大学物理：第六章 稳恒磁场

第六章 稳恒磁场基本内容：讨论恒定电流激发的磁场的规律和性质第一节 磁感应强度安培关于物质磁场本质的假设一切磁场现象起源于电荷的运动：任何物质中的分子，都存在有回路电流分子电流，分子电流相当于一个基本磁场磁场运动电荷（电流）激发磁场，其周围存在着磁场，磁场对运动电荷、载流导体和永久磁铁等有磁场力的作用一、 磁场磁感应强度：描述磁场性质的重要物理量与电学类似，通过运动电荷在磁场中所受的作用力来定量描述磁场 在磁场中某点处，放入一速度运动的正电荷，其受磁场力0qvF（）大小与和有关，且0qvvF（）在某一特定方向（或反平行）时，电荷不受力（此方向为磁场方向）v（）当与上述磁场方向垂直时，受力最大vmF点有确定值）对pvqFBm0(应反映磁场性质方向：磁场中某一点的磁感应强度的方向为该点处小磁针稳定时，极的指向vqFBm0定义：大小单位：单位：tesla（T），），1T=10000Gauss计算磁场的基本方法与在计算磁场的基本方法与在静电场中计算带电体的电静电场中计算带电体的电场场时的方法相仿，为了求恒定电流的磁场，我们也时的方法相仿，为了求恒定电流的磁场，我们也可将载流导线分成无限多个小的可将载流导线分成无限多个小的电流元电流元 的叠加。的叠加。1. 电流元的磁场电流元的磁场电流元可作为计算电流磁场的基本单元。电流元可作为计算电流磁场的基本单元。然后根据然后根据叠加原理叠加原理，就可以求出任意电流的磁场分布。，就可以求出任意电流的磁场分布。二、毕奥萨伐尔定律（计算恒定电流所激发的磁场的分布）lId2毕奥萨伐尔定律任意载流为的导体，所激发的磁场。 取电流元（方向：电流流向），在点的磁感应强度 为lIdBdlIdIrepr204relIdBdr02sin4IdldBr式中 ，真空中磁导率是 与矢量的夹角270104ANlIdr或304rrlIdBd 因此，由磁场叠加原理可得到载流导线在点的磁感应强度204relIdBdBr3定律应用举例解：建立图示坐标系，取电流元zId方向：图示（负ox方向）20sin4rIdzdB例题一：载流长直导线的磁场。一通有电流的长直导线，求导线外任一点的磁感应强度，已知与导线垂直距离为B0rzIdzxy21Bdpoz0rr所有电流元在点的 方向相同，则dB20sin4rIdzdBB因夹角）与为（，rIdzctgrz0cscsincsc0020rrrdrdzzIdzxy21Bdpoz0rr所以200220cscsin4cscIrdBr 分别是直电流 始点与终点处电流流向与的夹角21，rIdzzxy21dBpoz2100sin4Idr 0120(coscos)4Ir讨论（1）若直导线视为“无限长”，则210，002 rIB若 （半“无限长”直流导线）212，004 rIBIdzzxy21dBpoz，方向：)221 (2)221 (4)cos(cos40021021aIBaIaIBBQ（2）求P，Q点的磁感强度IaaaQp，方向：040aIBp21BBBQO载流圆线圈轴上磁场载流圆线圈轴上磁场讨论：（）当（圆电流中心处）RIB20（）Rx 3032022xISxIRB引入（磁矩），在称为磁偶极子Rx neIsmnexmxmB303022或写成 (电偶极子)3024xmB30241xpE2022 3 22()IRBRxylIdxoR例2：求圆电流中心的磁感强度024RIdledBR024IdlR0022dd44lllI lIBdBlRR02IRlIdrpIIIdlqvS三运动电荷的磁场。电流激发的磁场可以视为所有运动电荷所激发的磁 场叠加,取载流导线上电流元 ，其截面积为 ，单位体积内作定向运动的电荷数为 ，定向运动速度为 ,每个电荷带电为。