础 宏观经济状况影响着大部分企业，因而对经济前景的预期的变化被认为对绝大部分证券的收益率产生深刻影响。然而经济并不是一个简单统一的实体，因而我们需要确认一些具有广泛作用的共同影响力，比如：1.国内生产总值；2.利率水平；3.通货膨胀率；4.石油价格水平。多因素模型对现实的近似程度更高。这一简化形式使得证券组合理论广泛应用于实际成为可能，尤其是20世纪70年代以来计算机的发展和普及以及软件的成套化和市场化，极大地促进了现代证券组合理论在实践中的应用。二、多因素模型（二、多因素模型（Multifactor models） o 与单因素模型不同，当考虑多个因素对证券收益率的影响时，则产生多因素模型，多因素模型更加清晰明确解释了系统风险，从而有可能展示不同的股票对不同的因素有不同的敏感性，这可能会使精确性得以提高。o 作为多因素模型的一个例子，我们考虑一个双因双因素模型素模型，这意味着假设收益率生成过程中包含有两个因素。双因素模型在t时期的方程式为：F1t和F2t是两个对证券回报率具有普遍影响的因素，i1和i2分别是证券i对两个因素的敏感性。同单因素模型一样，it是随机误差项，i是当两个因素都取值为0是证券i的预期回报率。 1122itiitititRFF在双因素模型中，我们需要为每种证券估计在双因素模型中，我们需要为每种证券估计4个参个参数数：i， i1， i2以及随机误差的标准差it。对每个因素，需要估计两个参数：因素的预期值以及因素的方差和。此外还要估计两个因素的协方差此外还要估计两个因素的协方差cov(F1, F2)。o 预期收益率预期收益率 利用上述估计值，证券i的预期收益率可以由下式计算得出：o E(Ri) =i +i1 E(F1) +i2 E(F2)o 方差方差 根据双因素模型，任意证券i的方差为：o 协方差协方差 根据双因素模型，同样可以计算出任意两种证券i和j的协方差为：22111222112112()ov(,)ijijFijFijijCF F 222222112212122(,)iiFiFiiiCov F F 利用多元线性回归分析的知识和前面的例子，把G和I的影响都考虑在内，得到iiiGiIirGIe线性回归后可算出，用第六年的实际数据代入，可算得公司的预期收益的风险补偿是10%。则企业非系统性因子所产生的影响是。7 . 0, 2 . 2%,8 . 5iIiGi222222),cov(2ieiIiGIiIGiGiIG此时公司收益率的方差为 在多因素模型中，一个组合对某一因素的敏感性是对所含证券的敏感性的加权平均，权数为投资于各证券的比例。方程背后的假设是：方程背后的假设是： 1.证券收益率有数量相对较少的共同因素产生； 2.不同股票对各个因素有不同的敏感度，即系数； 3.各个公司的特有风险部分不相关，因而是可分散的。 多多因素模型的一般式是因素模型的一般式是 1122.itiitititRFF多因子模型：一般化的描述多因子模型：一般化的描述问题的一般化问题的一般化1122iiiiirFFe1122( )()()iiiiE rE FE F0)(ieEcov( ,)0ije Fjieeji , 0),cov(设122222221212122cov(,)iiiiiieFFF F 12221122122112()cov(,)ijijijijijFFF F 对共同因素的解释对共同因素的解释-共同因素可被看作有关宏观经济变量的新信息的代表。新信息：由于它代表新的信息，它们的均值一般为零。因而可被看作证券的期望收益。代表（proxy）：共同因素是宏观经济变量的可观测指标，而非宏观经济变化因素本身。例如，美国劳工部的就业报告，贸易赤字，石油价格等。-总之，共同因素是对范围广阔的市场指数的收益率而非只对单个股票产生影响的经济变量。因素估计方法总结因素估计方法总结估计方法估计方法优点优点缺点缺点因因素素分分析析根据项因素分析这样的统计过程来确定因素组合。因素组合为模仿各因素的证券组合。在给定的假设条件下能根据历史收益率得到最好的因素估计关于协方差不随时间变化的假设是关键，且在现实中可能被破坏；不能“指定”因素，音素的经济学含义不明确。宏宏观观经经济济变变量量挑选反映生产力、利率和通胀变化的宏观经济时间序列作为因素的代表。e.g.五因素（p185）提供关于因素的最直观的解释假定最合适的因素是宏观经济变量的非预期变化。