超牛考研数学公式大全

高等数学公式篇平方关系：SinA2(a)+C0SA2(a)=1tanA2(a)+1=secA2(a)C0tA2(a)+1=CSCA2(a)积的关系：sina=tana*cosacosa=cota*sinatana=sina*secacota=cosa*cscaseca=tana*cscaCSCa=seca*cota倒数关系：tanacota=1sina-CSCa=1COSaseca=1直角三角形ABC中，角A的正弦值就等于角A的对边比斜边余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边，三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数：cos(a+0)=cosa-2sin(a+p)/2sinf(p)/2“推导公式tana+cota=2/sin2atanoe-COta-2cot2a1+COS2a=2COSA2a1-cos2a=2sinA2a1+sina=(sina/2+cosa/2)A2其他：sina+sin(a+2无/n)+sin(a+2无*2/n)+sin(a+2无*3/n)+s帆n林02无*(ncosa+cos(a+2x/n)+cos(a+2x*2/n)+cos(a+2x*3/n)+cos1)/nf5Qt*a及sinA2(a)+sinA2(-2/3)+sinA2(a+2无/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=O三角函数的角度换算编辑本段公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2kx+a)=sinaCOS(2k7t+a)=COSatan(2kx+a)=tanacot(2k7t+a)=cota公式二：设a为任意角，无+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:sin(x+a)=sinaCOS(7t+a)=COSatan(x+a)=tanaCOt(x+a)=COta公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系：sin(a)=sinaCOS(a)=COSatan(a)=tanaCOt(a)=COta公式四：利用公式二和公式三可以得到无-a与a的三角函数值之间的关系:sin(ita)=sinaCOS(ita)=COSatan(xa)=tanaCOt(xa)=COta公式五:利用公式一和公式三可以得到2无-a与a的三角函数值之间的关系：十sin(2正一a)=sinaCOS(2正一a)=COSatan(2正一a)=tana此时三角函数定义域已推广至整个复数集。三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组y=-y;y=y，有通解Q,可证明COt(2正一a)=COtaQ=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数。补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数一一双曲函数，其拥有很多与三公式六：角函数的类似的性质，二者相映成趣。正/2士及3冗/2士与Ta的三角函数值之间的关系：特殊三角函数值sin(无/2+a)=COSaCOS(无/2+a)=sinatan(无/aa)=COtaa030456090sina01/2V2/2V3/21cosa1V3/2V2/21/20COt(兀/2ka)=tanasin(兀/2a)=cosatana0V3/31V3NonecotaNone，31V3/30cos(无/2a)=sinatan(无/2-a)=COtaCOt(无/2-a)=tanasin(3无/2+a)=cosacos(3无/2+a)=sina导数公式：9.1(tgx)；sec2x(arcsinx)：221-x(ctgx)=-escx1tan(3兀/2+a)=cotacot(3兀/2+a)=tanasin(3冗/2a)=cosa(secx)=secxtgx(areeosx)(esex)-esexetgx1(ax);axlna(aretgx)=1.二cos(3无/2a)=sinatan(3无/2a)=cotacot(3无/2a)=tana(以上kGZ)部分高等内容编辑本段高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：八、1、1(logax)(areetgx)=2xlna1x基本积分表：三角函数的有理式积分：sinx=eA(ix)-eA(-ix)/(2i)cosx=eA(ix)+eA(-ix)/2tanx=eA(ix)-eA(-ix)/ieA(ix)+ieA(-ix)泰勒展开有无穷级数，eAz=exp(z)=1+z/1!+zA2/2!+2人3/3!