lIdvqSn代入034IdlrdBr在电流元中有电荷数为，则一个运动电荷在处的磁感应强度ndVdN )(vq，r034dBqvrBdNrBBrrvvqqpp或写成024rqveBr方向：右螺旋法则IIdlqvS034nqsvdlrr第二节磁场的高斯定理与安培环路定理一磁场线：形象描述磁场的假想曲线磁场线上每一点切线方向与该点磁感应强度方向一致规定通过某点的垂直磁场方向上单位面积上磁场线数等于该点的大小BSNISNI特点：闭合曲线，互不相交二磁通量：通过磁场中某给定面积的磁场线总数cosssdBdsBdsBds式中是面积元的法线单位矢量与的夹角neBsBneds三磁场的高斯定理描述磁场性质的的基本定理即通过磁场中任一闭合曲面的磁通量恒等于零（磁场是无源场）由于磁场线是无头无尾的闭合曲线，所以0sdB四安培环路定理通常取电流流向与积分回路呈右螺旋关系，电流取正值。反之，取负值安培环路定理：磁感应强度沿任一闭合路径的线积分，等于该闭合路径包围的所有电流的代数和乘以 ，即0niiIldB101I3I2I4IL2. 安培环路定理的验证安培环路定理的验证以无限长载流直导线产生的磁场为例，证明安培环以无限长载流直导线产生的磁场为例，证明安培环路定理的正确性。路定理的正确性。a. 取对称环取对称环路包围电流路包围电流b. 取任意环取任意环路包围电流路包围电流c. 取任意环路取任意环路不包围电流不包围电流ILILLI注：回路均在垂直于导线的平面内注：回路均在垂直于导线的平面内Ia. 取对称环路包围电流取对称环路包围电流取环路的绕行方向为逆时针方向取环路的绕行方向为逆时针方向rIB20方向与圆周相切方向与圆周相切0d2LLIB dllrrlL2d 0LB dlI说明：说明：B 沿此圆形环路的沿此圆形环路的环流只与闭合环路所包围环流只与闭合环路所包围的电流的电流 I 有关，而与环路有关，而与环路的大小无关。的大小无关。rBdl0d cos0d2IB dlB llr2. 安培环路定理的验证安培环路定理的验证L00dd22IIB dlrr0LB dlIl dBL 与与 I 成成右手右手螺旋螺旋db. 取任意环路包围电流取任意环路包围电流d cosB dlB ldcosdrl说明：说明： B 的环流值与环路的的环流值与环路的大小、形状无关大小、形状无关。rOIrIB200d2LLIB dlL2L1L12LLLB dlB dlB dl说明：说明：当闭合路径当闭合路径 L 不包围电流时，该电流对沿这一不包围电流时，该电流对沿这一闭合路径的闭合路径的 B 环流无贡献。环流无贡献。Ic. 取任意环路不包围电流取任意环路不包围电流ACO12d cosd cosLLB lB l1200(dd )202LLII12LLBrdBrd根据根据磁场叠加原理磁场叠加原理，当有若干个闭合恒定电流存在，当有若干个闭合恒定电流存在时，沿任一闭合路径时，沿任一闭合路径 L 的合磁场的合磁场 B 的环路积分为：的环路积分为：0LB dlI安培环路定理安培环路定理一般的，对于任意闭合的恒定电流：一般的，对于任意闭合的恒定电流：0LB dlI两点说明两点说明（1）稳恒磁场是非保守场）稳恒磁场是非保守场0LB dlNILN（2）若电流回路为螺旋形，而电流）若电流回路为螺旋形，而电流N次穿过积分环路次穿过积分环路 则则讨论题讨论题1 通以电流 的线圈如图所示，在图中有四条闭合曲线，则其环流分别为III1L3L4L2L4321LLLLldBldBldBldBI0I02I02I02 前提条件：前提条件：如果在某个载流导体的稳恒磁场中，可以找到一条闭如果在某个载流导体的稳恒磁场中，可以找到一条闭合环路合环路 L，该环路上的磁感强度，该环路上的磁感强度 B 大小处处相等，大小处处相等，B 的方向和环路的绕行方向平行（或垂直），这样利用的方向和环路的绕行方向平行（或垂直），这样利用安培环路定理求磁感强度安培环路定理求磁感强度 B 的问题，就的问题，就转化为求路径转化为求路径的长度的长度，以及，以及求环路所包围的电流代数和求环路所包围的电流代数和的问题，即的问题，即0intdLLB dlBlILlIBdint0五、用安培环路定理求解磁场五、用安培环路定理求解磁场 适用范围：适用范围：电流的分布具有对称性电流的分布具有对称性1. 