宏观经济变量（如总生产力和通胀）的非预期变化可能难以度量难以度量、甚至难以难以量化量化。 估计方法估计方法优点优点缺点缺点公司特点利用公司的特点，如公司规模、市净率等，选取股票来构造因素投资组合比因素分析法直观；并不要求协方差为不时变的常数。如根据过去反常的收益率选择因素的投资组合，能解释历史的“意外情况”。在解释未来的期望收益时未必有效。（APT成立时与不成立时的情况）因素模型与系数11111,.KpppjjpjNpi iiNpiiiNpjijiNpiiiRFRx rxxx1.对因素系数的直观认识2.资产组合的多因素模型。若资产组合遵循K因素模型（见下），且资产组合有N种证券组成，则组合的收益率由右式决定。1KiiijjijrF利用因素模型计算协方差和方差依据多因素模型的因素系数计算协方差11121( ,)(,) ( ,)0, (,)0 , , (),/*Result 6.3*/()( )./*Result 6.4*/KKijijiimmijjnnjmnijmnKijimjmmmKiimmimCov r rCovFFif CovCov FFwhen ij mnthenVar FVar FVari 11 (,)0 ,(,)mnKKijimjnmnmnf Cov FFwhen mnCov FF 因素模型与证券收益率之间的相关性：在多因素模型中，因素系数的结构相似的证券或证券组合的收益率高度相关，而那些因素结构不同的证券彼此的相关性可能较低。因素模型在均方差分析中应用：与CAPM比较，对一个有N个证券组成的组合来说，CAPM需要计算N+N*(N-1)/2的方差与协方差，而K因素模型需计算K*N个系数，外加K个因素方差和N个残差方差。由于KN，N(K+1)*(N+1)-1N*(N+1)/2N2。计算量大大减小。因素模型与追踪投资组合依据因素模型设计拥有特定系数结构的资产组合，来追踪某种资产、负债或投资组合的风险收益关系。追踪投资组合与公司套期保值。通过卖空追踪公司股票对风险源的敏感度()的投资组合，公司可以对冲掉这些风险。i=i1+i2=0。这种套期保值操作未必要公司本身操作，投资者可以DIY。公司的资本分配决策与追踪投资组合。公司通过将资本分配到最有价值的投资项目来最大化公司的价值。追踪投资组合可以当作衡量相应投资项目价值的标杆。设计追踪投资组合具体步骤：1.确定相关因素的数量；2.利用第五节中的三种方法之一求解因素，并计算系数。3.为每个因素系数构造一个方程。方程的左半部分是投资组合中各证券权重的函数（各证券的系数根据权重相加），方程的右半部分追踪投资组合的因素系数。4.求解方程，得到追踪投资组合中各证券的权重。构建K因素模型的追踪投资组合，需要至少K+1种证券。纯因素投资组合可看作一种特殊的追踪投资组合。注意：计算时假定风险可分散的残差项为零，这意味着追踪投资组合通过K+1种已分散风险的投资组合构建。第五节套利定价理论第五节套利定价理论一、套利理论提出的背景CAPM基于众多的假设，其中的一些假设与现实不相吻合，而且检验CAPM时，难以得到真正的市场组合，致使CAPM不易被检验；一些经验结果与CAPM相悖。 Stephen Ross在1976年提出了一种新的资本资产均衡理论即套利定价理论（APT)。由于该理论认为风险可由几个因子产生，而不象CAPM那样基于一个风险因子，这与许多经验结果相吻合。并且，CAPM是APT的一个特例。APT的假定又大大少于CAPM的假定，市场组合在APT中不起作用，致使APT比CAPM容易检查。因此APT成为CAPM的一个较好的替代理论。二、二、APTAPT模型的假设模型的假设投资者是回避风险的，且以效用最大化为目标 存在一个完全竞争的资本市场，不考虑交易成 本因素的影响 当投资者具有在不增加风险的前提下提高回 报率的机会时，每个人都会利用这个机会，即个体是非满足的。 证券种类众多，并且彼此之间相互独立投资者认为任何一种证券的收益率都是一个线 性函数 而APT模型不需要以下的假设条件不需要以下的假设条件：o 单一投资期o 不存在税的问题o 投资者能以无风险利率自由地借入和贷出资金o 投资者以回报率的均值和方差选择投资组合o 对投资者的偏好和效用没有假设对投资者的偏好和效用没有假设对于一个充分分散化的投资组合P来说，其收益率和方差为FrErppp)(222Fpp 从而得到单因子模型的重要性质： 1、有关证券组合边界的计算量大大减少；、有关证券组合边界的计算量大大减少； 2、分散化导致因子风险的平均化；、分散化导致因子风险的平均化； 3、分散化缩小非因子风险。