+2人4/4!+zAn/n!tgxdx=_lncosx+CJctgxdx=lnsinx+CJsecxdx=lnsecx+tgx+Cdx.2-cosxdx一2sinx2=secxdx=tgxC2=cscxdx=-ctgxCJcscxdx=lncscx-ctgx+Csecxtgxdx=secxCdx.-2axdx.2x-a1x-2二一arctg-Ccscxctgxdx-cscxCa1=ln2ax-ax+axxaadx=Clnashxdx=chxCdx22a-xdx1二In2aax-Ca-xchxdx=shxC双曲正弦双曲余弦双曲正切a2-x2In.x_=arcsin-Cadx.x2二a2=ln(x.x2a2)C=sinnxdx=cos222x22a.xadxxaix2-a2dxa22-xdxln(x.x2a2)Cx；22a.x-alnx+22222a.xc一xarcsinC一些初等函数:两个重要极限:xe-e:shx=-x2x-x,ee:chx:2sinxlim=1X)0x1x期(1-)x=e=2.718281828459045:thx二shxex-x-echxexeRarshx=ln(xx21)archx=2ln(xx2-1,一u2sinx=2,cosx=2,11u21x1u2arthx=ln21-x2dudx二21u2三角函数公式:诱导公式：晒数角A,、sincostgctg-a-sinacosa-tga-ctga90-acosasinactgatga90+acosa-sina-ctga-tga180-asina-cosa-tga-ctga180+a-sina-cosatgactga270-a-cosa-sinactgatga270+a-cosasina-ctga-tga360-a-sinacosa-tga-ctga360+asinacosatgactga和差角公式:和差化积公式:sin（:1二P）=sin=cos。二cos：sin:cos（二）=cos=cos-sin二sin:tg（:-J=tg二-tg:1二tg二tg-ctg（:_-ctg：ctg：-1ctgL二ctg二ra+Pa-Psin工sin-=2sincos22自a+Pa-Psin-sin-2cossin22自a+Pa-Pcos工rcos-2coscos22只a+Pa-Pcos:一cos-=2sinsin倍角公式:sin2：-2sin：cos：2222cos2：=2cos二-1=1-2sin=cos二一sin二,2/ctg-1ctg2：=-2ctg：c2tg;tg2-1-tg-3sin3：=3sin二一4sin:3cos3-4cos”-3costg3=一33tg：-tg二1-3tg2：中值定理与导数应用:半角公式:1-cos：sin二2.2拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f值)(b-a)cos=土j叵至柯西中值定理：f(b)f=52,2F(b)-F(a)F()1-cos：1-cos：sin：2，1cos;sin上1cos-3：-1cos：1cosSF(x)sinx时，柯西中值定理就是ctg-=2V1cosasina曲率：1cosu拉格朗日中值定理正弦定理：一a=b=c=2RsinAsinBsinCc2=a2b2。2abcosC余弦定理反三角函数性质：arcsinx=arccosx2冗arctgx=arcctgx2高阶导数公式一一莱布尼兹(Leibniz)公式:弧微分公式：ds=寸1+y2dx,其中y=tga平均曲率：K=|竽卜:从M点到M点，切线斜率的倾角变M点的曲率：局丝|=隹|=一.s，0：Sds|(1y2)3直线：K=0;半径为a的圆：K=.a化量；：s：MM弧长。n(n)八k(n-k)(k)(UV)=CnUVkf定积分的近似计算:(n)(n4)-n(n-1)(n-2)”.一.n(n-1)(n-k1)(n-k)(k).=uvnuvuvuv2!k!(n)UVb矩形法：f(x)ab梯形法：f(x)abb-a/、(y。yi，yn)nb-a1,一(y。yn)yiyn/n2抛物线法：f(x)ayn/)4(y1y3空间2点的距离：d=|M1M2=J(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2向量在轴上的投影：PrjuAB=ABcosQ中是入B与u轴的夹角。Prju(a1a2)=PrjaPrja2ab=|abcos=axbx+ayby+azbz,是一个数量yn)前向量之间的夹角:axbx-aybyazbzcos二222,2,2,2.axayaz.bxbybz定积分应用相关公式：功：W=Fs水压力：F=pAc=a父b=axaybxbykaz,C=|a1bsind例：线速度：v=wMr.bz引力：F=kmm2,k为引力系数r、,-1b函数的平均值：y=f(x)dxb-aaxayaz向量的混合积：abc=(aMb)c=bxbybz=a父bccost口为锐角时,cxcycz代表平行六面体的体积均方根：Jf2(t)dt,b-aa空间解析几何和向量代数:平面的方程：:z:z,上井，、，、，、c甘f-一,全微力：dz=dx+dy1、点法式：A(x-Xo)B(y-yo)C(z-%)=0,其中n=A,B,C,Mo(x,y。)