百合小升初第十二讲数论模块—数的整除

百合小升初第十二讲数论模块一数的整除数的整除特征具有较强的实际意义，常用的数的整除特征如下：1、能被2、能被3、能被整除。4、能被5、能被6、能被2整除数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的数能被2整除。5整除的数的特征：个位数字是 0和5的数能被5整除。3 （或9）整除的数的特征：各位数字和能被3 （或9）整除。这个数能被 3 （或9）4 （或25）整除。8 （或125）整除。（或25）整除的数的特征：末两位数能被（或125）整除的数的特征：末三位数能被（或11或13）整除的数的特征：末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（大减小）能被 7 （或11或13）整除。、11整除。7、能被11整除的数的特征：奇数位数字和与偶数位数字和的差（大减小）能被例题解评1、如果六位数12x40y能被72整除，试求此六位数。例2、一个四位数，减去它的各位数字之和，其差还是一个四位数603A，试求出A。例3、如果六位数（）5993（）能被33整除，这个六位数是 _ 和例4、 如果六位数 佃92口再被105整除，那么，它的最后两位数是几?例5、 在口内填上合适的数，使六位数 口佃98議被56整除。课堂练习1、（ 1）判断 47382 能否被 3或 9整除？（ 2）判断 42559 ，7295871 能否被 11 整除？2、求一个首位数字为 5的最小六位数，使这个数能被9 整除，且各位数字均不相同。3、从 0、1、2、4、7 五个数中选出三个组成三位数，其中能被3 整除的有 个。4：四位数 7a2b 能被 2， 3，5 整除，这样的四位数有几个？分别是多少？5:有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成一个四位数例如1409，把其中能被 3 整除的四位数从小到大排列起来，第 5 个数的末位数字是 。3， 4， 5 整除，且使这个数尽6:在 568 后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别被 可能的小。课后作业1四位数3AA1能被9整除，A是几?2、四位数 841 能被 2和 3整除， 中应填几？这个四位数是多少？3、在25 79这个数的内填上一个数字，使这个数能被11整除，方格内应填几?4、45ab这个四位数，同时能被2，3，4，5，9整除，则此四位数是几?5、四位数 87AB既能被9整除，又是25的倍数，那么 A是几？ B是几?例 8 ：一个六位数，它能被 9 和 11 整除。去掉这个六位数的首、尾两个数字，中间的四个数字是 1997 ，那么这个六位数是 。第七届 祖冲之杯”数学邀请赛解：设这个六位数是 a1997b ，它能被 9 整除，所以 a+1+9+9+7+b=a+b+26 ，能被 9 整除， 从而 a+b=1 或 10 。但 a+b=1 时，只能 a=1 、 b=0 ，而 119970 不能被 11 整除，所以只有 a+b=10 。A1997b 能被 11 整除，所以 (a+9+7)-(1+9+b)=0 或 11 ，即得 b-a=6 或 a-b=5 ，但a-b=5时，a、b不是整数，因此只有 b-a=6 ,解得 a=2， b=8 。 于是，这个六位数是 219978 。例 9 ：在下面的方框中各填一个数字，使六位数11 口 11能被17和19整除，那么方中的两位数是。1995年小学数学奥林匹克）解： 17*19=323 ， 110011/323 余数为 191 。若 9被323整除，商的个位数字，必定为7。323*7=2661 ，9-6=3，从而商是 17， 91=5491即原题方框中的两位数是 53。 以下例题综合运用了整除性质和特征解题。例 10 ：老师买了 72 本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数， 回校后发现有两个数字已看不清了。你能帮助补上这两个数字吗？ （口 13.7 元, 中为看不清的数字）。分析：首先将口13.7贡化成分，这样总钱数就是 口137口（整数分）。由于每本书价格相同，所以72| 137G但72=8 X9，所以8和9都应整除口 137口解：72=8X 9，口13.7 Qc =口137分/ 8| 137口 9| 137口由于8整除口 137所以8|37 由此可知，当37 =376时才有8|376，故原数为口 1376 又由于9整除口 1376,所以其数字和 口 +1+3+7+6，必是9的倍数。即9| （ +17），而只能是1到9中的某个数，所以 只能且1。 因此，原数为 11376 分，即 113.76 元。启示：此处用到了整除的一条重要性质：如果a|b,c|b,且a、c没有除1以外的公共约数（即a,c 互质），那么 bc|a,这里 72=8 X9，（ 8，9） =1，因为 8| 137口 9| 137口所以 72| 137因此同理可得能被 6整除的数要求能同时被 2、3整除，因为6=2X3， （ 2，3）=1 ，能被 12整除的数要求能同时被 3， 4整除，因为 12=3X4，（3， 4） =1。例11 :某个七位数1993口口巌够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三字依 次是 。 1993 年小学数学奥林匹克）解：这个七位数能被 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 整除，所以能被 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 的最小公倍数整除。 