、分散化缩小非因子风险。 （一）充分分散的投资组合与套利定价理论如果有两个充分分散化的投资组合和，若BA就必定有)()(BArErE，否则要出现套利机会。例如，若1BA%8)(%,10)(BArErE我们卖空价值100万元的组合，同时将这卖空所得的100万元投资于组合，就能套取2万元的无风险利润。算式如下：到期多头的收益100)0 . 1%10(F100)0 . 1%8(F2100%2 到期空头的支付净利润单单因素资产定价线因素资产定价线1()ififrrr 0BiirAAB1（二）单个资产与套利定价理论o 假定投资者拥有3种证券，他所持的每种证券当前的市值为4000000美元。这三种证券具有如下的预期回报率和敏感性。这样的预期回报率与因素敏感性是否代表一个均衡状态？I预期收益率ri %敏感因子bi证券1150.9证券2213.0证券3121.8iiiieFbaro 套利组合（0.1，0.075，-0.175）o 预期收益为15%*0.1+21%*0.075+12%*9-0.175）=0.975%o 该套利组合包括购买1200元证券1和900元的证券2，卖空2100元的证券3.1231230.93.01.801521120 xxxxxx（三）套利定价理论与资本资产定价模型o 买卖行为导致套利机会减少最终消失，如果找不到满足满足预期收益率大于0的资产组合，此时存在非负的常数0 1 ，使得预期回报率和敏感性之间满足如下线形关系。o 对于一个纯因素组合，000,ifri的资产有r因此1011r 1()iffirrr111 pppffrrrr则三、套利定价模型的意义o 套利机制是实现金融市场均衡的重要机制o 唯一价格定律与套利交易密切相关o 期望收益取决于对风险因素的敏感性。三、套利机会三、套利机会 如果一种投资能够立即产生正的收益而在将来不需要有任何支付（不管是正的还是负的），我们称这种投资为第一类的套利机会。 如果一种投资有非正的成本，但在将来，获得正的收益的概率为正，而获得负的收益（或者说正的支出）的概率为零，我们称这种投资为第二类的套利机会。 任何一个均衡的市场，都不会存在这两种套利机会！ 无套利均衡分析方法无套利均衡分析方法是现代金融学研究的基本方法，其关键技术是组合复制技术。上述概念说明复制可以从正反两个方向来做：o复制未来的现金流，同时检查目前是否有价格失衡的套利机会；o也可以是现在的价格相等，复制未来在任何情况下都产生更为有利的现金流，或者未来在任何情况下都产生更为不利的现金流。o无论是都有利还是都不利都会产生套利机会，但必须是在任何情况下都有利或都不利。单因素的套利定价模型中先有这样的关系iiiieFrEr)()( , 0),cov(, 0),cov(jieeFejii其中是随机变量，是第项金融工具的实际实现的收益率，是宏观经济因子的实际值， ，是企业所特有原因对所发行的金融工具的收益所造成的扰动，且 ， 是第项金融工具的收益率对宏观经济因子的敏感度。iieFr,iF0)(FE0)(ieEieiiFir四、单因素的套利定价理论四、单因素的套利定价理论现在看一个非系统风险被充分分散化掉的投资组合。在这个组合里，项金融工具的权重为于是组合的收益率为n1, 1,1niiiwniwppppeFrEr)(其中niiipw1niiipewe1组合的方差为)(2222PFppe其中)()(1222niiipewe为了分析简单起见，假定组合中各项金融工具的权重相等，即有。于是有ninwi, 1,1)(0)()(1)()(2121222nnenenneeiniiniip 即增加分散化能缩减总风险即增加分散化能缩减总风险。导致这个结果的原因在于，增加证券组合中证券的种类时，证券组合的市场风险（因子风险）近似保持不变，而证券组合的非因子风险却显著减小。 因此，对于一个充分分散化的投资组合P来说，其收益率和方差为FrErppp)(222Fpp 从而得到单因子模型的重要性质： 1、有关证券组合边界的计算量大大减少；、有关证券组合边界的计算量大大减少； 2、分散化导致因子风险的平均化；、分散化导致因子风险的平均化； 3、分散化缩小非因子风险。