；xjy,：u,：u,：u,du=dxdydz；xfy:z2、一般方程：AxByCzD=0全微分的近似计算：=z：dz=fx(x,y)xfy(x,y)y3、截距世方程：-=1abc平面外任意一点到该平面的距离：dAxoJByo+Cz二DA2B2C2多元复合函数的求导法：z=fu(t)Mt)/z=fu(x,y),v(x,y)x=x0mt一zu一z:vFuft；vft:z:z:u:z:v=*+:x：u:x:v：x空间直线的方程：七至=q=二其中S=m,n,p；参数方程:mnpyf=uyu0时，A0,(x0,y0)为极大值若空间曲线方程为：J华(t0)(xx0)十中也)(丫一y)十与t0)(z-z)=初:-AC一B2:二叫,A0,(x0,G：x；z*则切向量-FxFxzGxGxFyAC-BGy2=0时,y0)为极小值无极值不确定曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0),则:1、过此点的法向量：n=Fx(Xo,yo,Zo),Fy(x0,y0,Zo),Fz(x0,yo,z。)正积分及其应用:2、过此点的切平面方程3、过此点的法线方程：方向导数与梯度：dxdy:Fx(x0,y0,z0)(x-x0)Fy(x0,y0,z0)(y-y0)x-x0_y-y_z-z0Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)Fz()F(,xy(y,)dx(iz-z0)r(0cos-,rsin-)rdrd-DD曲面z=f(x,y)的面积A=JJC+径+但)d-,/x.fy. .xP(x, y)dy：(x,y)dc-_JMx - _JM1, y M i 3 ：(x,y)d二M 11 : (x, y)d-DD对于若由 I x =。y2P(x, y)d。， 对于 y轴 I y = Lfx2P(x, y)dcrDD它与方向导数的关系是：f =grad f (x,y) e,其中e = cos中i +sin中 fl单位向量。,f 是9g|(x,y)在l上的投影。.:l函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：=cos+sin因原期面薄片的重心：x其中中为x轴到方向l的转角。f二f函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=i+j平面溥片的转动惯重：二x:v【叫W标件/xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(aA0)的引力：F=Fx,Fy,Fz，其.f-P(x,y)xd,j=f仃P(x,y)心3,Fz=_fa-吩D/222；D/222；D/222(xya)2(xya)2(xya柱面坐标和球面坐标:多元函数的极值及其求法:|x=rcos二柱面坐标：y=rsinu,z=z第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：用f(x,y,z)dxdydz=HIF(r,0,z)rdrdedz,设L的参数方程为:QQ其中：F(r,1,z)=f(rcos二,rsin,z)x=rsin:cos二P(x,y)dxQ(x,y)dy=.P：(t)；-：(t)Q(t)j卜(t)dty=rsin中sin,z=rcos:dv=rd中sin中d9dr=r2sin中drd中d则类曲线积分之间的关系：JPdx+Qdy=J(Pcost+QcosP)ds其中久和P分别为LL上积分起止点处切向量的方向角。inf(x,y,z)dxdydz=F(r,1)r2sindrdd二-dd:八八001一一1一1一重心：xx：dv,yy：dv,zz：dv,M；M3M八转动惯量：Ix=(y2z2);?dv,Iy=(x2z2);?dv,QQF(r，；)ri寐因长：(也d：x_:PQ：:P)dxdy=PdxQd册林公式：(一-一)dxdy=PdxQdyyld：x；yl其中珅二，:展场v即:/.空=2时，得到D的面积:x二yIz书够融前觌分与路径无关的条件：；、G是一个单连通区域；1A=dxdy=xdy-ydxD2L曲线积分：第一类曲线积分(对弧 长的曲线积分)：2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且第=空。注意奇点，如(,),二x:y减去对此奇点的积分，注意方向相反！