这个最小公倍数是 5*6*7*8*9=2520 。1993000/2520=79022002520-2200=320 所以最后三位数依次是 3 、 2 、 0。例12：从1999到5999的自然数中有多少个数，它的数字和能被 4整除？试简述理由。 第九届 “祖冲之杯 ”数学邀请赛 解：显而易见， 1999 的数字和能被 4 整除，从 2000 到 5999 有 4000 个自然数，在这 4000 个自然数中， 个位、十位和百位都有 0 到 9 十个数字可供选择， 不管如何选择，取定后，千位上的数字就能左右大局 （如个位、十位、百位的数字和 除以 4余数为 3，千位数字便可取 5，使该数的数字和能被 4 整除）事实上，千位数字可取 2、 3、 4、 5，从 1999 到5999 的自然数中，它的数字和能被 4整除 有：1 X10 X10X10 + 1 = 1001（个）。例13 :有分别写着1，2，3，13的卡片各两张，任意抽出两张，计算这两张卡片上的数的 积，这样会得到许多不相等的积。试问：这些积中最多有多少个能被6整除？ 第四届 “从小爱数学 ”邀请赛 解：这些积中， 6 的倍数有许多不同的答案最小的是1X6;最大的是26X6（由12和13这两张卡片上的数的积得出）由1X6, 2X6 , 3X6,26X6看来，似乎有26个绩能被6整除但实际上，不会出现 17X5，19X6，21X6，23X6，25X6这五种情形 所以，这些积中最多有 （265）个，即 21 个能被 6 整除。例 14 ：试证明由同一数字组成的三位数都是 37 的倍数。证明：设这三位数为 aaa,则 aaa=a X 1 00+a X 10+a X1=100a+10a+a=111a/ 37|111, / 37|111a/ 37|aaa例15 :已知A是一个自然数，它是15的倍数，并且它的各个数位上的数字只有0和8两种，问A最小是几？分析:因为 15|A ，而 15=5X3，（5， 3）=1所以 5|A， 3|A故 A 的末位数字只能是零，从而打开解题的缺口。解：当A为两位数时，A只能为80，88，而5|A，所以88不合题意，又3|A，故80不合题意。当A为三位数时，因为 5|A，故A的末位是0， A只可能为880，800，而3|A，故880，800均不 符合题意。当A为四位数时，因5|A，故末位数字为0，又首位数字只能为 8，则A=8ab0，因为 3|A ，所以 3| （8+a+b ）当a,b中一个为8，一个为0时，A不能被3整除；当a,b均为8时，引（8+a+b ），故a=b=8,此 时 A=8880 符合题意。故 A=8880 。例 16 ：已知四位数的个位与千位数字之和为 10，个位数字既是偶数又是质数，百位数字与十位 数字组成的两位数是个质数，又知这个四位数能被 36 整除，求所有满足条件的四位数中的 最大者。解：因为个位数字既是偶数又是质数，所以个位数字为 2，又个位与千位数字之和为 10，故千 位数字为 8。故设这个四位数为 8ab2,/ 36=4 X9，（ 4，9） =1/ 4|8ab2，9|8ab2 / 9| （8+a+b+2 ）即 9|（10+a+b）/ 4|b2 / b=9,7,5,3,1当 a=9 时，因 9| （10+a+b ） / b=8，不符合 4|b2当 a=8 时，因 9| （10+a+b ） / b=9，符合 4|b2这个四位数为 8892。知识要点：1整除约数和倍数例如：15+3=5, 63+7=9一般地，如a、b、c为整数，b0且a+b=c，即整数a除以整除b （b不等于0）,除得的商 c正好是整数而没有余数 （或者说余数是 0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。 记作b | a否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a）,记作b* a。如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。2. 数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。即：如果 c| a, c| b,那么 c|（ a3）o 例如：如果 2 | 10, 2 | 6,那么 2 | （ 10 + 6），并且 2 | （ 10 6 ）。性质2：如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a。即：如果bc | a,那么b | a, c | a。性质3：如果b、c都能整除a,且b和c互质，那么b与c的积能整除a。即：如果b | a, c | 玄，且（b, c） =1，那么 bc | a。例如：如果 2 | 28, 7 | 28,且（2, 7） =1,那么（2 X7）|2&性质4：如果c能整除b, b能整除a,那么c能整除a。即：如果c | b, b | a,那么c | a。 例如：如果3 | 9, 9 | 27,那么3 | 27o3. 数的整除特征 能被2整除的数的特征：个位数字是 0、2、4、6、8的整数特征”包含两方面的意 义：一方面，个位数字是偶数（包括 0）的整数，必能被 2整除；另一方面，能被 2整除的 数，其个位数字只能是偶数（包括 0）.下面特征含义相似。 能被5整除的数的特征：个位是0或5。 能被3 （或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3 （或9）整除。 能被4 （或25）整除的数的特征：末两位数能被4 （或25）整除。