、分散化缩小非因子风险。 如果有两个充分分散化的投资组合和，若BA就必定有)()(BArErE，否则要出现套利机会。例如，若1BA%8)(%,10)(BArErE我们卖空价值100万元的组合，同时将这卖空所得的100万元投资于组合，就能套取2万元的无风险利润。算式如下：到期多头的收益100)0 . 1%10(F100)0 . 1%8(F2100%2 到期空头的支付净利润 但对于有不同值的充分分散化的投资组合，其预期收益率中风险补偿必须正比于值，不然也将发生无风险套利。 结论：如果两个充分分散化的投资组合有相同的值，如果两个充分分散化的投资组合有相同的值，它们在市场中必定有相同的预期收益它们在市场中必定有相同的预期收益。与宏观因子有关的 值风险补偿1.00.5ADC1076%4frr若把有风险市场组合看作一个充分分散化的投资组合，再以有风险市场组合的未预期到的收益变化作为系统风险的度量。有风险市场组合的值当然为，因为产生系统风险市场组合的值当然为，因为产生系统风险的因子就是它本身风险的因子就是它本身。 代表有风险市场组合的值( )和预期收益率之间的关系的点也落在图中的直线上，于是对任意充分分散化的投资组合，其预期收益率和值的关系就可表示成1M)()(fMPfPrrErrEQfQPfPrrErrE)()(KrrErrEjfjifi)()(对单个证券来说，套利定价理论要告诉我们的是：对于组合中的任意两项不同的证券来说，同样的关系式几乎也成立。即对任两项不同的金融工具和，有ijKrrEifi)(此处是对几乎所有的证券都一样的一个常数。从而对于任意组合中的金融工具，有i所以对任何充分分散化的投资组合，就一定有111()( )nnnPiifiiifpiiiE rwE rrwKwrK亦即有KrrEPfP)(对所有充分分散化的投资组合来说，都是相同的。第六节多因子的套利定价理论第六节多因子的套利定价理论再来讨论二因子的套利定价模型，然后推广到一般的情况。两个宏观因子的模型如下：1122( )iiiiirE rFFe其中是随机变量，是第项金融工具的实际实现的收益率，是宏观经济因子的实际值，是企业所特有原因对所发行的金融工具的收益所造成的扰动， 是第项金融工具的收益率对第个宏观经济因子的敏感度。且，iieFFr,21iir0)(jFE0)(ieEieijij21,FF)( , 0),cov(, 0),cov(, 0),cov(21jieeFeFFjiji由证券组合的定义1npi iirr则11221112211111122()()()()()npiiiiiinnnniiiiiii iiiiipppprFFeFFeFFe 其中11112211nnpiipiiiinnpiipiiiiee 多因子模型具有和单因子模型一样的重要性质： 1、有关证券组合边界的计算量大大减少；有关证券组合边界的计算量大大减少； 2、分散化导致因子风险的平均化；分散化导致因子风险的平均化； 3、分散化缩小非因子风险。分散化缩小非因子风险。 比如有因子组合和，前者的预期收益率为后者的预期收益率为 。设无风险利率为 ，则因子组合的风险补偿为 ，因子组合的风险补偿为8%101%122%4fr%6%4%10先引入因子组合因子组合的概念。因子组合是非系统风险已经因子组合是非系统风险已经充分分散化而消除掉的组合，对其中一个因子的值为充分分散化而消除掉的组合，对其中一个因子的值为而对其它的值为而对其它的值为。这种因子组合的构造在实际中是可行的，因为有价证券的种类很多而因子的数量又非常有限。多因子证券市场线中，因子组合将起到基准的作用。对任一个充分分散化的投资组合，它对两个宏观因子的值分别为和。多因子的套利定价理论指出，投资组合的总风险补偿应当是投资者承受这两种宏观因子的系统风险所应得到的风险补偿之和。而每种宏观因子的系统风险补偿等于相对于该因子的值乘以相应因子组合的风险补偿，即5 . 01A75. 02A%9%875. 0%65 . 0)()(2211fAfArr于是，投资组合的预期收益率就是无风险收益率加上总的风险补偿为13%如果投资组合的预期收益率不等于13%，例如是12%，则可以构筑如下的组合头寸：取权重为50%的因子组合，权重为75%的因子组合，再加上权重为-25%的无风险证券，构成一个新的组合，这个组合的预期收益率为0.5x10%+0.75x12%-0.25x4%=13%。