电流的分布具有无限长轴对称性电流的分布具有无限长轴对称性2. 电流的分布具有无限大面对称性电流的分布具有无限大面对称性3. 各种圆环形均匀密绕螺绕环各种圆环形均匀密绕螺绕环电流的分布具有无限长轴对称性的载流导体电流的分布具有无限长轴对称性的载流导体，包括无，包括无限长载流圆柱体、无限长同轴电缆、无限长均匀密绕限长载流圆柱体、无限长同轴电缆、无限长均匀密绕螺线管。螺线管。III电流的分布具有无限大面对称性的载流导体电流的分布具有无限大面对称性的载流导体，如无限，如无限大均匀载流平面。大均匀载流平面。各种形状横截面的圆环形均匀密绕螺绕环各种形状横截面的圆环形均匀密绕螺绕环I矩形截面矩形截面圆形截面圆形截面基本步骤：基本步骤：1. 首先用磁场叠加原理对载流体的磁场作首先用磁场叠加原理对载流体的磁场作对称性分析对称性分析； 2. 根据磁场的对称性和特征，根据磁场的对称性和特征，选择适当形状的环路选择适当形状的环路，使使 B 能以标量的形式从积分号内提出；能以标量的形式从积分号内提出；3. 利用利用环路定理环路定理求磁感强度。求磁感强度。五、用安培环路定理求解磁场五、用安培环路定理求解磁场解：解：1) 对称性分析：螺线对称性分析：螺线管内管内的磁感线是一组平行于的磁感线是一组平行于轴线的直线；且距轴线同远的点其轴线的直线；且距轴线同远的点其 B 的大小相同；的大小相同；外外部磁感强度趋于零部磁感强度趋于零 ，即，即 B = 0。PIIB1B2用磁场叠加原理作对称性分析：用磁场叠加原理作对称性分析：B例例1 无限长载流直螺线管内的磁场（无限长载流直螺线管内的磁场（n，I）几个典型的例子几个典型的例子LMNNOOPPMB dlB dlB dlB dlB dlB MN结论：结论：无限长载流螺线管无限长载流螺线管内部内部磁场处处相等（均匀磁场处处相等（均匀场），场），外部外部磁场为磁场为零。零。2) 选回路选回路 L+B回路回路 L 方向与所包围的方向与所包围的电流电流 I 成成右螺旋右螺旋。LNMOPnIB00nMNIdrLL例例2 求载流螺绕环的磁场分布求载流螺绕环的磁场分布(N,I,R1,R2,d)2) 选回路选回路 L。解：解：1) 对称性分析；对称性分析；B 线为与线为与螺绕环共轴的圆周。螺绕环共轴的圆周。d2LLB dlBlBrNII0int0)(2210RrRrNIBL ),(021RrRrB1R2RI(1)对均匀密绕螺绕环，磁场几乎全部集中于管内，在对均匀密绕螺绕环，磁场几乎全部集中于管内，在环的外部空间，环的外部空间，磁感应强度处处为零磁感应强度处处为零。注意：注意：密绕密绕细细螺线管内部磁场与长直载流螺线管内部螺线管内部磁场与长直载流螺线管内部的磁场相同。的磁场相同。Rr nIIRNB002注意注意(2) 当当 时，螺绕环内时，螺绕环内可视为均匀场可视为均匀场。dR 2dR)(2210RrRrNIBRRR21RI例例3 无限长均匀载流圆柱体的磁场无限长均匀载流圆柱体的磁场解解：1) 对称性分析对称性分析 2) 选取回路选取回路Rr IrB022020LrrRB dlIRIRrrB22020LB dlIIBdId.BrIB20202 RIrBRLrRBRIRI20BRorB 的方向与的方向与 I 成右螺旋成右螺旋,0Rr ,Rr 202 RIrBrIB20例例4 无限长载流圆柱面的磁场无限长载流圆柱面的磁场0LB dlI,Rr ,0Rr 0LB dlRI1Lr2LrBRorRI20解：解：0BrIB20例例5 在一无限大的导体平板上均匀流有电流密度为在一无限大的导体平板上均匀流有电流密度为 j 的面电流，求平板两侧的磁感应强度。的面电流，求平板两侧的磁感应强度。dIdIjdB1) 对称性分析：对称性分析：载流平面产生的磁场，其方向与平载流平面产生的磁场，其方向与平面平行，与平面电流成右手螺旋方向。面平行，与平面电流成右手螺旋方向。