例如：1864=1800 + 64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数。又因为4 | 64,所以1864能被4整除。但因为25、64,所以1864不能被25整除。 能被8 （或125）整除的数的特征：末三位数能被8 （或125）整除。例如：29375= 29000 + 375,因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数。又因为125 | 375,所以29375能被125整除。但因为 8375，所以8 一 29375。 能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。例如：判断123456789这九位数能否被11整除？解：这个数奇数位上的数字之和是9 + 7+ 5+ 3 +仁25,偶数位上的数字之和是 8+ 6 +4+ 2 = 20.因为 2520= 5，又因为 11 一 5，所以 11 123456789。再例如：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4 + 5+ 1） - （ 7+ 3）= 0。因为0是任何整数的倍数，所以 11 | 0。因此13574是11的倍数。 能被7 （11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的 数之差（以大减小）能被 7 （11或13）整除。例如：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分为1059和282两个数。因为 1059-282 = 777，又7 | 777，所以7 | 1059282。因此1059282是7的倍数。再例如：判断3546725能否被13整除？解：把3546725分为3546和725两个数。因为 3546-725=2821.再把2821分为2和821 两个数，因为 821 2 = 819，又 13 | 819,所以 13 | 2821，进而 13 | 3546725。拓展： 判定一个数可否被 17整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位数与前面隔出数 的3倍的差（大减小）是否被 17整除。 判定一个数可否被 19整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位与前面隔出数的7倍的差（大减小）是否被 19整除。 判定一个数可否被 23或29整除，只要将其末四位与前面隔开，看末四位与前面隔出数的5倍的差（大减小）是否被 23或29整除。例1.在!填上合适的数，使五位数260 7戦被4整除，也能被3整除。解答：共有7种可能:个位2226666百位1470369例2.在内填上的数，使 895这个数能被72整除。解答：& 9的倍数，末三位被 8整除，个位2,各位数字和被 9整除，万位3.o 38952。 例3.七位数22A333A是6的倍数，那么 A是多少？解答：此数是6的倍数，要同时符合被 2、3整除的数的特点，A=4。例4.在里填上适当的数， 使6位数865能被3、4、5整除，而且使这个数尽可能地小。 解答：符合条件的数能被5整除，后两位能背4整除，个位一定是 0;各个数位数字和能被3整除，此数最小是 865020。例5.在内填上合适的数，使 5位数7口36戦被5整除，也能被9整除。解答：7236076365例5.在内填上合适的数字，使5位数5口 13再被9整除。解答：50130、50139、51138、52137、53136、54135、55134、56133、57132、58131、59130、59139.例6. Sir是一个四位数，这个数同时能被2、3、5、9整除，那么这个数是。解答：3600、3690o例7.一个无重复数字的五位数3口6口5总被75整除。这样的五位数有哪几个？解答：末两位 25： 38625;末两位75： 30675或39675。例&有一个六位数能被11整除，首位是7,其余各位数字各不相同，这个六位数最小是多 少？解答：要使六位数最小，必须把最小数0，1，2，3，4，排列在7的后面，这样可得到数701234，可是这个数不能被 11整除，为了求得最小的六位数，先要修改个位数4,经试算，把4改成9正好符合题意，所以最小的六位数是701239o答：所求的最小的六位数是 701239o例9.求被26整除的六位数 1993口解答：由于26= 2X13,所以所求六位数 1993：应分别被2和13整除。被2整除的数个位只能是 0, 2, 4, 6, 8;所求六位数被13整除，必有 19与 93的差(93口 19是13的倍数。(1) 当原数个位为 0时，930 = 71X13 + 7,故 19也应满足被13除余7。 19= 100XH 13+ 6= 7X 13X田 9XH 13 + 6=13 (7X 1)+ 9X 6即 9XH 6 = 13K + 7 9X3 1应是13的倍数，故只能是3。即六位数为319930。(2) 当原数个位数为 2时，932 = 71X13+ 9,故口19也应满足被13除余9。 由于口 19=( 7XH 1) X13 + 9XH 6 9XH 6= 13K + 9,故9X3 3应是13的倍数，只能是9。即六位数为 919932。(3) 当原数个位数为 4时，934 = 71X13+ 11,故口19也应被13除余11。 由于口 19=( 7XH 1) X13 + 9XH 6 9X 6 = 13K + 11, 即卩9X3 5应是13的倍数，故 只能是2。即六位数为 219934。(4) 当原数个位数为 6时，936 = 72X13,所以口19也应被13整除。