同时构筑这个组合的多头和组合的空头，就能套取无风险利润。算式如下：这是零投资组合能套取无风险利润的情形。到期套利组合多头的收益到期组合空头的支付净利润 1%2175. 05 . 0%13FF)75. 05 . 0%12(21FF从这个简单的例子可以发现，套利组合是这样构筑的：对于任意一个暴露在和这两个宏观因子的系统风险下的投资组合，分别以其值 、为权重选取因子组合和，再加上权重为 的无风险证券。这一组合实际上复制了组合，所以组合可由此套利组合给出定价1F2F1P2P211PP)()(2211fpfpfrrrfppppprrE)1 ()(212211再推广到一般的情况：1( )niiijjijrE rFenjfjpjfprrrE1)()()()()(2211fififirrrrE先推广到单个证券的情况： 第七节第七节 APT的理论推导的理论推导（不做考试要求）（不做考试要求）假设假设1：市场是完全竞争、无摩擦、无限可分假设假设2 2：投资者是非满足的：当投资者具有套利机会时，他们会构造套利证券组合来增加自己的财富。 假设假设3 3：所有投资者有相同的预期：任何证券i的回报率满足k因子模型： 1( )kiiijjijrE rFe假设假设5 5：市场上的证券的种类远远大于因子的数目k。假设假设4： 0, cov( ,)0, cov( ,)0, ()iijijE ee Fe eij 注：因子模型说明，所有具有等因子敏感度的证券注：因子模型说明，所有具有等因子敏感度的证券（组合），除去非因子风险外，其行为是一致的（组合），除去非因子风险外，其行为是一致的。因此，所有具有等因子敏感度的证券（组合）的期因此，所有具有等因子敏感度的证券（组合）的期望回报率是一样的，否则，就会存在第二类套利机望回报率是一样的，否则，就会存在第二类套利机会，投资者就会利用它，直到消除这类风险为止。会，投资者就会利用它，直到消除这类风险为止。定义定义6.3 如果一个证券组合满足下列三个条件： 1、初始价格为零；、初始价格为零； 2、对因子的敏感度为零；、对因子的敏感度为零； 3、期望回报率为正。、期望回报率为正。 我们称这种证券组合为套利证券组合套利证券组合。 若证券市场处于一个均衡状态，在这时的证券市场若证券市场处于一个均衡状态，在这时的证券市场里，不需要成本、没有因子风险的证券组合，其期望里，不需要成本、没有因子风险的证券组合，其期望回报率必为零回报率必为零。 我们选择证券组合（1，2，n ），使得其成本为零，即10nii（6.1）该证券组合的回报率为111111 nnnnpiiiiiikki iiiiirE rFFe 为了得到无风险的证券组合，我们必须消除因子风险和非因子风险。满足下面三个条件的证券组合符合这一要求： （1）所选的每个权i充分小； （2）所包括的证券种类尽量多； （3）对每个因子而言，所选的权使得证券组合的因子敏感度为零。 用数学式子表示，这些条件是 （1）i1n （2）n是一个很大的数 （3）对每个因子而言，111111 nnnpiiiiiikkiiiniiirE rFFE r 从而10niiki （6.2） 在我们构造的证券组合的过程中，投资者既不需要成本，也不承担风险，如果构造的证券组合的回报率不为零，它就是一个套利证券组合，当市场达到均衡时，这是不可能的。因此， 满足上述条件的组合，其回报率一定为零，即1 0npiiirE r（6.3） 将（6.1）、 （6.2）、 （6.3）的内容用数学语言加以描述如下：如果1211(,)01Tn 1212(,)0jjTnjkj 成立则一定有1212 (,)0 TnnE rE rE r 由Farkas引理，期望回报率向量一定可以表示成单位常向量和因子敏感度向量的线性组合，即存在k+1个常数 ，使得01,k011 jjkjkE r （6.4）Farkas引理 设A为mn矩阵，c为n维向量，则有解的充要条件是 无解0,0TAxc x,0TA ycy如果存在无风险证券，其回报率为 ，显然fr0fr 假设 是对第j个因子有单位敏感度但对其他的因子敏感度为零的证券组合的期望回报率，则由（6.4）有jjjfr1( )()kifijjfjE rrr 即APT可以表示为套利机会存在的条件（或套利组合的建立）套利机会存在的条件（或套利组合的建立）o 设市场有N种证券，Wi表示投资者对证券持有权数的变化根据套利的定义，套利有自融资功能，套利组合中买入证券所需资金由证券获得。