解：解：俯视图俯视图jBBLMNNOOPPMB dlB dlB dlB dlB dlMNOPMNlBlj02jB021均匀磁场均匀磁场2) 选回路选回路 L：矩形环路矩形环路思考：思考： 在两无限大的导体平板上均匀流有电流密度为在两无限大的导体平板上均匀流有电流密度为 j 的面电流，求平板两侧的磁感应强度。的面电流，求平板两侧的磁感应强度。jjjj0j0j0对比对比真空中两无限大的均匀带电平行板？真空中两无限大的均匀带电平行板？取一电流元取一电流元 lIdIIlIdabB第三节第三节 磁场对电流和运动电荷的作用磁场对电流和运动电荷的作用安培定律安培定律讨论载流的导线，在磁场讨论载流的导线，在磁场 中受力中受力B一、安培力（载流导线在磁场中所受的宏观力）一、安培力（载流导线在磁场中所受的宏观力） BlIdFd（安培定律）（安培定律）ababFdFIdlB所以载流导线受力所以载流导线受力2 安培定律应用举例解：取图示oxy坐标系，在半圆中取一电流元 ， 方向图示lIdIdlBdF cosdFdFx将 分解为FdsindFdFy例题：均匀磁场中，半圆形导线通有电流，其半径为，磁场与导线平面垂直，求半圆形导线的磁场力BddFlIdxoy由于半圆对称于y轴，0 xxdFF而sinsinyFFdFIBdlddFlIdxoy推断：一个任意弯曲的平面推断：一个任意弯曲的平面载流导线在均匀磁场中载流导线在均匀磁场中（ 垂直于该平面）所受到垂直于该平面）所受到的磁力，等效于弯曲导线起的磁力，等效于弯曲导线起点到终点的直导线在磁场中点到终点的直导线在磁场中所受的力。所受的力。B0sin2(2 )BIRdBIRIBRdFlId2Ixo1Iadxx解：取图示坐标系，解：取图示坐标系，因为水平导线处于不因为水平导线处于不均匀磁场中，今取一均匀磁场中，今取一电流元，该处磁电流元，该处磁场大小场大小lIdxIB21方向：方向：例题2：载流的长直导线一 侧，有另一导线水平放置，长为，通有电流 ，两者在同一平面，如图示，求水平导线受磁力大小和方向。1I2IFd电流元受力BldIFd2方向图示方向图示则aaLIIdxxIIdlBIdFFaLaln222102102方向图示方向图示lId2Ixo1IadxxFd解：电流在导线处的磁场1I2IrIB2101方向图示例题4：计算两平行长直导线间相互作用力，设两导线相距为，分别载流 和，如图，求导线单位长度所受的磁力1I2I22ldI11ldI1I2I1Fd2Fd2B1Br所以作用在电流元的安培力22ldI22122122dlrIIdlIBdF 则载流导线上单位长度所作用的磁力2IrIIdldF221022方向方向图示图示同样可得载流，导线上单位长度所作用的磁力1IrIIdldF221011方向方向图示图示22ldI11ldI1I2I1Fd2Fd2B1Br（1）不难判断，当两电流同方向时，磁力互相吸引，当两电流反方向时，磁力互相排斥。讨论： （2）电流单位安培的定义：在真空中，相距m的两条平行长直导线通以相同的电流，如果每米长度导线上所受的磁场力为 ，那么导线中的电流为安培。17100 .2mN0 1 2112I IdFdlr二、载流线圈在均匀磁场中受的力矩二、载流线圈在均匀磁场中受的力矩以以矩形平面载流线圈矩形平面载流线圈为例为例2铅直放置的矩形平面载流线圈abdc，电流强度为 I，置于磁感强度为 B 的水平均匀磁场中，线圈的平面法线方向 en 和磁场的方向成任意角 。Ben俯视图俯视图acI(b)(d)enIIl1l2abcdBcBIabdF2F1F3F4F3F41. 根据安培定律，分别计算载流线圈四条边受到的磁根据安培定律，分别计算载流线圈四条边受到的磁场力。场力。导线导线ab：导线导线cd：23BIlF 24BIlF 导线导线ac：导线导线bd：cossin111BIlBIlFcos12BIlF B俯视图俯视图a (b) c (d)enl1l2结论：结论：F1和和 F2大小相等，指向相大小相等，指向相反，作用于同一直线上，其作用反，作用于同一直线上，其作用互相抵消；互相抵消；F3 和和 F4 大小相等，指大小相等，指向相反，但不在同一直线上。