由于口 19=( 7XH 1) X13 + 9XH 6 9XH 6= 13K , 9X- 7+ 13 = 13K，故9X3 7应是13的倍数，只能是 & 即六位 数为 819936。(5) 当原数个位数为 8时，938 = 72X13+ 2,故 19也应被13除余2。 由于口 19=( 7XH 1) X13 + 9XH 6 9XH 6= 13K + 2, 即卩9XH 4应是13的倍数，只能是1。即六位数为119938。 综合以上情况, 满足条件的六位数有： 319930, 919932, 219934, 819936, 119938,共五个。 下面是一些关于数的整除的一些技巧知识,根据这些技巧,我们能很快判断一个数能不能被下列数整除。关于 2：一个整数的末位是偶数,则这个数能被 2 整除。关于 3：一个整数的数字和能被 3 整除,则这个整数能被 3 整除。关于 4：一个整数的末尾两位数能被 4 整除,则这个数能被 4 整除。 关于 5：一个整数的末位是 0 或 5 ,则这个数能被 5 整除。关于 6：一个整数能被 2 和 3 整除,则这个数能被 6 整除。关于 7：一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2 倍,如果差是 7的倍数,则原数能被 7 整除。 因为一个两位数 N 可以表示成 N=10x+y=10X (x-2y )+21y , 如果 x-2y 能被 7 整除,则数 N 能被 7 整除。多于两位数的继续此操作。关于 8：一个整数的未尾三位数能被 8 整除,这个数能被 8 整除。 关于 9：一个整数的数字和能被 9 整除,则这个整数能被 9 整除。关于 11 ：一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11 整除,则这个数能被 11整除。因为一个两位数 N 可以表示成 N=10x+y=10X ( x-y) +11y ,如果 x-y 能被 11 整除, 则数 N 能被 11 整除。关于 13 ：一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4 倍,如果差是13 的倍数,则原数能被 13 整除。因为一个两位数 N 可以表示成 N=10x+y=10X(x+4y )-39y , 如果 x+4y 能被 13 整除,则数 N 能被 13 整除。关于 17 ：一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5 倍,如果差是 17的倍数,则原数能被 17 整除。因为一个两位数 N 可以表示成 N=10x+y=10X ( x-5y )+51y , 如果 x-5y 能被 17 整除,则数 N 能被 7 整除。关于 19 ：一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2 倍,如果差是19 的倍数,则原数能被 19 整除。因为一个两位数 N 可以表示成 N=10x+y=10X(x+2y )-19y , 如果 x+2y 能被 19 整除,则数 N 能被 19 整除。(3 )关于除数为 7、11、 13 的 1001 法判断较大一个的6位数能否被7、11、13整除，还有一个快捷的“1001法。因为100仁7X 11X13 , 1001能被7、11、13整除。一个数能被 7、11、13整除的数减去1001及其倍数 也能被7、11、13整除。aba的1001倍等于把abc再写一遍放在后边，abc X100仁abcabc例如，897654能否被7整除，可以先计算 897654-896896，看得数能否被7整除。习题：1. 已知45 |。求所有满足条件的六位数 。解答：/ 45=5X9, 5 | 二丄广,9 | y可取0或5。当y=0时，根据9 | 及数的整除特征可知x=6，当y=5时，根据9 | 及数的整除特征可知x=9。满足条件的六位数是519930或919935。2. 李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9口 .2已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？解答：/ 9口 .2 元=9口2028= 4X7， 4和7均能整除9口2口4 | 2 可知处能填0或4或8。/ 1、9020，79424,所以处不能填0和4; 7 | 9828,所叫处应该填8。又 9828 分=98.28 元98.28 -28= 3.51 (元)答：每支钢笔3.51元。3. 已知整数1能被11整除.求所有满足这个条件的整数。解答：11 | 1一根据能被11整除的数的特征可知：1+2+3+4+5的和与5a之差应是11的倍数，即 11 |( 15 5a) 或 11 | ( 5a15)。但是 15 5a=5 (3 a)，5a15=5 (a 3)，又(5，11) =1，因此 11 |( 3 a)或 11 |(a 3)。又 a是数位上的数字。 a只能取09。所以只有a=3才能满足11 | ( 3 a)或11 | ( a 3)，即当a=3时，11 | 15 5a。 符合题意的整数只有 1323334353。3ab3abr3abI4. 把三位数接连重复地写下去，共写1993个一:二，所得的数亠| 恰是91的倍数,试求汇=?解答： 91=7X13,且（7, 13）= 1。3ab3ab 3ab3ab3ab 3abIIII 7 |；-.-,13 | I j-：根据一个数能被7或13整除的特征可知：3ab*3abjH原数:能被7以及13整除，3abT3ab - Sab当且仅当 7能被7以及13整除，3ab3ab000ilil也就是 L 能被7以及13整除。