设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：3/)，(tP),W：J斗)Pf(x,y)ds=开中(t)*(t)a2(t)+W2(t)dtJ1时，级数发散3P=1时，不确定2、比值审敛法：设:Un1:=limn:Un3、定义法:卬0）的审敛法莱布尼兹定理unun5如果交错级数满足.nn：,那么级数U敛且其和sMui,其余项rn的绝又t值rnunlmun=0绝对收敛与条件收敛:u1+u2+un+，其中un为任意实数；（2）Ui+U2I+用|十一十|Un十一如果（2）收敛，则（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数;如果（2）发散，而（1）收敛，则称（1）为条件收敛级数。调和级数：、1发散，而、（口-收敛；nn函数展开成泰勒级数：f(x)=f(x0)(x-x0)(xo)(x-x0)2(0-(x-x0)n2!n!余项：Rn=f(n1)()(n1)!（x-x0）n*f（x）可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn=0nF二x0=0时即为麦克劳林公式：f(x)-f(0)f(0)x-f-(0)x22!.山n!一些函数展开成嘉级数:级数：工收敛;n尔特=1/P4I时发散A女：”p.1时收敛(1x)m=1mxm(m-1)x2m(m-D(m-n1)丈.寨级数:3xsinx=x3!2!5x+n!(-1:x：二1)5!2n(-1)nJ(2n-1)!1xx2x3xnxR时发散，其中R称为收敛半径。x=R时不定ix_一一e=cosxisinx三角级数:ix.ixeecosx二或.2.ixtxe-esinx:2(阡烟于ARAnsin(nt；n)二生一二(ancosnxbnsinnx)n=12n=1求收敛半径的方法：设P其刑，R1三凯，an=Ansin*n,bn=Ancos*n,8t=x。垂燹附d,s?nzzxcosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx,任意两个不同项的乘积在一n产上的积分=0。傅立叶级数:函数展开成嘉级数:af(x)=%(ancosnxbnsinnx),周期=2二2ni其中，anbn1二=f(x)cosnxdxH-n1二=f(x)sinnxdx-Tt(n=0,1,2)(n=1,2,3)11224262-2=(相力口)62=(相减)122二正弦级数：an=0,bn=f(x)sinnxdxn=1,2,3f(x)=bnsinnx是奇函数二02a余弦级数：bn=0,an=f(x)cosnxdxn=0,1,2f(x)=ancosn娓偶函数二o2周期为21的周期函数的傅立叶级数:f(x)=a0%(ancos-nxbnsinnx),周期=2l2n4llan其中bnl1n二x=一f(x)cosdxll1ln二x二一f(x)sindxll(n=0,1,2)(n=1,2,3)如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微分方程，即：udu(x,y)=P(x,y)dxQ(x,y)dy=0,其中：一=P(x,y),=Q(x,y)fxfy二u(x,y)=C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：微分方程的相关概念:dxyP(噂Q(x)y=f(x)f(x)三0W为齐次f(x)=0时为非齐次一阶微分方程：y=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy=f(x)g(y)dy=ff(x)dx得：G(y)=F(x)+C称为隐式通解。二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:工,+qy=0,其中p,q为常数;1、写出特征方程：(与r2prq=0,其中r齐次方程：一阶微分方程可以写成电=、丫)=中(%丫)，即写成丫的凝数求箱谗：)式的两个根1dxx,2r的系数及常数项恰好是(*)式中y“,y,设u=y,则曳=u+x曲，u+四/u),，dx=U分离变量,xdxdxdxx(u)-u即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：1、一阶线性微分方程：dyP(x)y=Q(x)dx/当Q(x)=0Bt,为齐次方程，y=Ce-P(x)dx1当Q(x)#0W,为非齐次方程，y=(1Q(x)eP(x)dxdx+C)e_J2贝努力方程：dy+P(x)y=Q(x)yn,(n/0,1)dx全微分方程:积!据丛代理f同情况，按下表写出(*)式的通解:xr1,r2的形式(*)式的通解两个不相等实根(p24q0)x,r2xy=Ge+c2e两个相等实根(p24q=0)y=(c+c2x)er1x一对共轲复根(p2-4q0)r1=口+i0，r2=-iP22卫Q4q-P22y=ex(C1cosPx+C2sinPx)二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqy=f(x),p,q为常数f(x)=e*Pm(x)型，九为常数；f(x)=e勺Pl(x)cosox+Pn(x)sinox型