高考数学 专题二 数列 第3讲 数列的综合问题 理

第3讲数列的综合问题专题二数列板块三专题突破核心考点考情考向分析1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力.热点分类突破真题押题精练内容索引热点分类突破1.数列an中，an与Sn的关系热点一利用Sn，an的关系式求an2.求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式.(2)在已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列an中，满足 f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列).解答例例1已知等差数列an中，a22，a3a58，数列bn中，b12，其前n项和Sn满足：bn1Sn2(nN*).(1)求数列an，bn的通项公式；解解a22，a3a58，2d23d8，d1，ann(nN*).bn1Sn2(nN*)，bnSn12(nN*，n2).由，得bn1bnSnSn1bn(nN*，n2)，bn12bn(nN*，n2).b12，b22b1，bn是首项为2，公比为2的等比数列，bn2n(nN*).解答两式相减，得给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.思维升华思维升华解答跟踪演练跟踪演练1(2018绵阳诊断性考试)已知数列an的前n项和Sn满足：a1anS1Sn.(1)求数列an的通项公式；解解由已知a1anS1Sn，当n2时，由已知可得a1an1S1Sn1，得a1(anan1)an.若a10，则an0，此时数列an的通项公式为an0.若a12，则2(anan1)an，化简得an2an1，即此时数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，故an2n(nN*).综上所述，数列an的通项公式为an0或an2n.解答(2)若an0，数列 的前n项和为Tn，试问当n为何值时，Tn最小？并求出最小值.解解因为an0，故an2n.由n50，解得n5，所以当n4或n5时，Tn最小，热点二数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题.解答例例2(2018遵义联考)已知函数f(x)ln(1x) .(1)若x0时，f(x)0，求的最小值；解解由已知可得f(0)0，若0，则当x0时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)f(0)0，不合题意；则当x0时，f(x)0).(1)求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示)；解解设2018年的碳排放总量为a1,2019年的碳排放总量为a2，由已知，a14000.9m，a20.9(4000.9m)m4000.920.9mm3241.9m.解答(2)若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围.解解a30.9(4000.920.9mm)m4000.930.92m0.9mm，an4000.9n0.9n1m0.9n2m0.9mm(40010m)0.9n10m.由已知nN*，an550，(1)当40010m0，即m40时，显然满足题意；(2)当40010m0，即m40时，由指数函数的性质可得(40010m)0.910m550，解得m190.综合得m40；(3)当40010m40时，由指数函数的性质可得10m550，解得m55，综合得40m55.综上可得所求m的范围是(0，55.常见数列应用题模型的求解方法(1)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间n的总产值yN(1p)n.(2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和ya(1r)n.(3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和ya(1nr).(4)分期付款模型：a为贷款总额，r为年利率，b为等额还款数，则b .思维升华思维升华跟踪演练跟踪演练3(2018上海崇明区模拟)2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%.记 2016 年为第 1 年，f(n)为第 1 年至此后第n(nN*)年的累计利润(注：含第n年，累计利润累计净收入累计投入，单位：千万元)，且当f(n)为正值时，认为该项目赢利.解答(1)试求f(n)的表达式；解解由题意知，第1年至此后第n(nN*)年的累计投入为82(n1)2n6(千万元)，第1年至此后第n(nN*)年的累计净收入为解答(2)根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由.当n3时，f(n1)f(n)0，故当n4时，f(n)递增.该项目将从第8年开始并持续赢利.答：答：该项目将从2023年开始并持续赢利.x4.从而当x1,4)时，f(x)0，f(x)单调递增.该项目将从第8年开始并持续赢利.答：答：该项目将从2023年开始并持续赢利.真题押题精练1.(2018全国)记Sn为数列an的前n项和.若Sn2an1，则S6_.真题体验解析63答案解析解析Sn2an1，当n2时，Sn12an11，anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2).当n1时，a1S12a11，得a11.数列an是首项a11，公比q2的等比数列，S612663.2.(2017山东)已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1x23，x3x22.(1)求数列xn的通项公式；解答解解设数列xn的公比为q.所以3q25q20，由已知得q0，所以q2，x11.因此数列xn的通项公式为xn2n1(nN*).(2)如图， 在平面直角坐标系xOy中， 依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，Pn1(xn1，n1)得到折线P1P2Pn1，求由该折线与直线y0，xx1，xxn1所围成的区域的面积Tn.解答解解过P1，P2，Pn1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn，所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2. 又2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1， 得Tn321(2222n1)(2n1)2n1押题预测已知数列an的前n项和Sn满足关系式Snkan1，k为不等于0的常数.(1)试判断数列an是否为等比数列；押题依据押题依据本题综合考查数列知识，考查反证法的数学方法及逻辑推理能力.解答押题依据解解若数列an是等比数列，则由n1得a1S1ka2，从而a2ka3.又取n2，得a1a2S2ka3，于是a10，显然矛盾，故数列an不是等比数列.押题依据押题依据是高考的热点问题，即数列与不等式的完美结合，其中将求数列前n项和的常用方法“裂项相消法”与“错位相减法”结合在一起，考查了综合分析问题、解决问题的能力.解答押题依据2nb从而Snan1.当n2时，由Sn1an，得anSnSn1an1an，从而其前n项和Sn2n2(nN*).由得bnn2，记C2121220n2n2，则2C2120221n2n1，即n2n900，因为nN*且n1，故n9，从而最小正整数n的值是10.