ISab-SabOOO 3ab-3ab000I7III因为（7, 10） =1 , （13, 10）= 1，所以 7 , 13：二 也就是|3ab 3ab|3ab 3abI I 、|I I *|_7： ，13： ； I，因此，用一次性质（特征），就去掉了两组 二7 ;反复使用性质996次，最后转化成：原数能被7以及13整除，当且仅当二工能被7以及13整除。又 91的倍数中小于1000的只有91X4=364的百位数字是 3,二一 =3645. 在里填上适当的数字，使七位数口 1992 能同时被9、25、8整除。解答：要求七位数 口 1992能同时被9、25、8整除，先考虑能被 25整除这个条件。当七位 数口 1992能被25整除时，它的十位和个位数字组成的数只能是00, 25 , 50, 75。再考虑第二个条件，口 1992能被8整除，当口 1992能被8整除时，它的末三位上数字组成的数 必须是8的倍数，但200, 225, 250, 275这四个数中，只有 200这个数是8的倍数，所以 七位数的十位与个位 内只能填0。最后考虑第三个条件， 被9整除.口 1992丄匕要被9整除， 其各个数位上的数字和必须是9的倍数，而1+9+9+2+0+0=21，所以七位数百万位 内只能填6,这样便找到了问题的解答。首先因为200既是25的倍数，又是8的倍数，所以口 1992的十位与个位 内只能填0。因为1+9+9+2+0+0=21 ,而21+6=27 , 27是9的倍数，所以 口 1992的百万位内只能 填6。匕1992匚能同时被9、25、8整除。6求能被26整除的六位数o解答：/ 26=2X13,二能分别被2和13整除。/ 2| 二丄广， y 可能取 0、2、4、5、6、8。又/ 13丨二丄,13能整除讥：与广的差。当y = 0时，由于13 | 910,而13又要整除汀与：的差， 13 |?/ o又匚.=100x+19=（7X13+9）x+19 = 7X13x+9x+13 + 6,根据整除 性质1”，有13 | 9x+6，经试验可知只有当 x = 8时，13 | 9x + 6,当y=0时，符合题意的六位数是819910o当y=2时，因为13 |二f ,所以13整除二与山1之差，也即13整除二与2的差；与前相仿，二 =7 X13x+13+9x+6,所以13整除9x + 62，即13 | 9x+4。经试验可 知只有当x= 1时，13 | 9x+4 o当y= 2时，符合题意的六位数是119912o同理，当y = 4时，13 | 9x + 6-4，即13 | 9x+2，经试验可知当 x= 7时，13 | 9x+2。当y=4时，符合题意的六位数是719914 o同理，当y = 6时，13 | 9x + 6 6。即13 | 9x.经试验可知x无解（因为是的最 高位数码，XM0）。当y=6时，找不到符合题意的六位数。同理，当y = 8时，13 | 9X+6-8，即13 | 9x-2。经试验只有当 x = 6时，13 | 9x-2 当y=8时，符合题意的六位数是619918o答：满足本题条件的六位数共有819910、119912、719914和619918四个。7一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。解答：一个以5为首位的六位数 5XXXXX,要想使它最小，只可能是 501234 （各位数字 均不相同）。但是501234的数字和为5+ 0+ 1 + 2 + 3+ 4= 15,并不是9的倍数，故只能将末位数字 改为7。这时，5+ 0+ 1+ 2 + 3+ 7 = 18是9的倍数，故501237是9的倍数。即501237是以 5为首位，且是9的倍数的最小的六位数。&自然数1 , 2, 3依次写下去组成一个数。如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，问这个自然数是多少？解答：由于要求恰好第一次能被72整除，因此，应以从前往后的顺序去寻找。如果先考虑被8整除，那么末位应为偶数，且末三位数字组成的三位数应是8的倍数。因而依次看三位数： 234, 456, 678, 810, 112 , 314, 516, 718, 192 , 920, 202 , 212 , 122, 222, 232, 324, 242, 252, 526, 262, 272, 728, 282, 930, 132, 334, 536, 738, 394中哪些是8的倍数。如知456、112为8的倍数，就要再看 123456以及是否为9的倍数。 由于123456的数字和为21, 的数字和为56,都不是9的倍数，所以不满 足题目的条件。满足条件的数要在其它8的倍数中寻找。像这样试验三位偶数能否被8整除，速度较慢，由于被8整除的数一定能被 4整除，故只须对被4整除的数（这种数极易看出）进行检验即可。经检验，形如 123456，末三位为 516, 192、920, 232、272、728的自然数都不是 9 的倍数。而当末三位为 536时，才满足题目的条件，即：恰被72整除，故所求自然数为36。现在换一种方法，先考虑被9整除，再考虑被8整除，由于数 18192021前九个数字之和为 45,是9的倍数，故在考察位数超过九的 数是否被整除时，前九个数字可不再看；接下来，由于的数字之和为45，是9的倍数，故在考察位数超过 27位的数是否被9整除时，前27个数字可不再看；的数字之和为36,是9的倍数，因而在考察位数超过 43位的数是否 是9的倍数时，前43个数字可不再看；272829303的数字的之和为 36,是9的倍数，因而在考察位数超过52位的数是否被9整除时，前52个数字可不再看；1323的数字和为9，因而在考察位数超过 56位的数是否被9整除时，前56个数字可不 再看；33343536的数字和为27,因而在考察位数超过 63位的数是否被9整除时，前63个数 字可不看。