o 根据套利的定义，如果套利机会存在，套利组合不承担风险，对任何因素的敏感性为零，o 即 ，J=1,2,.K N需大于J，o 根据套利的定义，套利须获得非负的收益。 0PJb123.00,1,2,3,.npjwwwwjkW112+ W222+ W 332+ W NN2=0W111+ W221+ W 331+ W NN1=0 W11K+ W22K+ W 33K+ W NNK=0第一个条件第一个条件：第二个条件：第二个条件： 即：即：这时满足这两个等式的任何一组解将成为潜在的套利组合，即满足自融资和无风险套利条件。o 因此，当一个组合满足上述三个方程时，便因此，当一个组合满足上述三个方程时，便存在一个能获得不承担风险的正的收益的套存在一个能获得不承担风险的正的收益的套利组合。利组合。231 123.0nnwrw rw rw r第三个条件：第三个条件：o 当套利机会不存在时，市场均衡。那么，当各种证券的期望收益处于什么状态时，没有套利机会呢？即各种证券的期望收益处于什么状态时，上述三个方程的联立解不存在呢？o 且仅当期望收益率是敏感性的线性函数时，上述三个方程的联立解不存在，即不存在套利机会，这时市场达到均衡。即有：套利定价方程套利定价方程o E(ri)= 01i1+2i2 +.Kiko ik是第i个证券第k个因素的敏感度。如果市场有无风险资产，上式为：o E(ri)= rf1i1+2i2 +.Kik 是因素组合的风险补偿：jjfr jo 投资组合的总的风险补偿应当是投资者承受宏观因素的系统风险所应得到的风险补偿的和。而每种宏观因素的系统风险的补偿等于相对于该因素的值乘以因素组合的风险补偿。o 因此，套利定价方程的一般形式是：1122( ).ifififikkfErrrrr 举例：单因素套利组合o 假定投资者拥有3种证券，他所持的每种证券当前的市值为4000000美元。这三种证券具有如下的预期回报率和敏感性。这样的预期回报率与因素敏感性是否代表一个均衡状态？I预期收益率ri %敏感因子bi证券1150.9证券2213.0证券3121.8iiiieFbaro 套利组合（0.1，0.075，-0.175）o 买卖行为导致套利机会减少最终消失，如果找不到满足满足预期收益率大于0的资产组合，此时存在非负的常数0 1 ，使得预期回报率和敏感性之间满足如下线形关系1011r 1()iffirrr1231230.93.01.801521120 xxxxxx单单因素资产定价线因素资产定价线1()ififrrr 0BiirAAB1举例：多因素套利组合举例：多因素套利组合o 假定证券的回报率可由两个因素模型产生：o 4种证券具有如下的预期回报率和敏感性：iiiiieFbFbar2211ibi1%bi2证券1150.92.0证券2213.01.5证券3121.80.7证券482.03.2iro 套利组合(0.1，0.088，-0.108，-0.08)123412340.931.82021.50.73.20 xxxxxxxx081221154321xxxxn通过购买证券1和2，同时出售证券3和4，使得证券1和2价格上涨，3和4价格下跌，推动市场均衡。即当满足前面三个等式的组合的预期回报率为0，均衡达到。o 如果找不到满足满足预期收益率大于0的资产组合，此时存在非负的常数0 1 2，使得预期回报率和敏感性之间满足如下线形关系：01122iiir 第八节第八节 APT与与CAPM的区别和联系的区别和联系o APT与CAPM最根本的区别最根本的区别在于， CAPM是典型的收益/风险权衡所主导的市场均衡，APT特别强调的是无套利均衡原则。 o 无风险套利机会建立市场均衡价格和收益/风险权衡关系建立市场价格均衡关系有着本质区别本质区别：o 收益/风险权衡关系所主导的市场价格均衡，一旦价格失衡，就会有许多投资者调整自己的投资组合来重建市场均衡，但每个投资者只对自己的头寸作有限范围的调整。o 套利则不然，一旦出现套利机会，每一个套利者都会尽可能大的构筑头寸，因此从理论上来讲，只需少数几位（甚至只需一位 ）套利者就可以重建市场均衡。