向相反，但不在同一直线上。0iiFcBIabdF2F1F3F4z力偶力偶2. 计算载流线圈四条边受到的磁场力对轴的力矩。计算载流线圈四条边受到的磁场力对轴的力矩。载流线圈在均匀磁场中受到载流线圈在均匀磁场中受到 F3 和和 F4 这一力偶的作用这一力偶的作用sin)sin2(21143FlFlMMM注：注：S是该矩形线圈围绕的面积。是该矩形线圈围绕的面积。又：243BIlFFFsin21l lBIM sinBISM MB俯视图俯视图F3F4ena(b)c(d)r3r4根据 M、B 及 en 的方向，力矩 M 的矢量式为：nMISeBsinBISM BenacI(b)(d)对于处在均匀磁场中的平面载流线圈，不论其形状如对于处在均匀磁场中的平面载流线圈，不论其形状如何：何：(1) 所受的总的磁场力为零；所受的总的磁场力为零；(2) 所受的磁力矩：所受的磁力矩： 。一个普遍的结论一个普遍的结论nMISeBmB结论：结论：在均匀磁场中的平面载流线圈在均匀磁场中的平面载流线圈不会平动不会平动，但，但可以可以转动转动。IB.FF. . . . . . . . . . . . . . . . .FIBB+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + IFmax,2MM 0,0M稳定平衡稳定平衡非非稳定平衡稳定平衡讨论讨论(1) 方向与方向与 相同相同Bne(2) 方向相反方向相反(3) 方向垂直方向垂直0,M力矩最大力矩最大MmBsinmBM 1. 洛伦兹力洛伦兹力实验和理论证明，在磁感强度为实验和理论证明，在磁感强度为 B 的磁场中，电荷的磁场中，电荷为为 q、运动速度为、运动速度为 v 的带电粒子，所受的磁场力为：的带电粒子，所受的磁场力为：FqvB洛伦兹力的方向洛伦兹力的方向为：服从右手螺旋法则为：服从右手螺旋法则洛伦兹力始终与运动方向垂直，故洛伦兹力始终与运动方向垂直，故洛伦兹力对运动洛伦兹力对运动电荷永不做功！电荷永不做功！sinFqBv洛伦兹力的大小洛伦兹力的大小为：为：洛伦兹力洛伦兹力二二 带电粒子在磁场中的运动带电粒子在磁场中的运动补充补充 磁介质磁介质一 磁介质的分类（1）顺磁质0)1(1BBrr同方向（铬、锰、氮）与0BB各向同性的均匀磁介质00BBBBr 磁介质的相对磁导率 磁介质的磁导率rr0（2）抗磁质0)1(1BBrr反方向（铜、铋、氢）与0BB（3）铁磁质 且 不为常量，1rr0BB(铁、鈷、镍铁、鈷、镍)二 磁介质产生磁性的根源无外磁场无外磁场顺顺 磁磁 质质 的的 磁磁 化化0B有外磁场有外磁场I无外磁场时无外磁场时顺顺磁质磁质分子磁场取向无规分子磁场取向无规加上外磁场后固有磁矩趋于磁场有序排列加上外磁场后固有磁矩趋于磁场有序排列 无外磁场无外磁场抗抗 磁磁 质质 的的 磁磁 化化0B有外磁场有外磁场I无外磁场时抗磁质无外磁场时抗磁质分子磁场合成为零分子磁场合成为零 加上外磁场后产生附加磁场加上外磁场后产生附加磁场 （1）磁畴）磁畴自发磁化小区自发磁化小区磁畴中各电子自旋磁矩排列整齐，具有很强磁性。无外磁场时磁畴排无序，对外不显磁性（图示）铁磁质（2）铁磁质的磁化当外磁场增强，直至磁畴沿着外磁场方向排列，磁化达到饱和。外磁场作用下，各个磁畴的磁矩趋向外磁场方向排列产生很大的附加磁场所以 ， 很大。（图示）0BBr 由于铁磁质中存在掺杂等原因，各磁畴间存在某种摩擦，在外磁场撤去后， 磁畴不会回到原来混乱排列状态，铁磁质就有剩磁现象。（居里温度），磁畴瓦解cTT d例例 无限长载流直螺线管内的磁场（无限长载流直螺线管内的磁场（ ,n，I）0rBnInI 又如无限长载流直导线外充满磁介质时又如无限长载流直导线外充满磁介质时00022BrIrIBrrr作业作业