以上做法把按自然数依次写下去组成的数分成若干段，各段的数字和均为9的倍数，即123456789 | | | 27 | 2829303 | 132333435 |36 |然后从中再看各段末三位数字组成的三位数是否为8的倍数。789、718、526、627、303、435都不是8的倍数，但 536是8的倍数。即写到36时，第一次恰好是72的倍数。这样做比先考虑被 8整除，后考虑被9整除要 快速简单得多。9. 任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定同时能被7、11、13整除。这是为什么？解答：设任意一个三位数为：一，则这个六位数为 汕二皿abcabc=血 X1000 + abc=1001X：. . I=7X11X13X：二一所以这个六位数能同时被7、11、13整除。10. 有72名学生，共交课间餐费：-元，每人交了多少元?解答：72=8X9,所以 血 应同为8和9的倍数。V t为8的倍数，为8的倍数，故b=2。为9的倍数， a+5+2+7+b=16+a 为 9 的倍数，故 a=2。：;：_ 一 =25272。25272-72=351 （分）。答：每人交了 3.51元。11. 从0、3、5、7四个数字中任选三个，排成能同时被2、3、5整除的三位数。这样的三 位数共有几个？解答：所求的三位数能同时被2、5整除，所以这个三位数的个位数字为0。所求的三位数能被 3整除，所以这个三位数的各位数字之和应是3的倍数。故所求的三位数为 570或750，共2个。12. 用1、2、3、4、5、6、7、& 9 （每个数字用一次）组成三个能被9整除的、和尽可能 大的三位数，这三个三位数分别是多少？解答：1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45。因为所求的三个三位数都能被9整除，所以它们的各位数字之和分别能被9整除，故这三个三位数中有两个的数字和都是18, 个的数字和是 9。要使数字和是9的三位数尽可能大，百位上的数字必须为6,十位上的数字为 2,个位上的数字为1，所以这个三位数是 621。要使数字和是18的两个三位数尽可能大，一个的百位上数字为9,另一个百位上数字为8,十位上数字分别为 5与7,个位上数字分别为 4与3。故这两个三位数是 954与873。 因此，所求的三个三位数分别是621、954、873。13. 已知 A、B、C、D是各不相同的数字， A+B+C=18,B + C+ D = 23,四位数_一-_ -被5除余3,求四位数二是多少。解答：四位数 BADC 被5除余3，所以C=3或C=8若 C=3，贝U B + D=23-3=20，这与 B + D V 18 矛盾故 C3。若 C=8，贝U B+D=23-8=15。故 B = 9,D = 6 或 B = 6,D = 9 或 B = 8,D = 7 或 B = 7,D = 8。A、B、C、D是各不相同的数字，所以B = 9,D = 6或B = 6,D = 9，从而A=1或A=4。因此，四位数是1986或4689。14. 一个六位数的各位数字都不相同，最左边一个数字是3，且此六位数能被 11整除。这 样的六位数中的最小的数是多少？解答：依题意，设所求的六位数为 -“，因为六位数30124a能被11整除，所以（a+ 2） - （4+1+3） =a-6应是11的倍数。故 a=6。因此，所求的最小六位数是301246。15五位数 扑二能被6整除，则2论+ b + c+ d） e也能被6整除。请说明道理。解答：因为?：! .能被6整除，所以它能分别被 2和3整除，故e为2的倍数，a+b+c+d+e 是 3 的倍数。因为 2X(a+b+c+d) - e= 2X( a+b+c+d+e) - 3e,而 2X( a+b+c+d+e)、3e 都 能被6整除，所以2X (a+b+c+d ) - e能被6整除。16某数乘以7后，乘积的最后三位数是173，那么这样的整数中最小的是多少？解答：设这个数为N ,乘积为A173 ,根据题意NX7=A173 ,现要求N最小，即使A173 为最小，A应是多少呢？可以从最小的数试起。若A=1 , 1173不能被7整除，舍去；同理当A=2 , 3, 4时，A173都不能被7整除，舍去。当A=5时，5173被7整除，所以N最小数为51737=739。设这个数为N ,由题设7XN=A173 ,即7 | A173 ,由(6)可知所求最小的 A满足7 |173-A，或7 | 5-A，显然当 A=5时即7 XN=5173时N最小，最小值为 739。答：这样的整数中最小者为739。17. 从1到9这九个数字中排出 8个数字，组成能被12整除的八位数，这样的八位数中， 最大和最小的各是多少？解答：能被12整除的数必能被3和4整除，能被3整除的数，其数字之和必能被3整除，因为1+2+31 +8+9=45能被3整除，因此去掉 3、6、9中的任一个所剩下的 8个数组 成的八位数一定是 3的倍数，要使八位数最大，应去掉数字3，并使高位的数尽可能大，兼顾末两位数被4整除的条件。最大八位数为98765412 ;不难知道最小的八位数为12345768。答：所求的最大数为 98765412，最小数为12345768。18. 下面这二百零一位数 111 222(其中1和2各有100个)能被13整除，那么中间 方格内应填什么数？解答：111111被13整除，而100=6X16+4，故原来被13整除的算式即变为 13 | 1111口2222 再根据(6)还可变为13 | 333-1 (经试算即可知方格应填 1。