o CAPM是典型的收益/风险权衡所主导的市场均衡，每一位投资者都按照自己的收益/风险偏好选择有效组合边界上的投资组合。如果市场组合中的某一项证券价格失衡，资本市场线就会发生移动，所有投资者都会吸纳价植被低估的证券而抛出价值被高估的证券。o 所以重建市场均衡的力量来自于许多投资者重建市场均衡的力量来自于许多投资者共同行为共同行为。o CAPM对证券回报率的分布和个体效用函数做对证券回报率的分布和个体效用函数做出假设出假设，APT没有相应的假设，但但APT假设证假设证券的回报率是由因子模型产生的券的回报率是由因子模型产生的；o CAPM中证券价格依赖于市场证券组合的回报率，为了定价首先必须给出市场组合回报率的估计，而在APT中证券价格依赖于因子的回报率中证券价格依赖于因子的回报率，为了定价必须首先给出因子回报率的估计。o 单因子模型211),cov()(MMfMrFrro 两因子模型211),cov()(MMfMrFrr222),cov()(MMfMrFrr存在一种经济环境，此时存在一种经济环境，此时APT的假设成立，证券的假设成立，证券的回报率由因子模型生成，同时，有关的回报率由因子模型生成，同时，有关CAPM的的假设也成立，假设也成立，APT与与CAPM是一致的是一致的 三种模型的比较三种模型的比较 1、CAPM和单指数模型在本质上是一样的和单指数模型在本质上是一样的 但CAPM要求有一个有风险市场组合，而单指数模型是利用一个在实际中与理论的有风险市场组合完全正相关的综合指数来代替实际不存在的有风险市场组合，故在实际的投资策略的制定中，单指数模型是有真正的实用价值； 2 2、APTAPT强调的是无套利原则强调的是无套利原则 它的出发点是排除无风险套利机会，少数投资者会构筑大额的套利头寸产生巨大的市场压力来重建均衡，它的成立只需要有充分分散化的投资组合，不象单指数模型一定要有对有风险市场组合有替代作用的市场指数； 3 3、CAPMCAPM则是典型的收益风险权衡所主导的则是典型的收益风险权衡所主导的市场均衡市场均衡，是许多投资者的行为共同作用的结果，它的成立依赖许多严格的假设条件； 4 4、APTAPT的定价并不是对所有的证券都成立的的定价并不是对所有的证券都成立的，由于它只强调无套利原则，而且这种无套利均衡定价是通过对充分分散化的投资组合的分析得出的，所以对有的单项资产其定价结论不成立，故所以对有的单项资产其定价结论不成立，故实践中实践中APTAPT主要对组合投资决策起支持作用主要对组合投资决策起支持作用； 5、单项资产在市场上定价失衡时，在、单项资产在市场上定价失衡时，在CAPM的的条件下，所有的投资者都会同时调整自己的头寸来条件下，所有的投资者都会同时调整自己的头寸来重建均衡重建均衡。因此对单项资产的定价，CAPM和单指数模型则有更广泛的应用，从而CAPM的那些有关市场的条件也是我们必须加以考虑的； 6、CAPM是是APT的特例，因为的特例，因为CAPM是单因子的，是单因子的，一般所指的一般所指的APT是多因子的。实质上，是多因子的。实质上，CAPM也有也有多因子的推广结果。多因子的推广结果。 另外，在使用APT时，还有一个对宏观因子的识别问题。不同的研究使用了不同的宏观经济指标。但归纳起来大致有以下三大类： 一是总量经济活动参数，如或的增长率、工业产出、总销售额等； 二是通货膨胀率； 三是与市场利率有关的参数如利率差或利率本身等。套利定价理论的经验检验 公司规模、市净率等对证券价格的影响是由于心理行为的影响还是由一些被研究者忽略的因素导致，这一争论还没有定论。因为，多因素套利定价理论的经验检验不如CAPM理论那样完善。下面是关于经验检验的文献综述。 APT理论的检验分析了三个推论三个推论：1所有因素值等于0的投资组合的预期收益率为无风险收益率。2证券的预期收益率的增长与特定的因素值的增长呈线性相关。3除了因素系数之外，没有其他任何股票的特征能够决定预期收益率。套利定价理论的经验检验来自因素分析研究的证据：来自因素分析研究的证据：开端开端：Roll and Ross, 1980。分析具有非零风险溢价的因素个数。结论：至少有三个风险因素，但不会超过四个。发展发展：Chen, 1983：在控制了不同规模的公司