答：方格内应填上1。19. 试求出所有满足下述条件的两位数，当它们分别乘以数字2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9时 其积的数字之和均不变。解答：因为所求的两位数乘以9后数字之和不变， 可知其数字之和是 9的倍数，这样的数字只有10个：18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99;对每一个数字进行检验，结 果只有18, 45, 90和99满足题目要求。答：数字18, 45, 90, 99满足题设要求。20. 传说从前有个巧匠叫布克，该国的国王久闻其名。有一次，国王想考一考布克，看看他是否真的很聪明。于是他把布克叫到宫中，出了这样一道难题考他：你给我锯一根长方体木料，这根木料的相邻两个面的面积是108平方分米和32平方分米，长、宽、高都是整分米数且长度均不为1分米，如果把它锯成若干个小木块，那么锯得的小方块必须能拚成一个 大正方体。请你回答我要你锯的这根木料的长、宽、高各是多少？这根木料最少能锯成几个大小相同的小方块？要锯几次？这些小木块拼成的大正方体棱长是多少？”布克不愧为一个巧匠，面对国王连珠炮般的提问，他沉着镇定地作了正确的回答，国王兴犹未尽，继续问到：如果我现在有一批这样的长方体木料，要堆成一个正方体的实心木垛，这样的木料至少有 几根？有多高？ ”布克又圆满地回答了国王的提问，这位贤明的国王对布克大为称赞，重重 地奖赏了他。小读者，如你是布克，你能正确回答吗？解答：因为相邻两个面有一条公共边，所以这条公共边的长是108、32的公约数，这个公约数是1、2或4; 1不合题意，不考虑，当公共边为2分米时，长方体的长、宽、高中另两条是54分米，16分米；当公共边长 4分米时，另两条是 27分米，8分米。因为把这个长方体锯开后要拼成一个大正方体， 所以长方体体积等于正方体体积。 尝试 两种情况：54 X16 2= 2 3 X3 X3 X2 2 疋疋 2= (2 2X3) X (2 2 3) X (2 2 X3) =123 27 XJ X4 = 3 X3 X3 X2 X X X X2= 2X3 X2X32X322因为正方体的体积是棱长的立方， 所以把它的体积分解质因数必可得到三组相同的质因 数，第一种情况满足这一条件。第二种情况无法满足。所以长方体的长、宽、高分别是 54 分米、 16 分米， 2 分米。拼得的正方体棱长为 12 分米，锯成的小正方体的棱长应是54、16、2的公约数， 要求块数最少则小正方体棱长最大，最大公约数为2分米，那么长方体的长分 27块，宽8块，高不必锯，共锯的次数为（27- 1） （ J1 ） =33（次）。要堆成实心的正方体木垛， 这个正方体的棱长应是长、宽、高的公倍数， 块数最少则正 方体棱长最小，最小公倍数为432分米，堆一垛至少要432X432X432+（ 54X16X2） =46656（块），高为 43.2 米。这道题综合了最大公约数， 分解质因数， 立方数的特征， 最小公倍数的知识， 在解题中 要正确选择究竟应用何种知识解决问题。21父亲给小明出了这样一道题： “在一间屋子里，有一百盏电灯排成一行，按从左到右的顺序，编上号码 1 , 2, 3, 4, 5,，99, 100。每盏电灯上有一个拉线开关，开始时，全 部的灯都关着， 有 1 00个学生在外排队， 第1 个学生进来，把是 1倍数的灯都拉了一下 （即 把所有的灯拉亮了） 。第 2个学生进来,把编号是 2倍数的灯又拉了一下（即把第 2, 4, 6, 8,，98, 100盏灯又拉灭了）。第3个学生进来，把是 3倍数的灯又拉了一下， ，第 100个人进来,把第 100号灯拉了一下,想一想,第 100个人拉了以后,还有多少盏灯是亮 着的？ ”这下可把小明忙坏了，他在一张大大的纸上，画出所有的电灯，又是打“vf又是画“Q”好久没能解出来，难道就没有更好的办法了吗？小明犯了难。小读者，你有好办法教 小明吗？解答： 到最后一个为止, 拉了奇数次的灯是亮着的,拉了偶数次的灯是熄灭的。拉了奇数次 的灯的号码应该有奇数个约数, 拉了偶数次的灯的号码应该有偶数个约数。 哪些数有奇数个 约数呢？ 1 的约数只有 1, 4的约数有 1, 2, 4, 4=2X2=22, 9的约数是 1, 3, 9, 9=3X3 =32, 16 的约数有 1, 2, 4, 8, 16, 16=2X2X2X2=24, ,我们看到完全平方数的约 数有奇数个约数。因为完全平方数有一个约数为n, n2=N, n 没有与它配对的约数（大些或小些的）,其余的约数也成对出现,所以偶数 +1=奇数,完全平方数有奇数个约数,而非完 全平方数则约数个数为偶数。亮着的灯编号为： 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100共10盏。 这道题综合了奇偶分析和完全平方数特征方面的内容。22在海族馆工作的父亲要出差了,你能根据他给小强留下的条子判断出小强父亲远行回来的日期和行程吗？小强：海族馆的章鱼打架断了一条腕足, 只剩下十七条腕足了, 我要和馆里的叔叔们一起到大 海去捕一条大章鱼来。 如果你把章鱼剩下的腕足条数分成两个自然数的和, 得到一些成对的 自然数, 其中乘积最大的一对组成一个日期, 这个日期是我回来的大致日期。 如果把章鱼剩 下的腕足条数分成若干个自然数的和,得到许多组和为 17的自然数,其中乘积最大的一组 数的积是我这次远出的行程。父亲1992 年 8 月 18 日解答：先把17分拆成两个自然数的和，拆得自然数的积有八种：1X16=16 , 2X15=30 , 3 X14 = 42, 4 X13=52, 5 X12=60, 6 X1仁66, 7 X10=70, 8 9=72。可见 8 9 的积最大，这个日 期有 8， 9两个数字组成，或是 8月 9日，或是 9月 8日，由于父亲在写条子的日期已是 8 月 18 日,所以回来日期应是 9 月 8 日。仔细观察一下可以发现, 把自然数拆成两个小自然数的和, 要使其积最大, 必须两个小 自然数相差最小。 把17分成若干个自然数的和, 使这些自然数的积最大, 究竟是分得多好还是分得少 好呢？看来分的个数多一点好, 因为多一个数,可以多乘一次,乘积就大些,当然这些数中 不应有（想一想，为什么？），个数多的拆法是：17= 2+ 2+ 2+ 2+ 2 + 2+ 2 + 3，但22X2=8 , 把3个2改成 2个3,积为 33=9,所以要尽可能少出现2,多出现 3, 17=333332,小的自然数积为 333332=486（千米）,若再减少自然数的个数有33335=405, 3X3X6 5= 270, 9 X8=72 ,，这些分析中以五个3和一个2的分拆积最大。总结本题的把一个数分成若干个自然数和， 使这些自然数积最大的经验有： 拆分中不 应有1,只应有3或2;拆分中尽量增加 3的个数，减少2的个数。23把 1 至 1997 这 1997 个自然数依次写下来, 得一多位数 ,7 试求这个多位数除以 9 的余数。解答： 一个自然数除以 9的余数, 等于这个自然数各个数位上数字和除以 9的余数。 这 一来上面求多位数除以 9 的余数问题, 便转化为求 1 至 1997这 1997个自然数中所有数字之 和是多少的问题。这个问题的求法有很多,下面分别加以介绍。因为 1 至9这 9个数字之和为 45,所以 10至19, 20至29, 30至 39, , 80至89, 90至99这些十个数各数位上数字和分别为：45+10, 45+20, 45+30, 45+40 ,，45+80,45+90.这一来, 1 至 99 这 99 个自然数各数位数字和为： 45+55+65+ +125+135=900。因为 1至99这99个自然数各数位上数字和为 900,所以 100至 199, 200至299, , 800至899,900至999这些100个数各数位上数字和分别为 900+100,900+200,，900+800, 900+900 。 这 一 来 ， 1 至 999 这 999 个 自 然 数 各 数 位 上 数 字 和 为 ： 900+1000+ +1700+1800=13500。因为 1至 999这999个自然数各数上数字和为 13500，所以 1000至1999这1000个自 然数各数位数字和为： 13500+1000=14500，这一来 1 至 1999 这 1999 个自然数各数位数字 和为： 13500+14500=28000。 1998、1999这两个数各数位上数字和为：27、28。28000-27-28=27945 ， 9 能整除 27945，故多位数除以 9 余 0。另外还有一个较为省事的求和方法， 将 0至1999这2000个自然数一头一尾搭配分成如 下的 1000 组：（0，1999） （1，1998）（2，1997） （3，1996）（4，1995） （5，1994）（6，1993） （7，1992）（996，1003）（997，1002） （998，1001）（999，1000）以上每一组两数之和都是1999，并且每一组两数相加时都不进位， 这样1至1999这1999个自然数的所有数字之和等于：（1+9+9+9） X1000=28000其余的与上面提到的相同，故从略。本题还有另外一种解法 .因为依次写出的任意连续9 个自然数所组成的多位数，一定能被 9 整除。而从 1 至 1997 一共有 1997 个数，1997- 9=2218 , 1990、1991、1992、1993、 1994、 1995、 1996、 1997这8个数所有数位上数字和为 19+20+21+22+23+24+25+26=360 ， 360能被 9整除，所以多位数除以 9余 0，与前面的结果相同。为什么依次写出的任意连续 9个自然数所组成的多位数一定能被 9整除呢？这是因为任 意连续的9个自然数各数位上的数字和除以9的余数，必定是0, 1 , 2,，7, 8这九个数，而这九个数的和为 36, 36能被9整除，所以任意依次写出的9个连续自然数组成的多位数也一定能被9整除。24. 将1, 2, 3,，30从左到右依次排列成一个51位数123456293Q试求这个51位 数除以11的余数。解答：被11整除的特征是：这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和的差能被11整除.从这个特征的导出过程中我们还可以看出：一个数奇数位上数字和与偶数位上数字和的差除以11的余数，与原数除以 11的余数是相等的。利用这一性质便可求出问题的结果来。因为51位数123456282930的奇数位上的数字分别是 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2,1 , 0, 9, 8, 7, 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1, 0 , 9 , 7 , 5 , 3 , 1，这些数字之和为：1+3+5+7+9+(1+2+3+4+5+6+7+8+9 ) X2=115这个数的偶数位上的数字分别是3 , 2 , 2 , 2 , 2,，2 , 1 , 1,，1 , 8 , 6 , 4 , 2 ,这些数字之和为：2X10+1 X10+3+8+6+4+2=53115-53=62, 62 - 11=57所以这个51位数除以11的余数是7。此题恰巧是奇数位上的数字和大于偶